巧借坐标法，妙解空间角

■ 甘肃省金昌市第一中学 高 婷

立体几何中的空间角(包括异面直线所成的角、直线和平面所成的角及二面角的平面角)问题,是历年高考立体几何解答题中必不可少的一个基本考点。此类问题借助相应的空间几何体的情景创设,利用空间中直线、平面等元素之间的关系,合理构建对应的空间角,全面考查同学们的空间想象能力,以及逻辑推理与数学运算等核心素养。而其中,借助空间直角坐标系的构建,利用空间中点、向量的坐标表示与代数运算,可以将抽象的逻辑推理转化为直接的数学运算,是解决空间角问题最为常见的一个基本技巧方法。

一、异面直线所成的角

合理构建恰当的空间直角坐标系,将对应的异面直线的方向向量用坐标表示出来,利用向量的数量积公式加以运算,进而确定异面直线所成的角。这里需要注意的是异面直线所成的角与向量的夹角这两者之间的联系与区别。

例1(2023 届天津市九十五中高三(上)开学数学试卷)在如图1所示的几何体中,四边形ABCD是正方形,四边形ADPQ是 梯 形,PD∥QA,∠PDA=,平面ADPQ⊥平 面ABCD,且AD=PD=2QA=2。

图1

(1)求证:QB∥平面PDC;

(2)求平面CPB与平面PBQ所成角的正弦值;

(3)已知点H在棱PD上,且异面直线AH与PB所成角的余弦值为,求线段DH的长。

解析:(1)由已知可知PD⊥AD,平面ADPQ⊥平面ABCD,PD⊂平面ADPQ,所以PD⊥平面ABCD。

因为AQ∥PD,AB∥CD,AQ∩AB=A,PD∩CD=D,AB⊂平面ABQ,AQ⊂平面ABQ,PD⊂平面PDC,CD⊂平面PDC,所以平面ABQ∥平面PDC。因为QB⊂平面ABQ,所以QB∥平面PDC。

图2

关系归纳:设异面直线t1,t2的方向向量分别为a,b,则异面直线t1,t2所成角的余弦值等于|cos|。

二、直线与平面所成的角

合理构建恰当的空间直角坐标系,将对应直线的方向向量用坐标表示出来,同时确定相应平面的一个法向量,利用向量的数量积公式加以运算,进而确定直线与平面所成的角。这里需要注意的是直线所对应的方向向量与平面的一个法向量的夹角的余弦值的绝对值就是所求直线与平面所成角的正弦值,正确区分两者之间的关系,不要混淆。

例2(2022 届江苏省七市高三下学期第三次调研考试数学试题)如图3,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底 面ABCD,AD∥BC,AB⊥BC。点M在棱PB上,PM=2MB,点N在棱PC上,PA=AB=AD=BC=2。

图3

(1)若CN=2NP,Q为PD的中点,求证:A,M,N,Q四点共面;

(2)求直线PA与平面AMN所成角的正弦的最大值。

图4

图5

三、二面角的平面角

图6

合理构建恰当的空间直角坐标系,确定两个半平面的法向量后,利用向量的数量积公式加以运算,进而确定二面角的平面角。这里需要注意的是两个半平面的法向量之间的夹角与二面角的平面角可能相等,也可能互补,需要结合具体图形加以直观分析与判断,不要盲目确定,导致错误。

例3(2022 届江苏省苏锡常镇四市高三下学期5 月教学情况调研(二)数学试题)如图7,在四棱锥SABCD中,底面四边形ABCD为菱形,∠BAD=60°,△SAD为正三角形,平面SAD⊥平面ABCD。

图7

(1)求二面角S-BC-A的大小。

(2)在线段SC(端点S,C除外)上是否存在一点M,使得AM⊥BD? 若存在,指出点M的位置;若不存在,请说明理由。

解析:(1)取AD的中点O,连接SO,BO,因为SA=SD,OA=OD,所 以SO⊥AD。

又因为平面SAD⊥平面ABCD,平面SAD∩平面ABCD=AD,SO⊂平面SAD,所以SO⊥平面ABCD。

因为OB⊂平面ABCD,所以SO⊥OB。

因为BA=BD,OA=OD,所以OA⊥OB,所以OA,OB,OS两两垂直。

以O为坐标原点,OA,OB,OS所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图8 所示的空间直角坐标系Oxyz。

图8

图9

图10

在解决立体几何中的空间角问题时,除以上借助空间直角坐标系的构建,利用坐标法并通过代数运算来转化与求解外,还经常借助几何法的逻辑推理,向量法或基底法的向量运算与推理等其他方法来解决。而无论采取何种方法来破解立体几何中的空间角问题,关键是要充分考虑题目条件,展开空间想象力,综合数学运算与逻辑推理等来综合分析与处理,借助巧妙运算,正确推理,从而轻松破解该类问题。