立体几何试题精选

■湖北省巴东县第三高级中学 廖庆伟

1.如图1所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B为正方形,AB=BC=2,E,F分别为AC和CC1的中点,D为棱A1B1上的点,BF⊥A1B1。

图1

(1)求证:BF⊥DE;

(2)当B1D为何值时,平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最大?

2.如图2 所示,在三棱锥D-ABC中,二面角D-AB-C是直二面角,AB⊥BD,且AB=BD,AC=BC,P为CD上一点,且BP⊥平面ACD。E,F分别为棱DA,DC上的动点,且=λ。

图2

(1)求证:AC⊥BC;

(2)若平面EFB与平面ABC所成角的余弦值为,求λ的值。

3.在如图3所示的多面体中,平面ABCD是边长为2 的正方形,平面PDCQ⊥平面ABCD,PD⊥DC,E,F,G分别为棱BC,AD,PA的中点。

图3

(1)求证:EG∥平面PDCQ;

(2)已知二面角P-BF-A的余弦值为,求四棱锥P-ABCD的体积。

4.如图4所示,已知四边形ABCD为平行四边形,点E在AB上,AE=2EB=2,且DE⊥AB。以DE为折痕把△ADE折起,使得点A到达点F的位置,且∠FEB=60°。

图4

(1)求证:平面BFC⊥平面BDC;

(2)若直线DF与平面BCDE所成角的正切值为,求点C到平面DEF的距离。

5.如图5 所示,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是菱形,PA⊥平面ABCD,且PA=AB=2,PD的中点为F,AB的中点为G。请从下面的两个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并作答。

图5

(1)判断直线AF与平面PCG是否平行。若平行,给出证明;若不平行,请说明理由。

(2)若____,求二面角F-AC-B的余弦值。

6.如图6 所示,在正四棱锥S-ABCD中,SA=4,AB=2,E为 棱SC上 的 动点。

图6

(1)若E为棱SC的中点,求证:SA∥平面BDE;

(2)若E满足SE=3EC,求异面直线SA与BE所成角的余弦值。

7.如图7所示,在四棱锥P-ABCD中,平面ABCD⊥平面PCD,底面ABCD为梯形,AB∥CD,AD⊥DC,且AB=1,AD=DC=DP=2,∠PDC=120°。

图7

(1)求证:AD⊥PC;

(2)从①平面PAB与平面ABC所成的锐二面角,②二面角P-BD-C,③二面角P-BC-D这三个条件中任选一个,补充在横线上,并作答。求____的余弦值。

8.如图8 所示,在多面体ABCDEF中,底面四边形ABCD是正方形,ED⊥平面ABCD,平面FBC⊥平面ABCD,BF⊥CF,DE=AD=2。

图8

(1)求多面体ABCDEF的体积的最大值;

(2)当多面体ABCDEF的体积取最大值时,求直线DF与平面EBC所成角。

9.如图9所示,在几何体ABCDFE中,四边形ABCD是菱形,BE⊥平面ABCD,DF∥BE,且DF=2BE=2,EF=3。

图9

(1)求证:平面ACF⊥平面BEFD;

(2)若二面角A-EF-C是直二面角,求直线AE与平面ABCD所成角的正切值。

10.如图10 所示,已知AB是圆O的直径,且长为4,C是圆O上异于A,B的一点,点P到A,B,C的距离均为。设二面角P-AC-B与二面角P-BC-A的大小分别为α,β。

图10

图11

参考答案:

图12

2.(1)因为平面DAB⊥平面ABC,平面ABC∩平面ABD=AB,AB⊥BD,且BD⊂平面ABD,所以BD⊥平面ABC。又AC⊂平面ABC,所以BD⊥AC。又BP⊥平面ACD,AC⊂平面ACD,所以BP⊥AC。又因为BP∩BD=B,BP,BD⊂平面BCD,所以AC⊥平面BCD。又BC⊂平面BCD,所以AC⊥BC。

图13

(2)因为平面PDCQ⊥平面ABCD,平面PDCQ∩平 面ABCD=CD,PD⊥DC,PD⊂平面PDCQ,所以PD⊥平面ABCD。

图14

图15

图16

图17

图18

6.(1)连接AC交BD于点O,连接OE,因为四棱锥S-ABCD为正四棱锥,所以四边形ABCD为正方形,所以O为AC的中点。因为E为棱SC的中点,所以OE∥SA。因为OE⊂平面BDE,SA⊄平面BDE,所以SA∥平面BDE。

图19

7.(1)因为平面ABCD⊥平面PCD,平面ABCD∩平面PCD=CD,AD⊂平 面ABCD,AD⊥DC,所以AD⊥平面PCD。又PC⊂平面PCD,所以AD⊥PC。

(2)在平面PCD内过点D作DH⊥DC,交PC于H。如图20,以D为坐标原点,DA,DC,DH所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Dxyz,则D(0,0,0),P(0,-1),A(2,0,0),N(2,1,0),C(0,2,0)。

图20

图21

图22

9.(1)因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD。因为BE⊥平面ABCD,所以BE⊥AC。因为BD∩BE=B,所以AC⊥平面BEFD,所以平面ACF⊥平面BEFD。

(2)设AC与BD的交点为O,由(1)得AC⊥BD,以O为坐标原点,OA,OB所在直线分别为x轴和y轴,过点O作垂直于平面ABCD的直线为z轴,建立如图23所示的空间直角坐标系O-xyz,因为BE⊥平面ABCD,所以BE⊥BD,因为DF∥BE,所以DF⊥BD,所以BD2-EF2+(DF-BE)2=8,所以BD=。

图23

故直线AE与平面ABCD所成角的正切值为。

10.(1)连接PO,OC。因为PA=PB,O为AB的中点,所以PO⊥AB。因为C是圆O上异于A,B的一点,AB是圆O的直径,所以AC⊥BC,从而AO=CO。又因为PA=PC,PO=PO,所以△PAO≌△PCO,所以∠POC=∠POA,即PO⊥AC。因 为AO,CO⊂平面ABC,AO∩CO=O,所以PO⊥平面ABC。如图24,分别取AC,BC的中点M,N,连接PM,OM,PN,ON,则在圆O中,OM⊥AC。由PO⊥平面ABC,得PO⊥AC。又PO∩OM=O,故AC⊥平面PMO,所以AC⊥PM。

图24

所以∠PMO=α。同理,∠PNO=β。

图25

图26