巧用构造法 解答数学题

摘 要：数学作为我国课程体系中的三大主科之一，不仅是学生学习所有理科知识的基础，还关系到他们思维能力与推理能力的发展.在初中数学教学中，解题教学属于一个常规环节，主要锻炼学生运用所学知识解决数学问题的能力.教师既要关注理论知识的讲授，还需介绍一些常用的解题方法，构造法即为其中一个，可指导他们巧用构造法解答数学题，助其解题水平稳步升高.笔者针对如何巧用构造法解答初中数学题作探讨，并罗列部分解题案例.

关键词：构造法；方程；不等式；函数

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2023）35-0089-03

构造法就是当处理部分数学试题时，采用常规方法或者按照定向思维很难处理，可结合题目中已知条件与所求结论的性质、特征，基于新观点、新视角重新分析与理解，把握好反映问题条件和结论之间的内在联系，以原题中条件为基础，通过已知数学理论与关系式构造出新对象，呈现题目中的隐性关系，从而方便、快捷地解决数学试题［1］.初中数学教师应指引学生巧用构造法解答试题，使其会根据实际情况构造新对象，让他们轻松完成试题求解.

1 巧用方程构造法，解答数学题

“方程”作为学生从小学阶段就开始接触到的一个知识，进入初中以后，他们将会学习到更多与方程相关的知识，不仅要学习简单的一元一次方程，还要学习一元二次方程及方程组等内容，在初中数学教学中占据着关键地位，而且方程知识在解题中应用广泛.针对初中数学解题教学来说，部分试题难度系数较高，教师可以指导学生以认真阅读题目内容为前提，根据题干中给出的已知条件与数量关系构造出新的方程形式，由此把方程思想体现出来，使其结合方程知识找到合理的解题思路，让他们有效转化问题，降低解题难度，顺利解答数学题.

例1 已知x、y、z为三个不一样的实数，其中x＞y＞z，满足x+y+z＝1，x2+y2+z2＝1，请求出x+y的取值范围.

分析 本题中出现的方程比较特殊，形式分别是三元一次方程和三元二次方程.如果使用常规方法受限于已知条件难以顺利完成解题，首选思路通常是采用整体替换法，根据题目中给出的条件进行替换，但是采用这样的方法解题过程较为复杂，很难轻松求出代数式x+y的取值范围.可以巧妙应用构造方程的方法，根据题干中的所给条件与结论构造出新的方程形式，然后再利用方程相关知识求出x+y的取值范围.

详解 因为x+y+z＝1，所以x+y＝1-z，将两边同时平方以后可以得到（x+y）2＝（1-z）2，又因为x2+y2+z2＝1，

整理、化简以后能够得到xy＝z2-z，

结合这两个式子可以看出x、y为方程m2+（z-1）m+（z2-z）＝0两个不一样的实数根，即为构造出的新方程，

然后根据△＞0能够得到-13＜z＜1，也就是-13＜1-（x+y）＜1，

所以x+y的取值范围为43＞x+y＞0.

例2 已知三个实数x，y，z同时满足x+y＝3，xy＝（z-3）2+x+1，请问x+2y+3z的值是什么？

分析 本题属于较为常见的代数式求值类题目，可以先对题干中给出的几个条件进行变形处理，将原式整理为关于两个式子的求解题目，再认真观察题目提供的已知式子的特征与形式，代入和化简后构造出一个新方程，随后借助方程的性质就能轻松解题.

详解 因为x+y＝3，所以y＝-x+3，将式子y＝-x+3代入到式子xy＝（z-3）2+x+1中，消去变量y，然后所有项全部移动至右边，配方以后可以得到一个新的方式（x-1）2+（z-3）2＝0，由此得到x-1＝0，z-3＝0，解得x＝1，z＝3，

又因为xy＝（z-3）2+x+1，求得y＝2，所以x+2y+3z＝1+2×2+3×3＝1+4+9＝14.

2 巧用不等式构造法，解答数学题

不等式本身就是一类与众不同的代数式，通常用“＞、＜、≥、≤、≠”等特殊符号来表示式子的大小关系，学生在小学阶段也有所接触，不过在初中阶段他们所学的不等式知识更为复杂，难度和深度均更高，会遇到一元二次不等式与不等式组等新知识，而且很多题目中都涉及不等式方面的内容.对于初中数学解题教学而言，当遇到部分题干比较长的题目时，教师需要提醒学生在阅读过程中关注一些特殊词语，像“最小”“最大”“至少”“不高于”“不低于”等，使其审清题意构造出不等式，让他们结合不等式的性质解答数学题.

例3 已知某公司准备有A、B兩种材料，重量分别是360千克和290千克，现在计划使用这两种材料生产甲、乙两种产品一共50个，生产一个甲产品分别需用到A、B两种材料9千克与3千克，利润为700元/个，生产一个乙产品分别需A、B两种材料4千克与10千克，利润是1200元/个，请求：

（1）根据上述条件与要求生产甲、乙两种产品一共有几种方案？分别写出来；

（2）设生产甲、乙两种产品能够得到的总利润为y（元），生产甲商品x个，那么y与x之间的函数关系式是什么？然后结合函数性质指出（1）种哪种生产方案可以得到最大利润？最大利润是多少钱？

分析 处理第（1）问时，本题题干较长，阅读过程中需善于把握住关键信息，基于专业的数学语言重新描述题意，结合已知条件巧妙应用构造法构造一个不等式组，然后根据不等式的性质将符合题意的几种方案都设计出来；解决第（2）问时，可结合第（1）问信息列出一个函数解析式，随后根据函数性质及实际生产情况确定最终生产方案，且求出最大利润.

详解 （1）因为生产甲产品x个，那么生产的乙产品是（50-x）个，结合题意可以构造出下列不等式组：9x+4（50-x）≤3603x+10（50-x）≤290，求得30≤x≤32，

因为x的值只可以是正整数，所以x只能取30，31，32，

即为生产甲产品的数量，结合（50-x）能够分别求得乙产品的数列分别为20，19，18，那么总的来说一共有3种生产方案，分别是：①甲商品30个，乙商品20个；②甲商品31个，乙商品19个；③甲商品32个，乙商品18个.

（2）结合题意能够列出函数解析式y＝700x+

1 200（50-x）＝-500x+60 000（30≤x≤32），结合一次函数的性质知道这是一个减函数，x的值越大，y的值就越小，所以当x＝30时利润有最大值，即为生产甲产品30个、乙产品20個时可以得到最大利润，

这时y＝-500×30+60 000＝45 000，求出最大利润是45 000元，

所以说y与x之间的函数关系式是y＝-500x+60 000，按照（1）中的方案①可以得到最大利润，最大利润为45 000元.

3 巧用函数构造法，解答数学题

函数可谓是贯穿于整个初高中的数学教学，在课程体系中有着相当重要的地位.学习好函数知识意义重大，不仅可以解决函数方面的问题，还能够用来分析和解决其它方面的数学试题，究其原因主要在于很多数学试题都可以通过构造函数的方法进行解题，虽然有时难以直接求解，不过有助于解题思路的打开.在初中数学解题训练中，当遇到难度较大的试题时，如果在短时间内很难找到解题的切入点，教师可指导学生仔细阅读题干内容，从中找到关键性信息，让他们构造出相应的函数关系，使其根据函数图像、性质等处理数学试题.

例4 如图1所示，一位篮球员正在进行篮球投篮训练，其中篮球的运动轨迹是一条抛物线，解析式为y＝-15x2+3.5，可以顺利投入篮筐，已知篮筐距离地面的高度为3.05米，求：

（1）篮球在空中运行过程中最高点是多高？

（2）如果这名篮球运动员进行跳投时，出手时篮球与地面的高度为2.25米，请问他同篮筐中心之间的水平距离为多远？

分析 处理第（1）问时，需要将整个函数图形给构造完整，结合函数图象及性质计算出篮球整个运行轨迹中最高点是多高；解决第（2）问时，应该把这一函数的坐标系构造出来，根据二次函数的图象和性质进行求解，顺畅求出这名运动员同篮筐中心之间的水平距离.

详解 （1）结合题意知道篮球沿着抛物线y＝-15x2+3.5的轨迹运行，根据二次函数的性质可知该抛物线的顶点坐标为（0，3.5），如图1所示，将篮球的运行轨迹大致画出来，属于这条抛物线的一段，验证以后能够判断出最高点位于函数的定义域内，即为在空中运行过程中最高点是

3.5米；

（2）在图1建立坐标系，如图所示，经过审题后能够判定出该篮球运动员所处位置的横坐标，根据篮筐处的高度为y＝3.05米，代入抛物线的解析式可以求得这时x＝1.5米；

再结合该篮球运动员进行跳投时出手高度是y＝2.25米，则求得x＝-2.5（x≤0），所以说该运动员同篮筐中心之间的水平距离为1.5+2.5＝4米.

例5 如果x1、x2是方程（x-m）（x-3）＝-1的两个根，且x1＜x2，m＜3，那么实数x1，x2，3，m的大小关系如何？

（A）m＜x1＜x2＜3（B）x1＜m＜x2＜3（C）x1＜m＜3＜x2（D）x1＜x2＜m＜3

分析 虽然本题是一道典型的方程题目，但是方程和函数存在着十分密切的联系，处理此类试题时可基于函数视角切入，根据题设条件构建出相应的函数，借助函数的图象平移与性质等顺利完成解题.

详解 因为x1、x2是方程（x-m）（x-3）＝-1的两个根，且x1＜x2，m＜3，

所以可构造函数y1＝（x-m）（x-3），y2＝（x-m）（x-3）+1，

其中函数y1图象与x轴的交点是x＝m，x＝3，

函数y2图象与x轴的交点是x1、x2，

函数y2图象能够视为由函数y1图象，往上平移一个单位后得到的，在同一个平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，如图2所示，能够清晰看到m＜x1＜x2＜3，

所以正确答案是选项A.

参考文献：

［1］ 黄智增.穷则变 变则通：“构造法”巧解初中数学题举隅［J］.初中数学教与学，2023（15）：25-27.

［责任编辑：李 璟］

收稿日期：2023-09-15

作者简介：杨少婷（1977.3-），女，福建省泉州人，本科，中学一级教师，从事初中数学教学研究.