“函数[y=xa-logbx]的图象与性质”教学设计

乐哲君

摘  要：在学生学习幂函数、指数函数与对数函数，函数的概念、性质及应用，导数及其应用等内容的基础上，类比已有经验，运用计算器、Excel软件、GeoGebra软件等多种信息技术工具，探究函数[y=xa-logbx]的图象与性质，目的是使学生学会用几何直观和代数推理的方法探究函数，为之后研究新的函数提供方法指导．

关键词：幂对差值函数；信息技术；图象与性质；探究函数

一、教学内容解析

1. 教学内容

借助代数推理与几何直观探究函数[y=xa-logbx]的图象与性质，并通过函数图象和代数运算理解和解决问题. 教学内容与函数单元框架，如图1所示.

2. 内容解析

本节课从沪教版《普通高中教科书·数学》（以下统称“教材”）必修第一册“4.3 对数函数”的课后阅读、探究与实践出发，主要内容是在学生已经学习了幂函数、指数函数与对数函数，函数的概念、性质及应用，导数及其应用的基础上，运用信息技术探究函数[y=xa-logbx]的图象与性质，并通过代数推理证明部分性质. 目的是使学生学会用几何直观和代数推理的方法探究函数，为之后研究新的函数提供方法指导，同时使学生对对数函数的增长速度有更严谨的认识，是高中数学学习的点睛之笔.

函数是中学数学的核心内容之一. 高中的函数内容主要安排在教材必修第一册第四章“幂函数、指数函数与对数函数”和第五章“函数的概念、性质及应用”，教材必修第二册第七章“三角函数”，以及教材选择性必修第二册第五章“导数及其应用”．函数的概念、函数的基本性质以及基本初等函数的图象与性质既是高等数学的基础，也是建立函数模型解决诸多实际问题的重要工具．学习函数，有助于增强学生对用数学方法描述客观规律的认识，有助于学生感悟用数学模型解释自然现象的作用，有助于在用函数知识解决一些简单实际问题的过程中增强学生的数学应用意识．

本节课是一节探究课，探究的内容是一个新的函数[y=xa-logbx]，基于教材的拓展内容新定义该函数为幂对差值函数. 幂函数和对数函数都是基本的、应用广泛的函数，是进一步学习函数相关内容的基础，也是本节课探究的基础. 根据幂函数与对数函数的图象与性质的分类，本节课在此基础上先将幂对差值函数[y=xa-][logbx]按[a，b]的取值范围进行分类. 直接利用幂函数与对数函数的性质，从代数角度分析幂对差值函数[y=xa-logbx]在[a≤0，b>1]与[a≥0，0

对于难以通过性质分析直接得到函数性质的情况，即当[a>0，b>1]和[a<0，0

函数性质的探究需要经历“描绘具体函数图象—归纳猜想函数共性—代数推理严格论证”的过程，并运用信息技术开展探究，这是本节课的重点. 本节课让学生完整地经历观察、猜测和证明等探究过程，引导学生尝试从代数推理和几何直观两个角度研究函数，让学生充分体验分类讨论、从特殊到一般、数形结合的数学思想，发展逻辑推理和直观想象素养．同时，使用Excel，GeoGebra等软件能让学生感受到信息技术在探究过程中的作用，让学生感受到信息技术让实践和创新成为可能，驱动学生在数学探究活动中有更多的热情，并投入更多的精力．

二、教学目标设置

1. 教学目标

本节课的教学目标设置如下.

（1）回顾幂函数和对数函数在[0，+∞]上的性质，了解幂对差值函数[y=xa-logbx]的分类方法，学会分析幂对差值函数的性质，体会类比思想.

（2）经历用Excel软件描点绘图的过程，并观察用GeoGebra软件绘制的幂对差值函数图象，体会从特殊到一般的研究方法，学会通过观察具体函数图象归纳猜想幂对差值函数的图象特征，感受信息技术在探索函数的图象与性质中的作用，提升运用数形结合思想解决问题的能力，发展直观想象素养.

（3）在归纳猜想的基础上学会用代数推理证明性质，能够用导数证明幂对差值函数的单调性，发展逻辑推理素养.

（4）在交流活动中分享探究的喜悦与困惑，养成规范表达的习惯，反思研究函数的一般方法，培养勇于探索的思维品质，树立学好数学的信心．

2. 目标解析

达成教学目标（1）的标志：能在回顾幂函数与对数函数在[0，+∞]上的图象与性质后，对幂对差值函数[y=xa-][logbx]按[a，b]的取值范围进行分类，能通过分析幂函数和对数函数的性质得出当[a≤0，b>1]时的幂对差值函数的性质，并类比得到[a≥0，0

达成教学目标（2）的标志：让学生用Excel软件绘制幂对差值函数[y=xa-logbx]在[a>0，b>1]時的几个具体函数图象，并观察用GeoGebra软件演绎的参数变化时的函数图象，感受幂对差值函数[y=xa-logbx]的形态变化与运动规律，能归纳猜想出图象特征与函数的性质.

达成教学目标（3）的标志：能用导数证明幂对差值函数[y=][xa-logbx]在[a>0，b>1]时的单调性.

达成教学目标（4）的标志：让学生经历完整的幂对差值函数[y=xa-logbx]的图象与性质的探究过程，在交流活动中分享探究的喜悦与困惑，养成规范表达的习惯，学会探究函数的一般思路（描绘具体函数图象—归纳猜想函数共性—代数推理严格论证），并能自主地对本节课的探究过程和思想方法加以总结．

三、学生学情分析

本节课的授课对象为高三年级的学生，他们经历了对幂函数、指数函数与对数函数的探究过程，掌握了函数的概念、性质及其应用，了解了导数的概念，能借助导数研究函数的单调性，对函数的研究思路与方法有了一定的感性认识，具有一定的观察、分析和推理能力，这为本节课的探究提供了保障. 学生能较好地表达自己的观点，渴望应用所学的知识解决问题，但对新的函数进行探究仍然存在一定的困难. 学生需要进一步巩固与实践“为什么要研究”“研究什么”“如何研究”这些问题．

此外，在数学课堂上，该班级学生较多地呈现出被动学习的状态，缺少主动研究的意识. 但是通过沟通了解，大部分学生能够接受合作学习，并喜欢合作学习，也希望数学教学方法能够更加多元化，并富有趣味性．

因此，本节课从教材中对数函数的增长速度的探究出发，让学生自己动手计算函数值，交流对三类函数增长速度差异的思考；让学生亲自用Excel软件描点绘图，观察用GeoGebra软件演示参数变化时幂对差值函数的形态变化. 组织合作交流、观察图象、归纳性质、代数证明等环节，鼓励学生分享自己的发现，让学生完整地参与研究函数的过程，有效激发学生的学习兴趣，增强学生的学习能动性．

四、教学策略分析

1. 类比已有经验，构建整体研究架构

本节课从教材内容出发，在回顾已学的幂函数和对数函数相关内容的基础上，类比得到探究函数[y=xa-logbx]的分类情况，并启发学生通过分析初等函数的性质直接得出当[a≤0，b>1]时函数[y=xa-logbx]的性质，并由此类比得到[a≥0，] [0

2. 借助信息技术，提高课堂教学效能

课前安排学生借助计算器计算三对函数的函数值，让学生在计算中感受计算器的计算功能，在比较计算结果中增强数感. 在回顾幂函数和对数函数的图象与性质时，通过课件演示动图，清晰、快捷地巩固已学知识. 在通过分析性质得到结论1和结论2之后，由性质指导作图，并通过课件演示，促进学生对这两类情况下幂对差值函数[y=xa-logbx]的图象与性质的理解. 通过课前活动的计算已经发现了幂对差值函数[y=xa-logbx]的数据结果较为复杂，不易描点作图，借助Excel软件的绘图功能，可以绘制出多个具体函数的散点图，且能通过多次改变自变量的初始值、步长、个数探究自己想观察的部分，既清晰准确，又方便快捷，让学生体会到信息技术强大的数据处理功能与图象绘制功能. 同时，用GeoGebra软件辅助演示参数变化时的函数图象，让学生感受幂对差值函数[y=xa-logbx]的形态变化与运动规律，通过观察更好地归纳函数的共性，更好地提高学生用数形结合思想解决问题的能力.

3. 以学生为中心，通过引导辅助探究

本节课通过安排课前学习活动，让学生在比较中产生认知冲突，继而思考用已学知识研究这一问题，引出本节课要探究的新函数[y=xa-logbx]. 引导学生类比已学知识得到研究方法，明确研究思路，安排小组活动，让学生自己使用Excel软件描点绘图，观察幂对差值函数的图象特征，鼓励学生多次尝试，并分享自己的发现. 本节课采用开放式小结，亲身经历了完整探究过程的学生一定有自己最真切和强烈的感受，锻炼学生的语言表达能力和归纳能力，肯定学生的发现与收获，建立积极的正反馈．

五、教学过程设计

课前活动：学生在课前完成“探究与实践”学习单（如图2）.

【设计意图】对于教材中的探究与实践，本节课进行了适当改编，增设了计算当[x]位于较小数区间时的函数值和计算两个函数的差值，旨在让学生感受对数函数在不同区间的增长速度. 借助两个增函数的差值变化来了解这两个函数增长的快慢，并制作了课前学习单，让学生在计算中感受计算器的计算功能，在比较计算结果中增强数感，为本节课的探究作准备.

1. 創设情境，引入课题

材料1：北京时间2022年7月24日14时22分，搭载问天实验舱的长征五号B遥三运载火箭在我国文昌航天发射场点火发射，约495秒后，问天实验舱与火箭成功分离并进入预定轨道，发射取得圆满成功．

材料2：教材必修第一册第101页“课后阅读：火箭速度的公式”. 航天之父、俄罗斯科学家齐奥科夫斯基（K.E.Tsiolkovsky）于1903年给出火箭速度的计算公式[v=V0ln1+Mm0]，其中V0是燃料相对于火箭的喷射速度，M是燃料的质量，m0是火箭（除去燃料）的质量，v是火箭将燃料喷射完之后达到的速度. 可以看出v与M是对数函数的关系，由于对数函数增长速度很慢，通过大量增加燃料（[即增加Mm0]）难以达到航天器绕地球运行所需要的第一宇宙速度，据此他又提出了采用多级火箭发射航天器的设想. 现代运载火箭大多采用三级火箭，当第一级火箭的燃料用完时，点燃第二级火箭并抛弃第一级火箭，这相当于减小第二级火箭推进时的m0，从而在第二级火箭燃料用完时航天器可以达到较高的速度. 然后类似地点燃第三级火箭并抛弃第二级火箭，最终可以将航天器送入太空轨道．

材料3：教材必修第一册第101页“探究与实践：幂函数、指数函数与对数函数增长速度的比较”.

我们已经知道，如果指数函数的底数[a]大于[1]，当自变量[x]增大时，指数函数[y=ax]增长得非常快，称为“指数增长”. 类似地，可以分析底数[a]大于[1]的对数函数[y=logax]的增长速度．

（1）计算函数[y=0.01x]和[y=lgx]当[x=102，104，][106，108，1010]时的值，并由此比较两个函数的增长速度.

（2）计算函数[y=x0.1]和[y=lgx]当[x=1010，1020，][1050，][10100，10200]时的值，并由此比较两个函数的增长速度．

（3）计算函数[y=1.1x]和[y=lgx]当[x=102，104，106，][108，1010]时的值，并由此比较两个函数的增长速度.

通过上述比较，你对对数函数的增长速度有何体会？

展示课前学习单的学生成果，学生分享课前小组活动的学习体会．

【设计意图】用长征五号B遥三运载火箭的新闻作为开篇，激发学生的学习兴趣，增强学生的民族自豪感. 材料2和材料3源自教材必修第一册“4.3 对数函数”，旨在说明本节课源于已学内容，又通过之后的学习解决并深化所学内容. 由多名学生分享体会，让学生发现对数函数的增长速度并非一直很慢，从而产生认知冲突，引发学生思考，激发学生的探究热情，引出本节课要探究的新函数[y=xa-logbx]．

定义：当[a，b]为常数，且[b>0，b≠1]时，等式[y=xa-logbx]确定了变量[y]随变量[x]变化的规律，称为指数为[a]、底数为[b]的幂对差值函数，简称幂对差值函数．

【设计意图】为本节课探究的新函数定义一个名称，践行提出一类函数、给出一种研究思路的探究理念. 同时，激发学生的学习兴趣，帮助学生实现大胆创新和积极探索．

2. 巩固旧知，温故知新

问题1：回顾函数的学习经历，探究一个新的函数主要探究哪些内容？

探究一个新的函数主要探究定义域、值域、单调性、对称性（奇偶性）、周期性、特殊点、零点、极值点、最值……

因为只有当[x>0]时[logbx]才有意义，此时[xa]总有意义，所以幂对差值函数[y=xa-logbx]的定义域是[0，+∞]．

回顾幂函数[y=xa]和对数函数[y=logbx]在[0，+∞]上的图象与性质．

问题2：根据在探究幂函数和对数函数时对[a，b]展开的分类，能否推测幂对差值函数[y=xa-logbx]可以分为哪几类进行探究？

【设计意图】由于幂对差值函数是由幂函数和对数函数经过初等运算得到的，因此在开始探究前先回顾幂函数和对数函数的图象与性质，旨在基于已有经验开展探究，也由此为开展探究确定分类依据和分类情况，培养学生的分类讨论思想，并为快速得出结论1与结论2作铺垫．

问题3：在以上几类中，哪几类幂对差值函数的图象与性质较易探究？

结论1：当[a≤0，b>1]时，幂对差值函数[y=xa-][logbx]的图象过点[1，1]，在定义域[0，+∞]上是严格减函数，值域为[R，] 函数零点[x0∈1，+∞]．

问题4：能否根据结论1，类比得到幂对差值函数在[a≥0，0

结论2：当[a≥0，0

【设计意图】通过分析幂函数和对数函数的图象与性质快速得出结论1，合理运用已知函数的单调性是判断未知的相关函数的单调性的重要方法之一，将新函数的零点问题转化为两个已知函数图象的交点问题也是处理函数零点问题的重要方法，为学生以后的函数学习提供了方法指导. 类比结论1，推测当[a≥0，][0

3. 运用技术，合作探究

探究：当[a>0，b>1]时，幂对差值函数[y=xa-logbx]的图象有何特征？幂对差值函数[y=xa-logbx]有什么性质？

问题5：面对一个无法通过基本函数的性质直接分析得到其性质的复杂函数，我们该如何展开探究呢？

取[a，b]的一些特殊数值，描繪幂对差值函数的大致图象．

问题6：运用Excel软件，小组合作描绘8个具体的幂对差值函数的大致图象，你能观察到它们的图象有哪些共性特征吗？

【设计意图】在开始探究前，先结合已有的高中函数的学习经验得出探究思路，给出方法指导. 引导学生认识图象作为数学问题直观模型的作用，借助图形探索解决问题的思路，体现“数缺形时少直观”，发展直观想象素养. 安排小组活动，让学生亲身经历使用Excel软件描点作图的过程，激发学生的学习兴趣，感受信息技术对数据与图象处理的强大辅助作用. 同时，在实践中体会取点的要义，并为学生提供了思考、讨论、归纳的时间和空间，让学生感受幂对差值函数的图象特征，体现了数学探究学习的高度自主性，注重学生在学习过程中的体会．

归纳猜想当[a>0，b>1]时，幂对差值函数[y=xa-][logbx]的图象特征和函数性质．

问题7：观察利用GeoGebra软件得到的幂对差值函数的图象，归纳猜想，幂对差值函数的图象有哪些共性特征？

问题8：由上述图象的共性特征，能归纳得到幂对差值函数的哪些性质？

【设计意图】由Excel软件描绘几个特殊的幂对差值函数的图象，到用GeoGebra软件呈现改变[a，b]时图象特征发生的变化，引导学生感悟从特殊到一般的研究方法，多个信息技术软件的使用有利于学生更好地归纳猜想幂对差值函数的图象特征与函数性质，充分发挥了信息技术在探索函数的图象与性质中的重要作用，有利于学生更好地探究幂对差值函数的图象特征，从而分解本节课的难点，也发展了学生的几何直观能力，增强了学生运用几何直观和空间想象思考和解决问题的意识. 将直观操作、合情推理和逻辑推理有机整合在一起，使后续的推理论证成为学生实验、观察、归纳猜想的自然延续．

4. 代数推理，生成结论

通过代数推理，证明[a>0，b>1]时幂对差值函数的图象特征与函数性质．

问题9：若[a>0，b>1]，是否存在[c>0]，使得幂对差值函数[y=xa-logbx]在区间[0，c]上是严格减函数，在区间[c，+∞]上是严格增函数．

性質1：若[a>0，b>1]，则幂对差值函数[y=xa-][logbx]在区间[0， 1alnb1a]上是严格减函数；在区间[1alnb1a，+∞]上是严格增函数．

性质2：若[a>0，b>1]，则当[x=1alnb1a]时，幂对差值函数[y=xa-logbx]取到最小值[1alogbealnb]．

性质3：若[a>0，b>1]，则幂对差值函数[y=xa-][logbx]的值域为[1alogbealnb，+∞]．

推论：若[a>0，b>1]，则在区间[0， 1alnb1a]上幂函数[y=xa]的增长速度慢于对数函数[y=logbx]的增长速度；在区间[1alnb1a，+∞]上幂函数[y=xa]的增长速度快于对数函数[y=logbx]的增长速度．

结论3：当[a>0，b>1]时，幂对差值函数[y=xa-logbx]的图象特征和函数性质如表4所示.

【设计意图】仅由观察图象归纳猜想得到函数的图象特征与函数性质并不严谨，也不能得到具体的值，需要进一步通过代数推理严格论证，引导学生经历从猜想到论证的过程，体会从几何直观到代数推理的过程，发挥导数在证明函数单调性中的作用，并通过计算得到具体的单调区间、最小值等，体现“形少数时难入微”，提升学生用数形结合思想解决问题的能力，得到函数性质的同时也回答了引入环节存在的疑惑. 幂对差值函数的性质还有很多，留给学生很大的探究空间，体现数学探究的开放性．

5. 总结反思，深化认知

问题10：本节课研究了什么内容？

问题11：本节课经历了一个怎样的探究过程？

问题12：在探究过程中，你觉得有哪些重要的方法？有哪些收获或体会？

【设计意图】引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获，强调数形结合的思想方法和从特殊到一般的研究问题的方法，以及信息技术在探究过程中的作用. 本节课的小结具有开放性，亲身经历了完整探究过程的学生一定有自己最真切和强烈的感受，通过小结锻炼学生的语言表达能力与归纳能力，关注不同层次的学生对所学内容的理解和掌握情况.

6. 拓展延伸，探究思考

思考1：你能通过类比，研究当[a<0，0

思考2：你能进一步研究“指幂差值函数”或“指对差值函数”的图象特征和函数性质吗？

思考3：（2022年全国新高考Ⅰ卷第22题第（2）小题）已知函数[fx=ex-x]，[gx=x-lnx]，证明：存在直线[y=b]，其与两条曲线[y=fx]和[y=gx]共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

【设计意图】本节课的学习为通过类比结论3得到结论4，甚至为进一步研究“指幂差值函数”或“指对差值函数”提供方法指导，让学生体会化未知为已知的思想. 思考3是一道选编题，旨在应用本节课所学的知识与方法探索求解方法，提升学生运用数形结合思想解决问题的能力，发展学生的直观想象素养．

7. 作业设计

（1）基础练习.

练习1：函数[y=-x+lgx]在区间[0，+∞]上是（    ）.

（A）严格增函数

（B）严格减函数

（C）先严格增，再严格减

（D）先严格减，再严格增

练习2：已知函数[fx=x-lnx]，若[fx≥a]恒成立，则实数[a]的取值范围是（    ）.

（A）[-∞，1] （B）[1，+∞]

（C）[-∞，e-1] （D）[-∞， 1e+1]

练习3：对于任意实数[a]，函数[y=xa+lnx]的图象恒经过定点______．

练习4：已知函数[fx=1x-lgx]，则不等式[fx+1

练习5：若函数[fx=x2-logbx]（其中[b>1]）有唯一的零点，则[b]的值为______．

练习6：根据本节课结论3，类比得到结论4，并对其中的单调性加以证明．

（2）能力拓展.

练习7：（2022年全国新高考Ⅰ卷第22题第（2）小题）已知函数[fx=ex-x]，[gx=x-lnx]，证明：存在直线[y=b]，其与两条曲线[y=fx]和[y=gx]共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

练习8：结合本节课的学习，以小组为单位，合作探究“指幂差值函数”或“指对差值函数”（二选一）的图象与性质，完成一份研究报告．

【设计意图】分层作业设计旨在关注学生的学习差异，使不同的学生在数学上得到不同的发展. 基于分层作业的弹性空间，学生充分展示自己的学习能力，收获成功的喜悦，增强做数学作业的兴趣，进而提高数学教学的质量．

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020．

［2］史宁中，王尚志.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》解读［M］. 北京：高等教育出版社，2020.