数形结合思想在2020-2022年高考全国理科卷中的应用

王若璇 周春梅

摘   要：本文以数形结合的理论基础为切入点，着重探索数形结合思想在2020-2022年高考全国理科卷中函数及立体几何的具体应用，以帮助学生解决复杂问题，切实提升数学解题能力.

关键词：数形结合思想；高考；数学解题

中图分类号：G632         文献标识码：A         文章编号：1008-0333（2023）07-0035-03

1 数形结合思想

数形结合思想是高中数学中学生必须要掌握的思想方法，它体现在高中数学内容的各个方面，如集合、不等式、向量、三角函数、解析几何、立体几何等.通过阅读大量文献发现，许多学者对“数形结合”都有自己的理解.

徐文龍把“数”理解为数学文字表征，即数字、数学概念、数学定理、数学结构等，把“形”可以理解为图形表征，即实物、图象、图表、图形等.

蔡小雄认为“形”因“数”得到抽象的概括，“数”因“形”得到直观的体现，将数学语言与图形语言巧妙结合，利用图形的直观刻画和代数的严谨论证，使数学问题得以研究和解决.

华罗庚在描述数形结合时说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微.数形结合百般好，割裂分家万事休.”

2 数形结合思想在2020-2022年高考全国理科卷中的应用

经过对近几年高考试题的研究，在解决一些复杂的问题时运用数形结合的思想方法，可以小费力获得大收获，特别是在求解选择题、填空题中更能表现出它的优越性.在这里主要以“函数”“立体几何”这两类较难的问题进行探索.

2.1 在函数问题上的应用

函数是高中数学学习中的重点与难点，是高中数学课程内容的四条主线之一，在高中数学中占据非常重要的地位.在解决函数问题时，可以应用数形结合思想，将题目中的问题与图形有效结合起来，通过图形将题目中的问题具体化，抓住题目中的解题要点.

例1   （2022年全国乙卷）已知x=x1和x=x2分别是函数fx=2ax-ex2a>0且a≠1的极小值点和极大值点.若x1

解析   由题意，得f ′x=2axlna-2ex（a>0且a≠1），因为x=x1和x=x2分别是函数fx的极小值点和极大值点，即f ′x=0有两个不同的实数根x1，x2，且x1

当f ′x=0时，ax=elnax，令gx=ax，hx=elnax，则gx与hx的函数图象有两个不同的交点.

当0

即x0lna=1，即x0=1lna=logae.

所以切线斜率k=ax0lna=alogaelna=elna，要使gx与hx的函数图象有两个不同的交点，则elna

又0

当a>1时，若函数gx与hx的图象有两个不同的交点，则函数图象如图2所示，则当x∈0，x1时，f ′x>0，可得函数fx是单调递增的；当x∈x1，x2时，f ′x<0，可知函数fx是单调递减的；当x∈x2，+∞时，f ′x>0，fx单调递增.则x1为极大值点，x2为极小值点，与题意不符.

综上所述，a可取的范围是1e，1.

通过这两个例题，可以发现：在近几年的高考题中，对于立体几何大题的考查主要集中在证明线线的关系及求线面所成角上.考查了学生的空间想象能力、运算求解能力，体现了直观想象的核心素养.

通过对2020-2022年高考全国理科卷中个别题目的详细解答可以发现：现在的高考数学不仅仅是对知识点的考查，考查更多的是学生的逻辑推理、直观想象等能力.所以，在教学过程中，首先增强学生的学习兴趣，其次在进行思想方法渗透时要有支撑， 最终提高学生运用数形结合方法解决问题的能力.

参考文献：

［1］蔡小雄.更高更妙的高中数学思想与方法［M］.杭州：浙江大学出版社，2012.

［2］ 陶政国.论数形结合思想在高中数学解题中的优势与应用［J］.数理化解题研究，2022（16）：78-80.

［责任编辑：李   璟］

收稿日期：2022-12-05

作者简介：周春梅，女，宁夏固原人，硕士，副教授，从事复分析及其在力学中的应用研究；

王若璇（1998.8-），女，山西省临汾人，硕士，从事数学教学研究.

基金项目：2020宁夏高等学校科学研究项目（项目编号：NGY2020079）；宁夏自然科学基金资助项目（项目编号：2022AAC03332）；宁夏卓越教师发展研究人才小高地项目经费资助.