“八会”奠基础，能力全提升

顾彦

摘 要：二项式定理在近年高考数学试卷中经常出现，在面对创新性强，运算量大的问题时，要注意系统掌握破解二项式定理的技巧方法，结合条件加以正确处理.本文结合实例，就二项式定理的“八会”技巧方法加以剖析，形成知识网络体系，引领并指导数学学习与复习备考.

关键词：二项式定理；公式；技巧；赋值；分类讨论

二项式定理是高中数学中较为独特的一部分知识，也是高考数学中的一个重要考点，教材只是简单地讲述该定理的推导、性质及应用等，往往导致教师与学生产生简单化倾向，只是停留在熟记公式、会代公式等初步阶段.认真分析教材和习题，就能发现二项式定理的相关内容丰富地展示了待定系数法、构造法、特殊值法和逆向思维等中学数学的基本思想与方法，是学习数学思想方法、提高思维能力的好机遇.结合实例，从二项式定理学习的“八会”入手，充分学好二项式定理.

1 会正用公式

公式的正向应用，从左到右，实现公式自身的一个合理思维过程.

正用公式，就是直接正向套用二项式定理的公式，或利用二项式定理直接展开，或利用展开式的通项公式加以运算与应用等.

例1 （2021年高考数学天津卷·11）2x3+1x6的展开式中，x6的系数是_____________.

分析：根据条件，利用二项式定理的通项公式加以展开与化简，令其中自变量x的指数为6，构建关系式进而确定参数r的值，代入化简后的展开式的通项公式即可确定所求项的系数.

解析：由展开式的通项公式Tr+1=Cr6·（2x3）6-r·1xr=Cr6·26-r·x18-4r，

令18-4r=6，解得r=3，因此x6的系数是C36·23=160，故填答案160.

点评：熟练掌握二项式定理的展开式或展开式的通项公式，为正用公式提供最为坚实的基础.正用二项式定理的公式，也是最基本、最简单的应用方式之一，要做到正确、灵活、熟练.

2 会逆用公式

公式的逆向应用，从右到左，从另一个视角实现公式自身的一个合理思维过程.

逆用公式，即逆向套用二项式定理的公式，在展开式的化简、求值、整除等一些方面的应用中经常涉及.熟练掌握二项式定理，并合理把握展开式中的元素关系，为逆用公式的逆向思维提供广阔的空间.

例2 设n∈N*，则C0n·1n·80+C1n·1n-1·81+C2n·1n-2·82+C3n·1n-3·83+…+Cn-1n·11·8n-1+Cnn·10·8n除以9的余数为（  ）.

A. 0

B. 8

C. 7

D. 2

分析：根据题设条件，充分把握条件中展开式的结构特征与变化规律，借助二项式定理，通过逆用二项式定理的公式加以转化与化简，进而得以简单快捷判断相应的整除性质与应用问题.

解析：由于C0n·1n·80+C1n·1n-1·81+C2n·1n-2·82+C3n·1n-3·83+…+Cn-1n·11·8n-1+Cnn·10·8n=（1+8）n=9n，

所以上式除以9的余数为0，故选A.

点评：逆用公式是在正用公式的基础上进一步加以提升与深入的，要求具备更加灵活多变的观察力与把握力.逆用公式是逆向思维的训练与展示，能充分加深学生对二项式定理的理解和应用，培养学生的观察能力与综合应用能力.

3 会变用公式

公式的变形是借助公式自身的特点，合理巧妙恒等变化，用于处理一些特殊情况下的数学问题.

在解决一些复杂的创新综合应用问题时，有不少问题需要将数或式进行合理变形后，通过变用公式，再运用二项式定理加以综合与处理.变用公式经常涉及配凑法、整体思维法、拆分法等技巧的应用.

例3 已知（x+1）4+（x-2）8=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+…+a8（x-1）8，则a3=（  ）.

A. 64

B. 48

C. -48

D. -64

分析：根据题设条件，通过条件中的等式左边与右边展开式的特征与关系，以x-1为整体确定对应的元素，进而将等式左边中的二项式进行合理配凑，构建涉及元素x-1的展开式，进而加以分析与处理.

解析：由（x+1）4+（x-2）8=［（x-1）+2］4+［（x-1）-1］8=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+…+a8（x-1）8，

可得a3·（x-1）3=C14·（x-1）3·2+C58·（x-1）3·（-1）5，

所以a3=8-C58=-48，故选C.

点评：抓住题设条件中不同关系式之间的特征与关系，加以合理配凑、整体思维、拆分等处理，进而变用公式，达到灵活巧妙应用二项式定理的目的.变用公式，对于学生的问题分析能力、观察能力等都有较高的要求，还要求熟练掌握一些基本的变形技巧.

4 会特殊赋值

二项式定理中的二项展开式，是同类问题中的一个基本形式，在具体解决问题中，经常可以结合题目条件加以特殊化处理，这也是一般性思维与特殊性思维之间的联系.

特殊赋值是通过自变量x取特殊值（经常是0，1，-1等）代入二项式，进而加以进一步分析与求解，经常会有多次特殊赋值的情况发生.二项式定理的特殊形式，是在特定参数取值情况下对应成立的一个等式，也是从一般到特殊的数学思维方法训练与考查的一个绝好场景.

例4 （2022年高考数学北京卷·8）若（2x-1）4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，則a0+a2+a4=（  ）.

A. 40

B. 41

C. -40

D. -41

分析：根据二项展开式的特征，分别令x=1，x=-1，代入二项式得到两个相应的等式，结合所求的结论，再把两个等式对应相加并整理即可求解.正确洞察所求代数式与二项展开式之间的关系，为特殊赋值提供条件.

解析：令x=1，代入可得1=a4+a3+a2+a1+a0；令x=-1，代入可得81=a4-a3+a2-a1+a0.

以上两式对应相加，则有2（a4+a2+a0）=82，解得a4+a2+a0=41，故选B.

点评：特殊赋值在二项展开式中涉及一些求解参数值、代数式的值等方面都有很好的表现.破解的关键就是敏锐观察二项展开式与所求结论之间的联系，通过特殊值可以构建两者之间的联系，进而为特殊赋值的应用提供场所.在特殊赋值过程中，可以充分培养学生的观察能力和灵活性.

5 会分类讨论

分类讨论思想作为数学学科中一个最基本的思想方法，在很多问题中都有其应用的场景，关键是合理分类，不遗漏不重复.

涉及二项式定理的乘积、加减等运算问题中，经常离不开分类讨论思想的应用.抓住问题实质，主次合理分开，条件综合考虑，分类讨论灵活应用，化繁杂为精细，先分再合，逐一分析，最后综合求解.

例5 （2022年高考数学新高考Ⅰ卷·13）1-yx（x+y）8的展开式中x2y6的系数为_____________（用数字作答）.

分析：根据题设条件，在二项式定理的创设情境下，要将求解“展开式中x2y6的系数”问题进行简化，通过两代数式1-yx与（x+y）8的展开式之间的乘积，分类讨论进行化繁为简处理.

解析：由于（x+y）8的通项公式为Tr+1=Cr8x8-ryr，

当r=6时，T7=C68x2y6；当r=5时，T6=C58x3y5，

所以展开式中x2y6的系数为C68-C58=28-56=-28，故填答案-28.

点评：借助分类讨论来处理二项式定理中的相关问题，经常是将复杂问题加以细化，转化为几个互不影响的式子，通过分类讨论进行逐一分析，从而降低思维难度与知识层次，先分开再综合，进而确定对应代数式的系数或其他相关问题，从而实现问题的解决.

6 会活用系数

概念之间的联系与区分，对于问题的分析与解决起着决定性的作用，特别是一些比较容易混淆的概念，要加以正确理解与应用.

二项式定理中展开式的二项式系数与系数，是其灵活应用的重要体现，合理构建关系式，是高考考查的一个重点内容.

例6 （2022年高考数学上海卷·7）二项式（3+x）n的展开式中，x2项的系数是常数项的5倍，则n=_____________.

分析：根据二项式定理中对应项展开式的系数与常数项的关系，灵活确定相关的系数，结合题设条件合理构建对应的关系式，通过组合数公式的应用以及方程的求解，进而确定对应的参数值.

解析：依题意，可得C2n×3n-2=5C0n×3n，即n（n-1）2=5×9，解得n=10，故填答案10.

点评：正确区分二项式定理展开式中的相关项的二项式系数与系数的区别，以及二者与常数项等的概念，灵活应用对应的公式来正确确定相关的系数，为进一步的综合与应用提供条件.

7 会数学建模

数学建模就是一个把实际问题经过相应的分析、抽象、概括后，借助数学语言、数学概念、数学符号或数学公式等来表述成数学问题，进而借助数学知识来解决的过程.

在解决一些复杂的二项式定理问题中，经常借助一些给出展开式相关项的特征来进行合理的数学建模，利用组合的数学模型（或其他模型）特征来分析与处理问题，是数学建模解决二项式问题的一种技巧方法.

例7 2x+1x-35的展开式中常数项是_____________.

分析：根据题设条件，通过组合的数学模型的构建，将二项展开式看作对应的五个关系式相乘，利用展开式中常数项的不同构建情况分三种情况来展开与正确抽取，结合组合来分析与求解.

解析：2x+1x-35表示五个2x+1x-3相乘，则展开式中的常数项由三种情况产生，

一种是从五个2x+1x-3中分别抽取2个“2x”，2个“1x”，1个“-3”，则此时的常数项为C25·C23·22·（-3）=-360；

第二种情况是从五个2x+1x-3中都抽取“-3”，则此时的常数项为C55（-3）5=-243；

第三种情况是从五个2x+1x-3中分别抽取1个“2x”，1个“1x”，3个“-3”，则此时的常数项为C15·C14·21·（-3）3=-1080.

所以展开式中常数项为-360-243-1080=-1683，故填答案-1683.

点评：以上问题中，根据组合模型特征，从相关二项式所对应的因式中按要求提取相关的因式进行数学建模处理，通过组合计数的合理建模达到满足条件的目的.巧妙将题设场景与对应的数学模型加以合理构建，是运用数学建模处理数学问题的关键步骤与精华.

8 会求导转化

导数的应用，为解决函数的基本性质问题提升了高度与宽度，当然在解决一些与函数有关的三角函数、数列、排列组合与二项式定理等问题中，也有其应用的场所.

在解决一些复杂的二项式定理的创新综合应用问题中，由于问题考虑的复杂性或多面性，经常可以合理构建二项展开式，进行式子的两边求导处理，利用求导（或二次求导等）后的关系式特征，结合相关的技巧方法来进一步分析与处理.

例8 （2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练（八省联考）数学·6）（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）9的展开式中x2的系数是（  ）.

A. 60

B. 80

C. 84

D. 120

分析：利用求导法破解本题的关键是设出二项展开式，把确定展开式中x2的系数问题转化确定a2的值问题，利用等式两边同时取导数处理，两次求导解决，加以赋特殊值处理，进而得以确定a2的值.

解析：设二项式（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）9=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a9x9，

以上等式两边同时取导数，可得2（1+x）+3（1+x）2+…+9（1+x）8=a1+2a2x+3a3x2+…+9a9x8，

以上等式兩边再次同时取导数，可得2+3×2（1+x）+…+9×8（1+x）7=2a2+3×2a3x+…+9×8a9x7，

令x=0，可得2+3×2+…+9×8=2a2，即a2=12（2×1+3×2+4×3+5×4+6×5+7×6+8×7+9×8）=120，故选D.

点评：在一些有规律的多项式的加式、积式等综合应用中，合理采用求导法，可以进行降幂处理，综合特殊赋值法的应用，往往在解决一些特殊二项式定理问题中有奇效.求导法处理二项式定理问题，也为破解二项展开式中的相关问题提供更加广阔的场景.

9 总结

在二项式定理的教学与学习中，应认真做好基本方法的梳理工作，精心配置例题和习题，进行二项式定理的相关知识、方法和技巧的训练，通过对二项式定理中二项展开式的正用、逆用、变用等，进而学会合理赋值处理、分类讨论，更加深入地活用系数、数学建模以及求导转化等，才能真正全面理解、掌握与应用二项式定理.同时，二项式定理的应用技巧方法与策略，对我们数学思维的发展、数学能力的提升和数学素养的培养等都是十分有益的.

参考文献：

［1］ 王位高.二项式定理高考考法探析［J］.广东教育（高中版），2022（11）：20-23.

［2］ 孙承辉.二项式定理典型考题例析［J］.中学生数理化（高考数学），2022（11）：33-34.