关注整体·科学设计·提升思维

刘莉

摘  要：“两角差的余弦公式”一课是公式教学课. 基于单元整体，发挥单位圆的纽带作用，以问题和活动为引导，教学设计自然合理，关注学生的基础和认知规律，促进学生学会学习. 多种方式的融合，为学生提供了丰富的思辨视角，有效辅助课堂教学，发展学生的数学核心素养. 同时，给出了几点建议.

关键词：两角差的余弦；公式教学；单元整体

人教A版《普通高中教科书·数学》（以下统称“教材”）必修第一册的“5.5.1 两角差的余弦公式”是高中数学必修课程“函数”主题中“三角函数”单元的核心内容之一.

公式教学课是数学课堂教学的基本课型. 从教学过程来看，公式教学就是引导学生在已有认知水平的基础上经历公式的发生发展过程，以及经历从公式背景中发现和提出猜想，经过严格的推理论证获得公式的过程. 从教学的结果来看，公式教学就是引导学生掌握公式所包含的条件和结论、证明方法，以及与其他公式之间的联系，并能运用公式解决相关的数学问题. 因此，公式教学课是学生获得“四基”、提高“四能”的重要途径.

一、本节课呈现的特点

上好这节课不容易，因为在教学处理上面临三个难点：一是怎样想到先研究这个公式，二是怎样猜想发现这个公式，三是怎样证明这个公式.

执教教师个人素质较高，教态和蔼可亲，语言表达能力较强，善于引导和启发，板书有设计. 学生数学功底好，思维活跃，语言表达及板演严谨，看得出来平时训练有素. 从整体上来看，执教教师以《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）为依据，以教材内容为蓝本，努力在理解数学、理解学生、理解技术、理解教学上下功夫，呈现出以下特点.

1. 追溯“圆”主线，发挥单位圆的纽带作用

从单位圆的对称性来看，被称为“圆函数”的三角函数自然与圆有密切的联系，单位圆正是研究三角函数及其性质一以贯之的直观模型，在本单元的教学过程中发挥着“脚手架”和纽带的作用，是“超级工具”. 通常来看，单位圆的对称性包括轴对称性、中心对称性和旋转对称性. 学生较为熟悉的是轴对称性和中心对称性，诱导公式就是单位圆轴对称性和中心对称性的解析表示. 而学生对旋转对称性较为陌生，本节课需要重点关注.

从教材编写来看，“三角函数”章节以单位圆为主线，将相关知识进行了串联，突出了圆的旋转对称性与三角函数之间的内在联系，如图1所示.

这也是教材编写的意图所在. 基于以上分析，不难看出三角恒等变换公式在本质上是圆的旋转对称性的解析表示，是旋转任意角的诱导公式. 两角差的余弦公式的推导方法非常多，如为了简化推导过程引入向量法进行证明，而采取单位圆的旋转对称性证明的方法充分体现了知识的连贯性和整体性.

从教学处理上看，执教教师尊重了教材编写的整体立意，从学生现有的认知出发，借助单位圆的旋转对称性，利用两点间的距离公式进行公式的推导，将三角函数问题转化为解析几何问题来处理，紧扣学生思维的最近发展区，尊重学生的认知规律，使新知学习自然发生，同时又与已有知识建立必然联系.

2. 基于单元整体，发展数学核心素养

在教学中，执教教师以单元教学理念抓住大单元的核心要素，体现新课程的理念，避免知识形成的碎片化. 首先，着眼于学生思维的最近发展区，唤醒学生已学的与所研究内容相关的认知，复习诱导公式，把特殊角换成任意角，将前面学习的诱导公式与两角和与差的三角函数建立联系；其次，回忆诱导公式的研究思路，引导学生回顾并强化用单位圆研究三角函数问题的意识和习惯，为接下来探究角[α-β]的余弦的展开式指明思考方向；再次，在学生获得公式的证明之后，把握时机，用新公式证明之前的诱导公式，进一步说明了诱导公式与两角差的余弦公式之间的特殊与一般的关系；最后，设置探究活动，提出“运用此公式还能解决哪些问题”，具有一定的开放性，引导学生自主探究，发现了一些结论，也得到了两角和的余弦公式.

在整个过程中，执教教师通过启发引导学生通过观察、比较、寻找联系，提升发现问题、提出问题和解决问题的能力，凸显了普遍联系的整体观念，也有效发展了学生的逻辑推理和数学运算素养.

3. 问题活动引导，关注学生思维能力提升

本节课中，执教教师通过问题串及穿插其中的活动引导学生自己猜想、发现和解决问題，一步一步得到公式. 同时，在教学过程中采用追问的方式推动学生对公式意义的理解，从而主动获得寻找、探索公式的方法.

执教教师通过设置问题“观察这组诱导公式，我们发现它们都是特殊角与任意角[α]的和（或差）的三角函数与角[α]的三角函数的恒等关系. 现在，我们把公式中的特殊角换为任意角[β]，我们发现它们的共同形式就是两角和与差的三角函数. 在诱导公式的基础上，任意角[α]与角[β]的和（或差）的三角函数与角[α]和角[β]的三角函数会有什么关系？”从特殊到一般诱发学生思考，启发学生思维.

执教教师通过活动“如果已知任意角[α，β]的正弦和余弦，探究是否能由此推出角[α-β]的余弦”给出公式组成元素，给出思维方向.

执教教师通过问题“以诱导公式[cosπ2-α=sinα]为例，你能简要说明证明过程吗？”“还记得诱导公式的研究思路吗？”引导学生回顾诱导公式的研究思路，强化学生用单位圆研究三角函数问题的意识和习惯，师生共同总结利用单位圆上的点关于原点、坐标轴、直线[y=x]等的对称性探究得到了诱导公式，为接下来探究角[α-β]的余弦公式指明思考方向，从而得到解决此类问题的研究思路：单位圆的对称性—角与角之间的关系—坐标之间的关系—等量代换—三角函数的关系. 这个过程思维主线清晰，学生的思维能力得到了进一步提升.

教师组织活动“用GeoGebra软件动态演示圆的旋转对称性”，并引导学生观察，从而发现在旋转的过程中对应的弦和弧都没有发生变化，引出了圆的一个重要的几何性质——任意一个圆绕着其圆心旋转任意角度后都与原来的圆重合，这一性质叫做圆的旋转对称性. 学生利用圆的旋转对称性证明了两角差的余弦公式，建立了思维的连续性.

执教教师利用问题“当角[α]与[β]的终边重合时，即[α=2kπ+β，k∈Z]，两角差的余弦的表达式是否仍然成立？”完善探究细节，培养学生思维的严谨性. 并组织活动“探究利用两角差的余弦公式还能得到哪些公式或者非特殊角（除30°，45°，60°等特殊角以外的角）的余弦值”引导学生积极思考，得到了一系列结论，使学生的思维得到提升.

整个过程，通过问题和活动驱动，促进学生进行连续的、有序的思维活动，并且在学生表达时，执教教师给予充足的时间，让学生不断调整和完善自己的发现，加深对数学公式的理解，使得学生在掌握“四基”、发展“四能”的过程中有效发展了数学核心素养.

4. 教学设计清晰，促进学生学会学习

本节课教学设计的逻辑路线比较清晰，研究路径也很清楚. 本节课设计了五个教学环节，逐步达成教学目标，完成教学任务，如图2所示.

五个环节层层递进，一气呵成，知识建构过程合理，符合学生的认知心理，充分关注了学生解决数学问题的思维过程.

第一环节，执教教师将诱导公式作为学生的认知起点，将特殊角换成一般角，按照特殊与一般的辩证思想，一步一步设计了与学生思维最近发展区相适应的学习任务. 学生通过积极思考、动手参与、热烈讨论都能够完成，始终保持较高的学习热情. 同时，执教教师给学生留有足够的思维空间进行自主探究，获得了很好的教学效果.

第二环节，回忆诱导公式的证明方法，通过一系列问题串引导学生思考和分析问题，经历公式的推导和证明过程. 学生在此过程中获得了研究数学问题的经验，提升了提出问题、分析问题和解决问题的能力，有效提高了逻辑推理素养.

第三环节，通过公式运用，注重促进新、旧知识的有效融合. 执教教师对例题的选择与设置遵循教材. 例1是用两角差的余弦公式证明诱导公式，说明了诱导公式与两角差的余弦公式之间的特殊与一般的关系. 设置的探究活动具有一定的开放性，引导学生自主探究，进一步体会两角差的余弦公式是诱导公式的一般化表达，提升学生发现问题、提出问题和解决问题的能力. 例2通过简单的应用，使学生初步熟记公式，掌握公式的结构形式和功能，训练学生有序的思维习惯，发展学生的数学运算素养，培养学生程序化的思维习惯.

第四环节，共设置三道题目，紧扣本节课的核心和重点内容，由学生独立完成，全班只有一名学生做错，教学效果明显.

第五环节，让学生梳理本节课的知识收获，体会数学思想方法的应用. 作业布置分为课时作业和单元作业，强化基础知识和基本技能，加深学生对公式的理解，培养学生的逻辑推理素养，培养学生从多维角度思考问题，增强学生的创新意识. 强化学生用单位圆研究三角函数问题的意识和习惯，帮助学生体会数形结合思想，使学生学会用数形结合思想思考和解决问题.

5. 多种方式融合，有效辅助课堂教学

本节课利用GeoGebra软件，在恰当的时机直观呈现，让学生直观看到圆的旋转对称性，“形”与“数”自然转换，抽象与具象的思考完美结合. 使用微课视频呈现两点间的距离公式. 使用交互平台，充分展现学生的思维过程. 多种方式融合，为学生提供了丰富的思辨视角，有效辅助教学.

美国著名教育学家杜威说过，教学不仅仅是一种简单的告诉，教学应该是一种经历、一种体验、一种感悟. 执教教师的教学设计既尊重知识本身的特点，又符合学生对事物的认知规律，通过对问题串的精心设计，引导学生从特殊到一般，运用所学方法进行证明，逐级抽象概括出两角差的余弦公式，让学生在公式的推导过程中体验数学的思想方法和思维方式，如归纳概括、类比推理、数形结合等，从中获得知识、提升能力，达到数学的育人目标.

二、几点建议

1. 进一步加强知识体系的构建

我们知道，轴对称是旋转对称的特殊情形，旋转对称是轴对称的一般推广. 因此，诱导公式既可以利用单位圆的轴对称性进行推导，也可以利用单位圆的旋转对称性进行推导. 而且相比之下，后者可以更好地体现单元内容在数学思想方法层面的内在一致性和普适性.

通过教学要让学生体会到两角差的余弦公式的本质是圆的旋转对称性的解析表示. 旋转对称性是圓的最重要的特性，三角恒等变换公式是圆的旋转对称性的解析表示，是旋转任意角的诱导公式，两者是特殊与一般的关系. 教学后，可以利用作业等方式，让学生明确各种三角公式本质上都是圆的基本性质的解析表示，这些公式都可以用旋转变换的方法统一起来. 例如，将角[α]的终边旋转整数周，得[2kπ±α]的三角公式；将角[α]的终边旋转半周的整数倍，得[kπ±α]的诱导公式，而且它们都可以借助单位圆给出几何解释. 经过这样的过程，可以让学生深切体会到数形结合是研究三角函数的基本方法，借助单位圆的直观，让学生进行观察、分析、比较、综合，有利于学生直观想象、逻辑推理和数学抽象等素养的发展. 正如章建跃博士所说，通过这种发挥“一般观念”对数学学习活动的引导作用，可以让学生实现从“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”的跨越，把数学基本思想、基本活动经验落实在基础知识和基本技能的学习过程中，使数学核心素养真正落地.

2. 注意再放手，给予学生更大的思维空间

本节课，可以把问题设置得再开放些. 由于前面已经利用单位圆的对称性（几何性质）推导出了诱导公式，学生对单位圆的工具作用已经有所体悟，可以留给学生更多的思考时间和小组交流展示的机会，让学生深入思考，经历“提出问题—初步猜想—反例反驳—再次猜想—取角验证—逻辑证明—得到公式”的过程，通过学生多视角、多途径的探究提炼出具有普适意义的方法，提升学生的数学核心素养. 例如，学生作角α - β时，可以先观察对称性，这样为后续一般角的对称性作铺垫；研究两个角终边重合的情况时，可以考虑让学生提出来，以训练学生思维的严谨性，同时要注重讨论分类.

教授本节课时，有学生很自然地提出：起始公式为什么是两角差的余弦公式而不是两角和的余弦公式或两角和与差的正弦公式？我们在进行教学设计的时候，应该对课堂适当地留白，让学生多一分发展，这样的课堂才能出现“不期而遇”的精彩.

执教教师似乎在刻意引导学生用教材上给出的方法进行证明. 实际上，公式的证明方法有很多，学生肯定不会只想到这一种思路. 这里完全可以放手让学生去思考、探究和提出方案，并且针对其中一种方案展开深入研究，其他方案让学生在课后小论文中尝试解决. 这样的教学处理，学生的收获会更大. 公式证明得出之后，可以考虑引导学生对公式进行观察，从结构、作用等方面进行归纳总结，而不是教师进行总结，然后直接进入例题研究.

小组讨论的前提是个人独立思考，这节课中几次安排的小组讨论都缺少个人独立思考，所以讨论中出现一言堂的情况，有的学生只能听，参与少. 还有小结的处理，同样缺少个人的思考.

对于例2的处理，执教教师先提示解题思路及注意事项，然后学生完成. 如果让学生先做，尝试错误，再加以解决，效果可能会更好.

练习1明确要求学生利用两角差的余弦公式解决，限制了学生的思维.

总之，本节课教学目标准确具体，符合《标准》要求，教学设计自然合理，关注学生的基础及认知规律，师生合作愉快，学生在愉悦中获得新知，教学效果良好.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］史宁中，王尚志.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》解读［M］. 北京：高等教育出版社，2020.