齐次化方法在圆锥曲线问题中的应用探究

李清华

【摘要】在圆锥曲线试题中，常常出现与斜率有关或者证明直线过定点的问题.此类问题用常规的方法也可以解决，只不过运算量有些大，但如果构造方程，利用齐次化方法求解，则可大大简化运算.利用齐次化方法解决的题型主要有两种：题型一是定点在坐标原点的斜率问题，题型二是定点不在坐标原点的斜率问题.文章介绍利用齐次化方法求解以上两种题型的步骤，并给出齐次化方法局限性的说明，旨在让读者熟悉齐次化方法的解题步骤、适用范围，并且知道齐次化方法不是求解圆锥曲线问题的通法，它只是求解与斜率有关的问题的巧妙方法.

【关键词】圆锥曲线；斜率；构造；齐次化；应用

圆锥曲线试题是高考的难点，常以压轴题的形式出现，考查考生的数学运算能力与逻辑推理能力.圆锥曲线试题主要难在运算上，故如何简化运算是突破圆锥曲线中定点在坐标原点的斜率问题的关键.下面笔者通过构造与斜率有关的一元二次方程，利用齐次化方法来求解圆锥曲线问题，可大大简化运算，提高解题效率.

一、题型一：定点在坐标原点的斜率问题

设O为定点，过点O作两条动直线与曲线交于A，B两点.齐次化方法解圆锥曲线试题的关键步骤如下：

（1）将直线AB方程设成“mx+ny=1”的形式；

二、类型二：定点不在坐标原点的斜率问题

设P（s，t）为定点，过点P作两条动直线与曲线交于A，B两点.齐次化方法解圆锥曲线中定点不在坐标原点的斜率问题的关键步骤如下：

（1）将坐标原点平移到点P；

（2）直线AB方程设成“mx+ny=1”的形式；

通过上面的步骤可以看出，齐次化方法适用于与斜率有关的问题，所以有很大的局限性.当然，还有一个难点在于方程消元的基本思路是消未知数，而齐次化方法是消去常数.解决该类型圆锥曲线问题更大的难点是如何通过审题，将问题转化为斜率之积（和）问题，这也是学生不适应之处.因此，教师应在教学中有针对性地引导学生，促进学生对齐次化方法的掌握.

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