借助网络画板探究点运动的路径

摘 要：文章用网络画板对2018年贵阳市的一道中考题进行探究，展示点的运动过程，直观地得到点的运动路径.采用“模型提取——解题关键——完整解答——解后反思——巩固训练”的形式，让读者知一型，悟一法.

关键词：网络画板；贵阳中考；平行四边形；运动

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2023）35-0095-03

把數学变得更容易学习，是张景中院士从20世纪70年代就开始思考并着手实践的事情，这也是“教育数学”的来由.随着教育信息化和数学学科信息技术的发展，为促进信息技术与数学教与学的创新融合带来了契机.网络画板（前身是超级画板）是最近几年发展起来的数学学科专用的优秀的信息技术平台，是中小学数学教学开发共享的数学实验室.笔者利用网络画板对2018年贵阳市中考的一道与点运动路径有关的试题进行探究，采用“模型提取——解题关键——完整解答——解后反思——巩固训练”的形式，让读者知一型，悟一法.

1 试题呈现

（2018年贵阳市中考题）

如图1，在平面直角坐标系xOy中，A是反比例函数y=m3-m2x（x>0，m>1）图象上一点，点A的横坐标为m，B（0，-m）是y轴负半轴上的一点， 连接AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，过点A作AE平行于x轴，过点D作y轴平行线交AE于点E.

（1）当m=3时，求点A的坐标；

（2）DE=_______，设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式和自变量的取值范围；

（3）连接BD，过点A作BD的平行线，与（2）中的函数图象交于点F，当m为何值时，以A，B，D，F为顶点的四边形是平行四边形［1］？

2 模型提取

已知A，B，D三点确定（含m的式子），在抛物线上求一点F，当m为何值时，以A，B，D，F为顶点的四边形是平行四边形.

3 探究实验

第（2）问：如图2所示，拖动变量尺m，观察点D运动的路径，猜测这是什么函数的图象.

第（3）问：如图3所示，拖动变量尺m，观察点F1，F2，F3（点F1，F2，F3是过△ABD的顶点分别作对边平行线的交点），有几次机会落在点D的路径上.

4 解题关键

（1）将m=3代入反比例函数解析式即可求出.

（2）本题用几何方法从图形上确定点D的运动路径很难，但点D的运动是由字母m的变化引起的， 点D的坐标和m之间就有着某种关联，可通过几何关系建立二者的内在联系，可得到D的坐标x和y关于m的关系式，消掉参数m即得到y关于x的函数关系式.

（3）虽然A，B，D三点随m的变化而变化，但都可以用m的式子表示，把它看作定点， 问题转化成已知三定点，求一点使这四点为顶点构成平行四边形的问题.因为BD∥AF，因此BD和AF是平行四边形的对边，即只有AD和AB是对角线两种情况，可以通过构造全等三角形，或平移前后对应点在水平和坚直方向上平移的距离相等，或平行四边形两组相对顶点横坐标之和相等，纵坐标之和也相等解决.

5 完整解答

解 （1）当m=3时，y=27-9x=18x，∴x=3时，y=6，∴点A坐标为（3，6）.

（2）如图4所示，延长EA交y轴于点N.

∵DE∥y轴，

∴∠NCA=∠EDA，∠CNA=∠DEA=90°，∵AD=AC，∴△NCA△EDA，

∴DE=CN.∵点Am，m2-m，B（0，-m），

∴BN=m2-m-（-m）=m2，AN=m.在Rt△CAB中，AN⊥y轴，

∴△ANC～△BNA，∴AN2=CN·BN，

∴m2=CN·m2，∴CN=1，

∴DE=1，∴点E坐标为2m，m2-m， 点D坐标为2m，m2-m-1.

∴x=2m，y=m2-m-1.把m=12x代入y=m2-m-1，

∴y=14x2-12x-1（x>2）.

（3）解法1 ∵x>2，

∴直线AF与二次函数y=14x2-12x-1（x>2）只有一个交点，如图5所示，设直线AF交y轴于点M，过点F作FQ∥y轴交AE的延长线于点Q，过点D作DH⊥y轴于H，则∠FQA=∠BHD=90°.

当四边形ABDF是平行四边形时，AF=DB.

∵FQ∥y轴，∴∠HMF=∠AFQ.

∵AF∥BD，

∴∠HMF=∠HBD，∴∠AFQ=∠DBH，

∴△FQA△BHD，∴AQ=DH=2m，FQ=BH，

∴点F的横坐标为3m， 纵坐标为94m2-32m-1，

∴FQ=94m2-32m-1-m2-m=54m2-12m-1.

∵D2m，m2-m-1，B（0，-m），

∴BH=m2-m-1-（-m）=m2-1，

∴54m2-12m-1=m2-1， 解得m=2或m=0（舍去）.

∴当m=2时，以A，B，D，F为顶点的四边形是平行四边形.

解法2  如图6所示，分别过△ABD的顶点A，B，D作对边的平行线交于点F1，F2，过点A作GH∥x轴，过点B作BI∥x轴，作F2H∥y轴，F1G∥y轴，交点分别为G，H，I.

∵四边形ABDF1和四边形AF2BD是平行四边形，易证△AGF1△AHF2△BID，

∴F1G=HF2=DI，AG=HA=BI.

∵x>2，Am，m2-m，B（0，-m），D2m，m2-m-1，

设F1xF1，yF1，F2xF2，yF2，

①当四边形ABDF1是平行四边形时，有

2m-0=xF1-m，m2-m-1+m=yF1-m2+m，

即F13m，2m2-m-1.

∴2m2-m-1=14×（3m）2-12×3m-1，

解得m=2或m=0（舍去）.

②当四边形AF2BD是平行四边形时，有

2m-0=m-xF2，m2-m-1+m=m2-m-yF2，

即F2（-m，1-m）.∵m>1，∴-m<-1.

而y=14x2-12x-1中x>2， 不符合要求， 故这种情况不存在.

综上所述， 当m=2时， 以A，B，D，F为顶点的四边形是平行四边形.

6 解后反思

本题为代数几何综合题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的全等、相似三角形的判定与性質、平行四边形判定及用字母表示坐标，熟练掌握和灵活应用相关知识、利用数形结合和分类讨论的数学思想是解题的关键．

当用几何方法难以确定动点运动路径时，一般用相似（全等）或线段间的数量关系得出动点横、纵坐标之间满足的关系，即把几何问题转化为代数问题，然后从函数的关系入手.

在日常教学或者解题教学中，遇到动点的路径问题，教师应该借助网络画板、超级画板、几何画板或者GGB等软件，做动画给学生展示动点的运动过程，让“静”的几何元素“动”起来，不仅形象生动，激发学生的学习兴趣，还可以培养学生的几何直观能力，提升学生直观想象素养.

7 巩固训练

（2021年铜仁市中考题）如图7， E，F分别是正方形ABCD的边AB，BC上的动点，满足AE=BF，连接CE，DF，相交于点G，连接AG，若正方形的边长为2，则线段AG的最小值为_______.

答案为2.解题过程留给读者完成.

参考文献：

［1］ 丁万永.函数情境下的动点路径［J］.中学数学教学参考，2016（27）：51-52.

［责任编辑：李 璟］

收稿日期：2023-09-15

作者简介：李健雄（1982.1-），男，福建省莆田人，本科，中学高级教师，从事初中数学教学研究.