妙用三种思路求解抽象函数问题

孙建丽

抽象函数问题具有较强的抽象性，题目中往往不会给出具体的函数解析式，对此，很多同学不知该如何下手.下面结合实例，谈一谈求解抽象函数问题的三种思路.

一、取特殊值

在解答抽象函数问题时，为了找到更多的条件， 我们可以采用特殊值法，根据题意选取合适的特殊 值、特殊函数、特殊位置、特殊点，将其代入题设条件 中，进行合理的代换、运算，即可建立关系式，快速明 确函数的性质，从而求得问题的答案.

例1

解：

由于题目中没有给出具体的函数解析式，很多同 学不知该如何下手，若根据题意设函数为 f （x）= -2x ， 即可快速确定函数的奇偶性、单调性，以及 f （0）、f （3） 的值，求得 f （3x 2 ）- 2f （x）< f （3x）+ 4 的解集.我们采用取 特殊值法，通过取特殊函数，将问题转化为简单的函 数问题，从而达到化难为易的目的.

例2

解：

解答本题，首先要根据已知关系式，判断出函数的奇偶性和周期性；然后取特殊值x =-1，得 f（-1）=f（1）=0，即可根據函数的周期性，快速求得 f（99）+f（100）的值.对于一些求值题，往往可以将0、1、-1、-x 作为特殊值，代入已知关系式中进行求解.

二、利用函数的性质

函数的性质有很多，如奇偶性、单调性、周期性、对称性.在解答抽象函数问题时，往往需根据已知条件，利用函数单调性、周期性、奇偶性、对称性的定义来明确函数的性质，进而根据函数的单调性、周期性、奇偶性、对称性来建立关系式.

例3.已知函数 f（x）的定义域为 R ，当 x1-1，且f（1）=1，则以下说法中正确的是（）.

A. f（x）+x 是单调递减的

B. f（x）是单调递增的

C.不等式 f（log2|3x -1|）<2-log2|3x -1|的解集为（-∞，0）?（0， 1）

D.不等式 f（log2|3x -1|）<2-log2|3x -1|的解集为（-∞， 1）

解：

我们由已知条件，即可根据增函数的定义快速判 断出 g（x）= f （x）+ x 的单调性，进而根据其单调性解不 等式 f （log2|3x - 1|）< 2 - log2|3x - 1| ，从而使问题快速获 解.

三、数形结合

若根据题目中的关系式很难求得问题的答案，则 可以根据题意画出函数的图象，对其进行翻折变换、 平移变换、对称变换，通过研究函数图象的变化趋势、 最值、对称性等，来求得问题的答案.

例4

解：

可见，数形结合法是解 答抽象函数问题的有效工 具.只需画出满足题意的图 象，通过研究图象的位置关系，确定交点的位置、取 值，即可快速解题.

虽然抽象函数问题的难度较大，但是我们只要学 会根据题意选择合适的特殊值，灵活运用函数的性 质、图象，便能高效解题.

（作者单位：江苏省盐城市射阳县高级中学）