问题启发思考 过程提升素养

赵小强

摘  要：课例“指数”（第2课时）是一节比较成功的课. 执教教师能够准确理解课程标准，定位准确，在充分理解教材编写意图的前提下，能体会到“把指数幂的拓展过程作为指数函数研究的一部分，把指数幂的运算法则看作指数函数的性质”等本质要求，通过设计问题串的形式组织教学，体现了基于情境和问题导向的教学理念. 课堂脉络清晰、一气呵成；实施精准施教，特别重视落实对学生进行数学学习一般方法路径的学法指导；教学设计体现整体性，重视过程性，并具有一定的创新性.

关键词：指数；问题导向；思维过程

“指数”是第十一届高中青年数学教师课例展示活动中的一节指定课题，其基本要求为：通过对有理数指数幂[amn]（[a>0]且[a≠1]；[m，n]为整数且[n>0]）、实数指数幂[ax]（[a>0]且[a≠1]；[x∈R]）含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质. 指数幂的拓展过程与数及其运算的扩充过程有关联，要将内容放在数系扩充的大背景下，从基于运算单位的运算一致性上加强思考，体现数学的整体性；要注意与初中整数指数幂拓展经验相联系，引导学生建立拓展指数幂的整体架构；要引导学生经历从整数指数幂到有理数指数幂、再到实数指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算法则和变化规律，领悟运算法则的合理性，理解数学运算的一致性，体验数学的思维方式.

一、教学内容的解析

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）在函数主题单元的教学提示中指出：指数函数的教学，应关注指数函数的运算法则和变化规律，引导学生经历从整数指数幂到有理数指数幂、再到实数指数幂的拓展过程，掌握指数函数的运算法则和变化规律. 以上“提示”实际上是把指数幂的拓展过程作为指数函数研究的一部分，把指数幂的运算法则看作指数函数的性质，而不能把指数幂的推广只看作代数中数及其运算的问题. 这也是将“指数”作为指定课题的原因.

二、本节课的特点分析

执教教师对所教的这节课内容的本质及蕴含的育人价值有较深刻的理解，并能将自己的理解较为恰当地转化为教学表达. 课堂的开篇通过创设教学情境，引导学生始终紧密围绕情境开展实际性的数学思考和探究活动，使本节课教学的数学品位得以保证，进而使学生在经历掌握“四基”的过程中发展数学思维，同时使学生逻辑推理、数学运算和数学建模素养的提升水到渠成. 在教学设计中立足大单元、整体性设计构思的原则，来有源头，去有方向，有始有终，前后呼应. 整个教学设计较好地体现了《标准》及指定课题的要求. 从概念起始课的角度来讲，笔者认为至少在以下三个方面可以为我们的教学提供启示.

1. 设计高质量问题串，引导学生始终紧密围绕本节课的核心内容，开展实际性的数学思考和探究活动

教学开始，执教教师就创设恰当的教学情境，提出了具有较高数学含金量的问题1. 问题1实际上是个问题串，前两个问题针对学生初中所学，起到呈上的作用. 第三个问题设计得很好，有的学生认为半个月的增长率应该是1.1除以2，而有的学生却认为半个月的增长率应该是[1.1]，激发学生产生认知冲突，成功地抓住了学生的求知欲，使学生认识到拓展指数的必要性，顺利引入本节课的课题和学习内容. 这个问题改编自人教A版《普通高中教科书·数学》必修第一册“4.2 指数函数”中的一个例子，执教教师把它改编后前移，恰好反映了执教教师对《标准》中教学提示比较到位的理解能力和灵活使用教材的较高教学素质. 紧接着的问题“如何得出幂的形式所对应的数值？”的提出，引发了对指数幂运算性质的研究. 进而从数系扩充历程的回顾和“整数指数幂运算性质是否对分数指数幂同样适用”的思考，引导学生将指数幂及运算的拓展放在数系扩充的大背景下研究，使新、旧知识形成统一的整体. 基于上述铺垫，执教教师从实例引入逐步过渡到“根式运算中被开方数的指数不能被根指数整除，根式是否也可以表示为分数指数幂的形式”这一教学难点上. 在实际教学中，学生通过讨论、辨析、展示和表达等形式的参与，充分感受根式和指数幂运算之间的联系.

当上述问题一个接一个得以研究和思考后，学生展示成果、提出疑问，使课堂聚焦为两点：分数指数幂的规定合理性的迫切需求；新定义下运算性质是否仍然成立（即兼容性）. 至此，不但呼应了课程伊始提出的问题，而且规定分数指数幂的意义也就水到渠成、顺理成章了.

2. 重点突出，舍得在学生独立开展思维活动上花时间

执教教师从学生出发，搭建适当的“脚手架”，以使学生在探索受阻时能及时得到帮助、点拨，体现出教师是教学的组织者、参与者和引领者的角色，也充分体现出从教学预设到教学生成，再到教学相长的新型课堂形态和师生关系. 从对本节课时间轴的分析来看，执教教师把大部分时间给了学生进行独立探究、小组活动及代表展示，突出了学生的主体地位. 在教学中，执教教师力求使学生通过讨论、辨析、展示和表达等形式的参与，充分感受根式和指数幂运算之间的联系，从而破解“根式表示为分数指数幂的合理性”这一教学难点. 从整体上看，基本达成了目标.

3. 具有创新性的教学设计与独具匠心的板书设计

与大多数“指数”课例比较起来，本节课最大的不同之处在于：把根式内容设计为第1课时，指数的扩充设计为第2课时. 笔者认为，这样做的好处在于重点突出，集中全力突破本部分内容学生理解上的难点. 教师的板书设计独具匠心，重点突出，思维导向和主线、主题明确，详略得当，脉络清晰. 课堂开始不久，执教教师就在黑板的两侧呈现了具有明确思维导向作用的思维导图，并使思维引领始终“在线”.

三、针对本节课的教学建议

对指导意见中增强学生关于在“数系扩充的大背景下，从基于运算单位的运算一致性上加强思考，体现数学的整体性”的认识，课堂中强调得还不够. 实际上，每当“指数”运算经历指数的取值范围变化的关键时期时，教师都要非常重视，建议可以借助更多实例引出指数范围变化的必要性与合理性. 另外，本节课中，对于学生的回答，执教教师的回馈形式较为单一，根据学生回答进行适时的表扬、激励和思维点拨做得不到位、不够准确. 尤其需要指出的是，这里我们不能根据学生学完本节课以后运算的情况来确定这部分的实际教学效果. 教过初中数学的教师都知道，负整数指数幂也是初中指数拓展过程中学生理解的难点，但是不影响学生做题，原因就在于运算性质没有变化.

实际上，因为在指数幂运算的拓展过程中，本节课的核心思想是“整数指数幂的运算性质在有理数指数幂、实数指数幂中仍然成立”，怎样能让学生理解（感受）核心思想的过程更自然、更顺畅是本节课的关键. 不可否认的是：本节课的关键在于学生能否较好地理解[an=a1n]. 建议可以从[a2=a=a1=a12×2=a122]及[a33=a=a1=a13×3=a133]得到规定[an=a1n]的合理性.在这个过程中，“1可以表示为两个互为倒数的数的乘积”恰好与“0可以表示为两个互为相反数的数的和”的思考方法具有理解的“同构性”.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］史宁中，王尚志.《普通高中數学课程标准（2017年版2020年修订）》解读［M］. 北京：高等教育出版社，2020.

［3］章建跃. 核心素养立意的高中数学课程教材教法研究［M］. 上海：华东师范大学出版社，2021.