深度解析以折纸为背景的中考题

摘 要：中考题经常考查以折纸为背景的试题，考查考生的动手能力和直观想象能力.文章从折叠方法解析和问题解答的角度来深度剖析几道经典的中考题.

关键词：中考题；折纸；折叠；操作；解析

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2023）35-0086-03

折纸是我国的传统文化，也是一门艺术.以折纸为背景的中考题，因其高度抽象而成为难点.笔者以几道经典的中考题为例，给出折叠方法解析、操作过程分析和试题解答.

例1 已知矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1， 将纸片折叠， 使顶点A与边CD上的点E重合.

（1） 如果折痕FG分别与AD、AB交于点F、G，AF=23， 求DE的长；

（2） 如果折痕FG分别与CD、AB交于点F、G，AED的外接圆与直线BC相切， 求折痕FG的长， 如图1［1］.

折叠方法解析 本题的折纸操作方法可以用以下 4 个步骤描述：

操作1 将AD与BC重合对折， 折痕为MN， 如图2所示；

操作2 将AD与MN重合对折， 折痕为RS， 如图3所示；

操作3 过S、M两点折叠， 折痕为MS， 折叠以后BS与AD的交点为F， 如图 4所示；

操作4 过点F将点A折到CD上， 折痕为FG， 点A的对应点为E， 如图5所示.

问题解答

（1）从操作1到操作3，可知点F为AD的三等分点. 因为A关于折痕FG的对应点为E， 所以AF=EF，EF=23，DF=13， 所以DE=33.

（2）折叠的关键是要确定点E的位置，我们先假设已经折出来了，如图6所示，然后再计算CE的长度，从而确定点E的位置.

记AE与FG的交点为P， 过点P作PQ⊥BC于Q， 由于BC与三角形ADE的外接圆相切， 所以PQ=AP=EP， 且∠AQE=90°，CQ=BQ， 因此∠CQE+∠AQB=90°， 有∠CQE=∠QAB， 所以△CEQ∽△ABQ，CECQ=BQAB，由此可解得CE=18. 因为线段的18是容易折叠的， 所以问题 （2） 可以由下列操作来完成折叠过程.

操作5 将长方形ABCD的边BC与MN重合对折，折痕为M1N1，再将BC与M1N1重合对折，折痕为M2N2，继续将BC与M2N2重合对折，即可得到CE=18， 如图7所示.

操作6  将A、E两点重合对折， 折痕为FG， 如图8所示.

求折痕FG的长度.

在图8中， 由操作6知GF⊥AE， 所以∠AGP+∠GAP=90°， 而∠GAP+∠DAE=90°， 所以∠AGP=∠DAE.

如图9所示，过点F折AB的垂线FH，因为∠AGP=∠DAE，则△FHG～△ADE，由HGFH=ADDE， 得HG=AD×FHDE=AD2CD-CE=12-18=815，又由于FH2+HG2=FG2， 所以FG=28915=1715.

例2  如图10，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=3，沿对角线BD翻折梯形ABCD，若点A恰好落在下底BC的中点E处，则梯形的周长为_______.

折叠方法解析

“沿对角线BD翻折梯形ABCD”，实际上是过B、D两点折叠；“若点A恰好落在BC的中点E处”这必须是非常特殊的梯形才能办到.那么这是怎样的一个梯形呢？

如图11所示，因为点A关于折痕BD的对应点为E， 所以△ABD△BDE， 即AB=BE，AD=DE，∠ADB=∠EDB.因为AD∥BC，有∠ADB=∠DBE，所以∠DBE=∠EDB，即BE=DE，因此四边形ABED是菱形.又因为E是BC的中点，而AB=CD，所以△CDE是等边三角形.

问题解答

由上述讨论可知， 梯形ABCD是底角为60°的等腰梯形，周长等于5倍腰的长度，即等于15.

例3 矩形纸片ABCD的边长AB=4，AD=2， 将矩形纸片沿EF折叠， 点A与点C重合， 折叠后在其一面着色 （如图12）， 则着色部分的面积为（  ）［2］.

A.8   B.112    C.4   D.52

折叠方法解析

“将矩形纸片沿EF折叠，点A与点C重合”，实际上，将两点重合对折的折痕是唯一的， 所以先给出折痕，然后再将两点重合对折这种描述方式不够严谨，本题的操作过程可以描述为：将矩形ABCD的两顶点A与C重合对折，折痕为EF，点D的对应点为G，如图13所示.

问题解答

求梯形CEFG的面积.

因为点A关于折痕EF的对称点为C，点D关于折痕EF的对应点为G，所以四边形ADFE与四边形CEFG全等，所以AD=CG，又因为折痕垂直平分两对应点的连线，即EF垂直平分AC，有CF=CE，所以梯形CEFG的上底FG加下底CE正好等于CD，于是梯形CEFG的面積等于4.

例4 如图14，矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，如果∠BAF=60°， 那么∠DAE=（  ）［3］.

A.15°  B.30°  C.45°  D.60°

折叠方法解析

可以将“矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处”描述： 过点A将点D折到BC上，折痕为AE，D的对应点为F， 如图14所示.

问题解答

从条件∠BAF=60°可知， 且∠DAE=∠FAE， 即∠DAE=15°.

纵观以上的考题，我们发现很多的中考题都是以折纸为背景来考查的，这就要求一线教师在日常教学中要渗透折纸艺术、关注学生的动手操作能力.同时，也在教学中启示了一线教师：折纸可以进入中小学数学课堂，通过折纸操作活动，引导学生观察折痕所形成的边角关系，帮助学生建立折纸操作与数学内容的联系，培养其动手能力、观察能力、想象能力和创造性思维能力.还要注意科学性与操作性相结合、趣味性与严谨性相结合、启发性与示范性相结合的原则.

参考文献：

［1］ 陈厚嵩.中考图形折叠问题［J］.中学教与学，2007（07）：16-18.

［2］ 黄燕苹，张辉蓉.中考折纸问题解析［J］.数学教学，2009（11）：42-45.

［3］ 王彦秋.有关折纸的中考题几例［J］.中学生数学，2011（12）：45-47.

［责任编辑：李 璟］

收稿日期：2023-09-15

作者简介：冯志贤（1981.10-），男，江苏省常熟人，本科，中学一级教师，从事初中数学教学研究.