2023年高考数学全国甲卷理科第21题的多解与变式探究

张英杰

【摘要】2023年高考数学全国甲卷理科第21题是三角函数与导数的综合题，考查三角函数的导数、函数的单调性和恒成立问题.文章从必要性与充分性的讨论，利用常见不等式进行放缩和利用均值不等式，取点技巧等三个不同的角度给出解答，并给出试题的变式探究，以期为一线教育工作者提供更多的解题思路和参考.

【关键词】2023年高考；全国甲卷；导数；三角函数；恒成立问题

2023年高考数学全国甲卷第21题，试题以三角函数、多项式函数为背景，构造了所要研究的函数.通过对函数性质的研究，试题全面考查了导数及其应用，这也是中学教学的重点与难点.试题的第（1）问面向全体考生，体现试题的基础性，利用导数就能得到函数的单调性，考查考生通过导数解决实际问题的能力、计算与转化的能力，体现函数与方程的数学思想在中学教学的应用.试题的第（2）问体现了试题的选拔性，考查了考生化归与转化的思想、分类讨论的思想以及逻辑推理能力、数学运算能力.

点评 这里给出的解法是利用第（1）问的不等式进行放缩，使问题变得简单，其实也可以参考真题的解法1，给出类似的解法.

结 语

三角函数与导数的综合题，是高考数学中导数综合题的一个难点，而且在最近几年的高考试题中也经常出现这类试题，这值得引起一线教师的重视.破解三角函数与导数的综合题的策略主要有：求导、利用单调性；根据泰勒公式得到的常用不等式；利用均值不等式进行放缩；转化为代数问题处理等.希望一线教师重视对这类试题的研究，并对题型与方法进行归纳，加强学生对这类试题的训练，从而达到做一道题，会一类的教学效果.

【参考文献】

[1]杨林军，韩静波，周当侠，.深化基础考查·强化关键能力·突出思维品质———2023年高考“函数与导数”专题命题分析[J].中国数学教育，2023（18）：24-29.

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