灵活运用导数法，高效解答三角函数问题

袁丽娜

导数法是解答数学问题的重要方法.对于较为复 杂的三角函数问题，如含有高次三角函数式，几种三 角函数的积、和、差、商的问题，运用导数法求解，可使 解题的过程和思路变得简单，有助于提升解题的效率.

一、三角函数图象问题

三角函数图象问题比较常见，通常需根据三角函 数的解析式、图象来确定函数的最高（低）点、对称轴、 对称中心、单调区间、奇偶性、周期性等.在解题时，我 们可以直接对函数式求导，根据导函数与函数单调性 之间的关系判断出函数的单调性，据此便可画出函数 在某个区间内的大致图象.再根据函数的奇偶性、周期 性画出函数的完整图象，就可以根据图象顺利求得问 题的答案.

例1

解：

先 观 察 图 象 ，可 发 现 当 x → 0 ，且 x > 0 时 ， f （x）< 0 ，由此可以判断选项A、B错误；然后对函数求 导，即可判断出函数的拐点、单调区间，结合函数的图 象就能快速得出正确的答案.

二、三角函数最值问题

对于一些复杂的三角函数最值问题，采用常规的 方法求解，很难快速得出问题的答案，此时需运用导 数法，即首先将三角函数式化简，并对其求导；然后判 断出函数的单调性和单调区间，据此便可确定函数的 极值.一般地，若在某点处左侧的函数图象单调递减， 右侧的图象单调递增，则该点为极小值点；若在某点 处左侧的函数图象单调递增，右侧的图象单调递减， 则该点为极大值点.最后将极值与定义域的端点值相 比较，较大者则为函數的最大值，较小者则为函数的 最小值.

例2

解：

首先对 f（x）= sin2xsin 2x 求导，得到 f ′（x）=（1- cos 2x）（2 cos 2x +1）.然后根据导函数大于0，求得函数的单调递增区间;根据导函数小于0，求得函数的单调递减区间，便可根据函数极值的定义，确定函数的极大值、极小值.最后将所求的极值与定义域上的端点值相比较即可.

三、三角函数单调性问题

运用导数法解答三角函数单调性问题，首先要对化简后的函数式求导；然后令导函数为0，求得零点；再根据导函数与函数单调性之间的关系：（1）若在[a，b]上 f ′（x）>0，则函数在[a，b]上单调递增；（2）若在[a，b]上 f ′（x）<0，则函数在[a，b]上单调递减，由此判断出函数在各个子区间上的单调性和单调区间.

例3.已知函数 f（x）= cos 2x +a（sin x - cos x）在区间0， 上单调递增，求实数 a 的取值范围.

解：

对函数 f （x）= cos 2x + a（sin x - cos x） 求导后，便可 根据已知信息：函数在区间 é ? ù ? 0， π 2 上单调递增，建立关 系式 f'（x）= -2 sin 2x + a（cos x + sin x）> 0 .再将不等式中 的参数、变量分离，通过求区间 é ? ù ? 0， π 2 上 4 sin x cos x cos x + sin x 的最大值，求得 a 的取值范围.

综上所述，运用导数法解答三角函数图象、单调性、最值问题，非常奏效.因此，在解答复杂的三角函数问题时，同学们要学会将问题与导数知识关联起来，灵活运用导数法来提升解题的效率.

（作者单位：山东省枣庄市第十八中学）