对一类圆周运动的静摩擦力分析

蒋 敏 皮 军 徐继龙

(西南大学附属中学校，重庆 400700)

相互接触的两物体有相对滑动趋势又保持相对静止，在它们接触面上有阻碍相对滑动趋势的静摩擦力产生.静摩擦力的大小与方向往往与物体所受的其他力及运动状态有关，这使得对静摩擦力的分析有一定难度.静摩擦力的常见分析方法有运动趋势判断法和解析法.

当物体随圆盘在水平面内做匀速圆周运动时，相对圆盘运动趋势为远离圆心，可以确定静摩擦力的方向指向圆心.[1]当物体随曲面在水平面内做匀速圆周运动时，往往受重力、支持力和静摩擦力作用，物体在不同的位置半径不同导致需要的向心力不同，再加上曲面倾角的变化使弹力方向相应变化，使得这类问题具有较强的综合性.对于这类较复杂的情况，很难通过定性的分析得出结果，往往需要在静摩擦力的两个可能的方向中，假定静摩擦力沿其中一个方向，数值为f，然后根据物体运动状态及受力情况建立平衡方程或动力学方程求解，最后根据解出的表达式进行讨论.[2]

1 物体随幂函数旋转曲面的运动

物块随曲面在水平面内做圆周运动时的静摩擦力与曲面的形状有关，下面分析物体随以幂函数旋转曲面为内表面的容器做圆周运动所受静摩擦力情况.

如图1所示，一容器固定在水平转台上，建立如图所示坐标系，容器内表面在第一象限的关系式为y=kxn(k>0，n>0)，转台与容器绕竖直轴线以角速度ω匀速转动.小物块A随容器转动且相对器壁静止.

图1

由于容器的形状与参数k和n的值有关，取不同k与n的值情况并不相同，定性分析比较困难，所以用解析法进行讨论.对小物块A进行受力分析如图2所示，小物块受重力mg，弹力N，沿容器壁切线向下的摩擦力f.

图2

水平方向合力提供向心力，竖直方向受力平衡，有

Nsinθ+fcosθ=mω2x.

(1)

Ncosθ=mg+fsinθ.

(2)

式中θ为物块与容器接触处的切线与水平方向的夹角.

由(1)(2)两式解得

f=m(ω2xcosθ-gsinθ).

(3)

由于

(4)

所以

将sinθ与cosθ代入(3)式，有

(5)

当n>2时，由于摩擦力表达式较复杂，用图像进行分析.取m=1 kg，k=1，ω=4 rad/s，分别取n=2.5、3、3.5、4，以f为纵坐标，x为横坐标，作出f-x图像，如图3所示.可以看出，当n>2时，随着x逐渐增大，摩擦力先沿切线向内增加再减小为0，然后再沿切线向外逐渐增大.

图3

当n<2时，同样用图像进行分析.取m=1 kg，k=1，ω=4 rad/s，分别取n=1.5、1、0.5，以f为纵坐标，x为横坐标，作出f-x图像，如图4所示.可以看出，当n<2时，x较小时摩擦力沿切线向外，x较大时摩擦力沿切线向内，中间有个位置摩擦力恰好为0.其中n=1.5时，随着x逐渐增大，摩擦力沿切线向外先增加再减小为0，然后再沿切线向内逐渐增大；n=1时，f与x为一次函数关系；n=0.5时，随着x逐渐增大，摩擦力沿切线向外先逐渐减小为0，然后再沿切线向内逐渐增大.

图4

图5

(A) 可能两球受摩擦力都沿杆向上.

(B) 可能A受摩擦力沿杆向上，B受摩擦力沿杆向下.

(C) 可能A受摩擦力沿杆向下，B受摩擦力沿杆向上.

(D) 若以更大的角速度绕y轴旋转，A、B受到的摩擦力可能都减小.

2 物体随球形内表面运动

下面以一个题目为例分析物体在球形内表面上随球面做圆周运动时所受摩擦力的情况.

例2.如图6所示，半径为R的半球形容器固定在水平转台上，转台绕过容器球心O的竖直轴线以角速度ω匀速转动.小物块A、B随容器转动且相对器壁静止，A、B和球心O点连线与竖直方向的夹角分别为α和β，α>β，则

图6

(A) A、B受到的摩擦力可能同时为0.

(B) 若A不受摩擦力，则B受沿容器壁向上的摩擦力.

(C) A、B受到的摩擦力可能都沿容器壁向上.

(D) A、B受到的摩擦力可能都沿容器壁向下.

2.1 定性分析

该题的重点是分析物块在容器内不同位置所受摩擦力方向.当物块和球心连线与竖直方向的夹角增大时，物块与球面接触面倾角增大，物块的下滑趋势更明显，同时圆周运动半径增大，在角速度一定时所需向心力增大，物块被甩出去的趋势更明显，无法准确判断相对滑动趋势方向.再对特殊位置进行分析：当物块和球心连线与竖直方向夹角为90°时，静摩擦力竖直向上，与重力等大反向；当物块和球心连线与竖直方向夹角接近0°时，支持力几乎竖直向上，只能由静摩擦力的水平分量提供向心力，此时静摩擦力沿容器壁向内.于是可以猜想：夹角较大时摩擦力沿容器壁向上，夹角较小时摩擦力沿容器壁向内，有一个临界角度使摩擦力恰好为0.根据以上分析，(A)选项错误；若α正好为临界角度，则A不受摩擦力，B受沿容器壁向下的摩擦力，(B)选项错误；若临界角度小于β，则A、B受到的摩擦力都沿容器壁向上，(C)选项正确；若临界角度大于α，则A、B受到的摩擦力都沿容器壁向下，(D)选项正确.所以选(C)(D).

定性的分析虽然选出了答案，但对摩擦力随角度、角速度的具体变化规律并不清晰，下面对这种圆周运动的摩擦力进行定量分析.

2.2 定量分析

小物块的受力分析如图7所示，小物块受重力mg、弹力N、沿容器壁向下的摩擦力f.小物块随着半径为R的球形容器在水平面内做匀速圆周运动，水平方向合力提供向心力，竖直方向受力平衡，有

图7

Nsinθ+fcosθ=mω2Rsinθ.

(6)

Ncosθ=mg+fsinθ.

(7)

式中θ为小物块和球心连线与竖直方向夹角.

由(6)(7)两式解得

f=msinθ(ω2Rcosθ-g).

(8)

讨论：

② 当0<θ<θ0时，f>0，摩擦力沿切线向内.相同的位置，角速度越大，摩擦力越大.

3 教学启示

第二，命题应该充分考虑中学生的知识背景，设置相应难度的题目.教师应该根据题设条件看能否运用中学阶段的知识进行解答，看看是否需要补充条件.如例2通过巧妙的选项设置，学生可以通过定性分析或特殊值计算进行判断，符合中学生的能力水平.

第三，教师在教学中可以引导学生对一些定性分析的问题进行定量讨论.引导学生分析题目深层次的物理过程，可以让学生知其然更知其所以然，这样才能满足不同学生的需求.通过定量讨论，可以培养学生严密思考的物理思维.