立体几何中平行与垂直问题的解题策略

■陕西省礼泉县第一中学 张西情

平行和垂直这两种位置关系的证明是立体几何中的重点和难点,也是永恒不变的主题。主要考查同学们的空间想象能力、逻辑推理能力,以及数学抽象、逻辑推理和直观想象等数学学科素养。本文主要针对解答题中位置关系的证明与探索展开,希望能给同学们的高考备考提供一些帮助。

一、平行关系的证明

例1如图1,在四棱 锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点。

图1

(1)证明:MN∥平面PAB;

(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值。

解析:(1)法一(线面平行的判定定理):取PB的中点Q,连接AQ,NQ,如图2,因为N是PC的中点,所以NQ∥BC,且NQ=BC。又因为AM=BC=BC,且AM∥BC,所以QN∥AM,且QN=AM,所以四边形AQNM是平行四边形。所以MN∥AQ。又MN⊄平面PAB,AQ⊂平面PAB,所以MN∥平面PAB。

图2

法二(面面平行的性质定理):取BC的中点E,连接EM,EN,如图3,因为N是PC的中点,所以EN∥PB。又EN⊄平面PAB,所 以EN∥平 面PAB。因为BE=BC=2,AM=2MD=AD=2,且AD∥BC,所以四边形ABEM为平行四边形,所以EM∥AB。又EM⊄平面PAB,所以EM∥平面PAB。又EM∩EN=E,所以平面EMN∥平面PAB,所以MN∥平面PAB。

图3

(2)取BC的中点E,连接AE。由AB=AC得AE⊥BC,从而AE⊥AD,且AE=

图4

点拨:证明线面平行的位置关系的常用方法有:①利用线面平行的判定定理证明;②利用面面平行的性质定理证明;③利用空间向量证明。平行问题主要是线线平行、线面平行和面面平行。一般来说,三者之间是可以利用判定定理和性质定理相互推出。问题的核心是线线平行,而证明线线平行的方法有:①平行公理;②中位线;③平行四边形;④线面平行的性质定理;⑤线面垂直的性质定理等。

二、垂直关系的证明

例2如图5,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PCD⊥平 面ABCD,且PC=PD=,CD=2。

图5

(1)证明:PC⊥平面PAD;

(2)求点D到平面PAB的距离。

解析:(1)法一(线面垂直的判定定理):因为平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD,AD⊥CD,AD⊂平面ABCD,所 以AD⊥平 面PCD。又PC⊂平面PCD,所以AD⊥PC。在△PCD中,PC=PD=,CD=2,PC2+PD2=CD2,所以PC⊥PD。因为PD∩AD=D,PD,AD⊂平面PAD,所以PC⊥平面PAD。

图6

图7

点拨:证明直线和平面垂直的常用方法:①判定定理;②垂直于平面的传递性(a∥b,a⊥α⇒b⊥α);③面面平行的性质(a⊥α,α∥β⇒a⊥β);④面面垂直的性质;⑤向量法。垂直问题主要是线线垂直、线面垂直和面面垂直。三者可以通过判定定理和性质定理互相转化,问题的核心是线线垂直,而证明线线垂直的方法有:①勾股定理逆定理;②等腰三角形三线合一;③菱形对角线相互垂直;④直径所对的圆周角为;⑤线面垂直的性质等。

三、平行、垂直关系中的探索性问题

处理空间中平行或垂直的探究性问题,一般根据条件先猜测点的位置,再给出证明。从近几年高考命题看,考查力度与以往基本相同,与之相关的题目,难度较大。

1.平行关系中的探索性问题

例3如图8,在三棱锥A-BCD中,平面ABD⊥平面BCD,E,F分别是BD,AC的中点,且AB=BE=AE=CE,BC=DC。

图8

(1)在线段AB上是否存在点G,使得DF∥平面CEG? 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由。

(2)求直线DF与平面ACE所成角的正弦值。

解析:(1)假设在线段AB上存在点G,使得DF∥平面CEG。

图9

因为CE⊥平面ABD,所以平面ACE⊥平面ABD,过点D作DM⊥AE交延长线于点M,如图10,DM⊥CE,CE∩AE=E,则DM⊥平 面ACE,连接FM,则∠DFM即为直线DF与平面ACE所成的角。

图10

点拨:假设结论成立,在△BDF中,作出EH∥DF,延长CH找到点G,设参数λ,利用向量三点共线定理求出参数,确定点G并求出比值。

2.垂直关系中的探索性问题

例4如图11,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD为直角 梯 形,AB∥CD,AB⊥AD,且CD=2AB。

图11

(1)若AB=AD,直线PB与CD所成的角为45°,求二面角P-CD-B的大小;

(2)若E为线段PC上一点,试确定点E的位置,使得平面EBD⊥平面ABCD,并说明理由。

解析:(1)因为AB⊥AD,CD∥AB,所以CD⊥AD。因为PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA⊥CD。又PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD。又PD⊂平面PAD,所以CD⊥PD,所以∠PDA是二面角P-CD-B的平面角。又直线PB与CD所成的角为45°,所以∠PBA=45°,即PA=AB。在Rt△PAD中,PA=AD,有∠PDA=45°,即二面角P-CD-B的大小为45°。

(2)当点E在线段PC上,且满足PE∶EC=1∶2时,平面EBD⊥平面ABCD。理由如下:

连接AC交BD于点O,连接EO,如图12。由△AOB∽△COD,且CD=2AB,得CO=2AO,所 以PE∶EC=AO∶CO=1∶2,则PA∥EO。又PA⊥平面ABCD,所以EO⊥平面ABCD。又EO⊂平面EBD,平面ABCD∩平面EBD=BD,所以平面EBD⊥平面ABCD。

图12

点拨:要证明面面垂直,就要在平面EBD中寻找平面ABCD的垂线,因为PA⊥平面ABCD,所以要在平面PAC内过E点作PA的平行线,利用△AOB∽△COD,得到等比例,从而PA∥EO,结论得证。