高考中立体几何大题考向探究

■江苏省如皋中学 陈国建

通过对近几年高考试卷的研究,不难发现,新高考数学对立体几何模块的考查以基础为主,以空间想象能力、逻辑推理与数学运算等方面的素养为根本,更加注重相关数学知识的综合性和在数学知识交汇处命题,对考生的能力与素养的要求更高。特别地,以常见的三个“动”——动手、动脑、动态为根本的立体几何问题,是新高考数学试卷中解答题的一个热点考向,同学们要引起重视。

一、动手——空间距离问题

例1如图1,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=1,AC=,E,F分别为线段BB1,AC1的中点。

图1

(1)证 明:EF⊥平 面A1ACC1;

(2)若直线EA与平面ABC所成的角大小为,求点C到平面AEC1的距离。

解析:(1)取BC的中点M,连接FM,BM,如图2。在△ACC1中,由F,M分别为AC1,AC的中点,可得FM=CC1,且FM∥CC1。又在直三棱柱ABCA1B1C1中,E是BB1的中点,所以BE=CC1,且BE∥CC1,则有BE=FM,且BE∥FM,所以四边形BEFM为平行四边形,可得EF∥BM。在△ABC中,M为AC的中点,且AB=BC=1,AC=,所以BM⊥AC,且BM=。由于CC1⊥平面ABC,BM⊂平面ABC,所以CC1⊥BM。又CC1∩AC=C,所以BM⊥平面A1ACC1,则有EF⊥平面A1ACC1。

图2

解题技巧总结:空间距离问题往往以求解点面距离为主,其破解方法有以下常见的三种:(1)作点到面的垂线,点到垂足的距离即为点到平面的距离;(2)等体积法;(3)向量法。其中向量法在易建立空间直角坐标系的试题中使用较简便。

二、动脑——探索性问题

例2如图3,在四棱锥S-ABCD中,底面四边形ABCD是矩形,△SAD是正三角形,且平面SAD⊥平面ABCD,AB=1,P为棱AD的中点,四棱锥S-ABCD的体积为

图3

(1)若E为棱SB的中点,求证:PE∥平面SCD。

(2)在棱SA上是否存在点M,使得平面PMB与平面SAD所成锐二面角的余弦值为若存在,指出点M的位置并给以证明;若不存在,请说明理由。

解析:(1)取SC的中点F,连接EF,DF。在△SBC中,由于E,F为SB,SC的中点,可得EF∥BC,且EF=BC。由于四边形ABCD是矩形,P为棱AD的中点,可得PD∥BC,PD=BC。所以EF∥PD,EF=PD,故四边形PEFD是平行四边形,所以PE∥FD。又FD⊂平面SCD,PE⊄平面SCD,所以PE∥平面SCD。

(2)假设在棱SA上存在点M满足题意。

图4

解题技巧总结:空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题,它无需进行复杂的作图、认证、推理,只需通过坐标运算进行判断。(1)对于存在判断型问题的求解,应先假设存在,把要成立的结论当作条件,据此列方程或方程组,把“是否存在”转化为“点的坐标是否有解,是否有规定范围内的解”等;(2)对于位置探究型问题,通常借助向量,引进参数,综合已知和结论列出等式,解出参数。

三、动态——翻折与展开问题

例3如图5,在平行四边形ABCD中,AB=2,AD=3,∠ABC=30°,AE⊥BC,垂足为E。如图6,以AE为折痕把△ABE折起,使点B到达点P的位置,且平面PAE与平面AECD所成的角为90°。

图5

图6

(1)求证:PE⊥CD;

(2)若点F在线段PC上,且二面角F-AD-C的大小为30°,求三棱锥FACD的体积。

解析:(1)由于平面PAE与平面AECD所成的角为90°,可得平面PAE⊥平面AECD。而平面PAE∩平面AECD=AE,PE⊥AE,PE⊂平面PAE,所以PE⊥平面AECD。又CD⊂平面AECD,故PE⊥CD。

(2)由(1)知PE⊥平面AECD,所以PE⊥AE,PE⊥CE,而EA⊥EC,所以EA,EC,EP两两垂直,以E为坐标原点,EA,EC,EP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图7所示的空间直角坐标系E-xyz。

图7

解题技巧总结:破解翻折与展开问题的基本技巧策略为:(1)确定翻折前后变与不变的关系:一般地,位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置关系和数量关系不变,而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化。对于不变的关系,可以在平面图形中处理,对于变化的关系,则要在立体图形中处理。(2)确定翻折前后关键点的位置变化:关键点是指翻折过程中运动的点。因为这些点的位置移动,会带动与其相关的点、线、面之间位置关系与数量关系的变化,只有分析清楚关键点的准确位置,才能以此为参照,确定与其相关的点、线、面的位置,进而进行有关的证明与计算。

对于解答题中的立体几何的考查,新高考数学试题朝着“重视基础、巩固根本、强调综合、体现应用、着力创新”等特点的命题方向发展。此部分的命题趋势与展望大体上是更加注重立体几何中基本概念的理解与掌握,基本定理的推理与应用,空间模型更加精细,空间元素更加清晰,同时注重数学内部知识的有机融合与交汇等。