技术助力教学 探究提升素养

常磊

摘  要：“函数[y=xa-logbx]的图象与性质”一课选题新颖、导入自然，通过类比探究幂对差值函数. 课堂上，执教教师引导学生经历“描绘具体函数图象—归纳猜想函数共性—代数推理严格论证”的过程，带领学生使用信息技术探究函数的图象与性质，让学生体会信息技术在数学教学中的作用，从而提升学生的数学核心素养.

关键词：信息技术；核心素养；探究函数；幂对差值函数

在“互联网 +”时代，信息技术的广泛应用对数学教育产生了深刻影响. 在数学教学中，信息技术是学生学习和教师教学的重要辅助手段，为师生交流、生生交流搭建了平台，为学习和教学提供了丰富的资源. 在数学课堂上，信息技术的有效使用可以优化教学，为学生理解概念创设背景，为学生探索规律启发思路，为学生解决问题提供直观，引导学生自主获取资源.

信息技术与数学课程的深度融合，可以实现传统教學手段难以达到的效果. 例如，利用信息技术可以展示函数的图象、探究函数的性质，将几何图形直观化、动态化，探究算法、研究编程，将数据绘制成合适的统计图表，等等. 同时，还可以利用计算机的随机模拟结果进行较大规模的计算.

“函数[y=xa-logbx]的图象与性质”一课给人耳目一新、眼前一亮的感觉. 执教教师教学立意明确，总体设计清晰，关注学生数学核心素养的培养. 下面就这节课进行分析.

一、选题新颖，构造基本差值函数

“信息技术在探究函数的图象与性质中的运用”是第十一届高中青年数学教师课例展示活动的指定课题，该课题要求教师自主选择一个新函数，借助代数推理和几何直观探究函数的图象与性质，并通过函数的图象和代数运算理解和解决问题. 本节课的探究对象是由幂函数与对数函数这两个基本初等函数通过作差运算得到的新函数[y=xa-logbx]，新定义为“幂对差值函数”，来源于沪教版《普通高中教科书·数学》必修第一册“4.3 对数函数”中的“探究与实践”，基于对幂函数、指数函数与对数函数的增长速度比较的思考与对教材拓展内容的质疑. 该函数非常新颖，充分体现了执教教师对教材的钻研，以及勇于探索、敢于挑战的精神. 本节课是在已学知识的基础上寻求新的突破，培养学生结合后续知识的学习解决前面问题的意识，实现了学生学习函数知识的系统性和连贯性，也为之后探究新的函数提供了方法指导，是高中数学函数学习的点睛之笔.

二、导入自然，使用数学方法研究

本节课执教教师从搭载问天实验舱的长征五号B遥三运载火箭引入，然后结合教材“课后阅读：火箭速度的计算公式”和“探究与实践：幂函数、指数函数与对数函数增长速度的比较”引导学生通过比较，体会对数函数的增长速度.

执教教师利用“通过课前练习，我们发现对数函数的增长速度并非一直很慢，当x充分大时，幂函数与对数函数的差值构成的函数可能是严格增函数，今天我们就研究这一函数”导入新课，并板书课题“函数[y=xa-logbx]的图象与性质”.

由实际问题引入新课自然流畅，接下来执教教师通过问题“回顾函数的学习经历，探究一个新的函数主要探究哪些内容？”引导学生思考. 学生回答：定义域、值域、对称性（奇偶性）、周期性、单调性、最值、极值点、零点、特殊点……

本节课是一节探究课，尽管幂函数和对数函数都是基本的、应用广泛的函数，但是新函数[y=xa-][logbx]是幂对差值函数，同时又有两个参数，如果研究方法不合适，也会带来很多麻烦. 课堂教学中，学生在执教教师的引导下采用研究数学的一般路径进行探究，很快对参数进行了合理分类，从特殊到一般进行探究，提升了学生的数学抽象和直观想象素养.

三、动手操作，亲历研究函数的方法

执教教师引导学生使用Excle软件进行列表、描点、连线，观察函数图象的形状，学生通过调整数据，观察图象、总结规律，得到函数的性质. 教师舍得花时间给学生，让学生不断尝试、观察、讨论、思考和总结. 学生在动手实践的基础上，经过深入思考积极讨论，大胆质疑，并在课堂上分享了自己的得失，课堂氛围积极，学生展示充分，并有学生能够提出自己的困惑.

执教教师以恰时、恰点的提问加以引导，层层递进，提高了学生的思维能力. 课堂上让学生在实践中体验，在探究中进步，亲历探究一个新函数的图象与性质的过程，让学生感受信息技术在研究函数图象与性质中的作用，也让学生体会到了数学软件的强大作用.

四、技术助力，体现信息技术的力量

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）中指出：“教师应注重信息技术与数学课程的深度融合，实现传统教学手段难以达到的效果.”本节课通过精心设计，充分利用了多种途径的信息技术辅助教学. 在课前的学习活动中，让学生在解决问题的过程中感受计算器的计算功能，在比较计算结果中增强数感. 在回顾幂函数和对数函数的性质时，通过课件演示动图，清晰、快捷地巩固已学知识. 课中设计了学生的动手操作活动，学生用Excel软件描点、绘图，通过观察、分析和交流自主调整取点，在感知、体验的基础上内化形成新知，切实感受信息技术强大的数据处理与图象绘制功能. 但也发现有一部分函数的性质不突出，存在一定的局限性，执教教师进而采用GeoGebra软件演示幂对差值函数的图象，分别改变a，b的值让学生观察函数图象：a不变，改变b的值，发现函数图象的单调性很明显；b不变，改变a的值，如果a变大，函数图象的单调性很明显，当a变小时，感觉函数图象有渐近线，但是不确定. 于是执教教师不改变纵坐标的值，只改变图象横坐标的值，将图象缩小，开始时图象好像有渐近线，但是随着横坐标的缩小，函数图象的性质显现出来了，这时学生惊奇地发现原来图象是先减后增，没有渐近线，函数有最小值. GeoGebra软件的演示帮助学生更好地归纳了函数的共性，发展了学生的直观想象和数学抽象素养.

執教教师的信息技术运用能力较强，对信息技术的使用恰到好处，提高了课堂教学的效能，更易于调动学生学习数学的热情和积极探索的精神，启发学生在将来自主创造工具，合理运用技术.

五、注重探究，引导学生深入思考

《标准》中指出：“通过高中数学课程的学习，学生能获得进一步学习以及未来发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验.”注重数学基本活动经验的体验和积累是提升学生数学核心素养的有效途径之一. 本节课从教材内容出发，在回顾已学的幂函数和对数函数的图象与性质的基础上，类比探究幂对差值函数的图象与性质. 对于无法通过分析性质直接得到结论的情况，类比幂函数、指数函数与对数函数的探究过程，明确需要经历“描绘具体函数图象—归纳猜想函数共性—代数推理严格论证”的过程，并在探究过程中根据问题解决的需要不断调整，实现知识的同化与顺应.

例如，在课堂上学生大致了解了幂对差值函数[y=xa-logbx]在[a>0，b>1]时的图象，那么它的性质是不是就确定了呢？执教教师通过信息技术让学生大致了解了函数的图象，但是要想真正理解函数的性质还需要用数学方法推理才能得到. 在执教教师的引导下，学生使用导数确定了函数的单调性，找到了函数的最小值，进而得到了幂对差值函数[y=xa-logbx]在[a>0，b>1]时的性质. 整堂课中，在执教教师的启发和引导下，学生借助信息技术探究函数的性质，使用数学方法验证函数的性质. 执教教师引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获，强调数形结合的思想方法和从特殊到一般的研究问题的方法，以及信息技术在探究过程中的作用. 理解数学方法的严谨性，通过探究幂对差值函数[y=xa-][logbx]的图象与性质让学生深刻理解数学思想方法.

六、作业布置，由课内延伸到课外

本节课的作业包含“基础练习”和“能力拓展”两部分，分层作业使得不同的学生在数学上能够得到不同的发展，学生在分层作业的弹性空间中充分展示自己的学习能力. 同时，执教教师还给学生布置了思考作业：你能从幂对差值函数[y=xa-logbx]在[a>0，b>1]时的性质类比得到其在[a<0，0

信息技术作为一种认知工具，对于促进学生对数学本质的理解，以及发展学生的数学思维和数学能力等都有积极作用. 在数学学科上发挥着六个方面的作用：建构数学概念，发现数学结论，突破学习难点，改进课堂生态，增强数学表达，传播数学技术. 教师要适应时代的发展，按照《标准》的要求，发挥信息技术直观便捷、资源丰富的优势，帮助学生发展数学核心素养.

本节课中，执教教师教态亲切，过渡自然，课堂教学效果好，注重学法指导，信息技术的运用恰到好处，核心素养导向的问题化学习活动有序、有效，达成了预设的教学目标，发展了学生的数学核心素养. 这是一堂精彩的数学探究课.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］史宁中，王尚志.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》解读［M］. 北京：高等教育出版社，2020.