利用向量法求空间角的大小

■陕西省礼泉县第一中学 魏文宏

立体几何作为综合考查同学们的直观想象、逻辑推理、数学运算、数学抽象等核心素养的重要载体,是高考数学必考内容之一。近几年来,立体几何试题难度相对稳定,随着课改的不断推进,特别强调在“以能力立意”逐渐转向“以素养立意”为命题原则的背景下,立体几何试题稳中有变,近几年从难到易,再由易到难,今后将更加突出考查同学们的空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力,下面我们主要研究空间角的命题。

命题角度一、求异面直线的夹角

例1如图1所示,圆锥底面半径为3,OP为圆锥的高,已知圆锥的侧面积为15π,D为PA的中点,∠AOC=

图1

(1)求圆锥的体积;

(2)求异面直线CD与AB所成角。

解析:(1)设圆锥曲线的母线为l,又圆锥的底面半径为3,所以r=3,所以S侧=πrl=3πl=15π,所以l=5,即PA=PB=5,所以圆锥的高h=OP==4,所以圆锥的体积V=×9×4=12π。

(2)方法一:如图2 所示,取OA的中点E,连接DE,CE,AC。因为DE是△AOP的中位线,所以DE∥OP。因为OP垂直于底面,所以DE垂直于底面,所以DE⊥AB,易知CA=CO,因为E为OA的中点,所以CE⊥OA,即AB⊥CE。因为CE∩DE=E,CE,DE⊂平面CDE,所以AB⊥平面CDE。又CD⊂平面CDE,所以AB⊥CD,即异面直线AB与CD所成角为

图2

图3

图4

方法点评:两条异面直线所成角的求法:(1)平移法:利用平移直线法求解的实质就是将空间两条直线所成角转化为平面三角形的内角去求解。(2)向量法有两种:一是建立空间直角坐标系,利用坐标结合向量数量积的性质求解;二是利用基向量结合向量数量积的性质求解。(3)余弦定理法:关键是找到两条异面直线中的一条在包含另一条直线的平面内的射影。

命题角度二、求线面角

设直线l的方向向量为m,平面α的一个法向量为n,直线l与平面α所成的角为θ,则0≤θ≤,sinθ=|cos|=

例2如图5 所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,BC∥AD,∠BAD=90°,PA=AD=4,AB=2BC=2。

图5

图6

图7

方法点评:利用向量求线面角的方法:(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)。(2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平面所成的角。用向量法破解此类线面所成角问题的关键:①用定理,利用平行或垂直的判定定理,明确写出所证明的推理过程,注意推理的严谨性;②建系,找出(或作出)两两垂直的三条直线,建立适当的空间直角坐标系;③求向量,先分别求出几何体相关点的坐标,利用“终减起”,求出直线的方向向量,利用赋值法求出平面的法向量等;④用公式,求出两向量夹角的余弦值;⑤得结论,根据向量夹角与线面角的关系,将向量夹角转化为所求的空间线面角。用几何法破解此类线面所成角问题的关键是:①会转化,即把线面所成角问题转化为求点到面的距离d与斜线段长m的问题;②求距离,常利用等体积、等面积法等,求d;③用公式,线面所成角的正弦值为

命题角度三、求二面角的三角函数值

设向量m为平面α的一个法向量,向量n为平面β的一个法向量,平面α与平面β所成的二面角为θ,则0≤θ≤π,cosθ=cos

例3如图8 所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,点D在边BC上,E为B1C1的中点。

图8

(1)如果D为BC的中点,求证:平面BA1E∥平面C1DA;

解析:(1)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,因为D,E分别为BC,B1C1的中点,所以EC1■BD,所以四边形BDC1E为平行四边形,所 以BE∥DC1。又因为BE⊄平面C1DA,DC1⊂平面C1DA,所以BE∥平面C1DA。同理可证A1E∥平面C1DA。又A1E∩BE=E,A1E,BE⊂平面BA1E,所以平面BA1E∥平面C1DA。

图9

方法点评:利用向量法确定二面角大小的关键是:先分别求出二面角的两个半平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角的大小。

总之,高考试题源于教材,又高于教材,许多高考题是教材的改编,立体几何内容的备考复习必须回归教材,落实基础知识、基本技能、基本思想方法与基本活动经验。抓住数学概念的本质,熟悉空间角的概念是解决此类问题的前提,包括涉及的最值范围问题,也是转化为我们所熟悉的二次函数性质及基本不等式求解。利用空间向量解决空间角问题时要注意书写的规范性、计算的准确性,在平时的训练中,我们可以灵活选择运用向量法和几何法从不同角度解决,通过对比体会向量法的优势。