谈谈用导数法解答两类函数问题的路径

王咏梅

解答函数问题常常要用到函数的性质和图象.而对于较为复杂的函数问题，如含有导数式、高次幂、指数式、多个单项式的积、对数式等问题，采用常规方法就很难获解.此时需巧妙运用导数法，对函数式求导、分析导函數与函数单调性之间的关系、研究函数的极值和图象，从而求得问题的答案.下面结合实例，谈一谈如何巧妙运用导数法求函数的单调区间、证明函数不等式.

一、求函数的单调区间

求函数的单调区间问题主要是指根据函数的解析式和定义域求函数的单调区间.运用导数法求函数的单调区间主要有以下几个步骤：第一步，将函数式化简，并对函数式求导；第二步，令导函数 f ′（x）=0，求得其零点，并用零点将函数的定义域划分为几个区间；第三步，在每个区间上讨论导函数 f ′（x）与0之间的大小关系.一般地，若在某个区间上 f ′（x）>0， 则该区间为函数的单调递增区间；若在某个区间上 f ′（x）<0， 则该区间为函数的单调递减区间.

要证明第一个不等式：ln（1 + x） < x ，只需将含 x 的项移到不等号的一侧，构造出新函数，即可利用导 数法，判断出函数的单调性，从而证明结论.证明第二 个问题，需找到与 k 相关的 x0 .因为 f （x）、g（x） 的函 数形式较为简单，所以将不等式移项，并构造新函数 h（x） = ln（x + 1） - kx ，对其求导，然后将 k 分成 k ≤ 0 和 0 < k < 1 两种情况进行分类讨论，并通过分析导函数 的性质，来确定函数 h（x） 在 （0，x0） 上的单调性.

虽然运用导数法解题计算量较大，但导数法仍然 是解答复杂函数问题的重要工具.在运用导数法解函 数题时，只要灵活运用数形结合思想、方程思想、分类 讨论思想，就能顺利破解难题.

（作者单位：江苏省启东市东南中学）