链接高考，发散思维，总结规律

姜瑞民

摘 要：圆锥曲线中的最值应用问题，体现“动”与“静”结合，巧妙融合数学知识、数学思想方法和数学关键能力等，是每年高考中的常见题型之一.本文结合一道模拟题实例，追根溯源，链接高考，拓展思维，剖析破解问题的视角与技巧方法，总结规律，引领并指导数学教学与解题研究.

关键词：椭圆；直线；面积；最值

圆锥曲线中的最值（或取值范围等）问题，一直是历年高考数学试卷中的常见热点综合应用题型之一.此类问题常考常新，创新新颖，形式各样，变化多样，主要以选择题、填空题、解答题的压轴题形式出现.涉及圆锥曲线的最值（或取值范围等）问题，对考生的代数恒等变形能力，数学运算能力，推理论证能力等都有较高的要求，同时突出对数学基础知识、数学思想方法、数学关键能力以及数学核心素养等的全面考查，具有较好的选拔性与区分度，备受命题者青睐，需引起教育工作者的高度重视.

1 问题呈现

问题（广东省六校（珠海一中等）2023届高三第四次联考数学试卷）已知椭圆x2/a2+y2/b2=1（a＞b＞0），A，B两点分别为椭圆的左顶点、下顶点，F是椭圆的右焦点，且∠FAB=π/6，直线l与椭圆相切于点P（P在第一象限），与y轴相交于Q（Q异于P）.记O为坐标原点，若△OPQ是等边三角形，且△OPQ的面积为3/2.

（1） 求椭圆的标准方程；

（2） C，D两点均在直线m：x=a上，且C在第一象限.设直线AD、BC分别交椭圆于点S、点T，若S，T关于原点对称，求|CD|的最小值.

该问题中，第一小问结合直角三角形的边长关系确定椭圆中参数之间的关系，结合等边三角形的面积来确定对应的边长，进而结合椭圆的切线方程的定义，并结合直线与椭圆的位置关系对参数关系加以确定，难度不高，但知识点交汇众多，综合性强.当然也可以采用交点法，并结合两点间的距离公式来处理.

第二小问通过椭圆中关于原点对称的两点S，T以及它们与对应顶点连线与直线m：x=a的交点，进而确定直线m上的两个交点之间的距离的最值问题.解决实际时，可以采用设点法，通过点的坐标的关系来构建；可以采用参数方程法，通过三角关系式的构建来处理；还可以采用二次曲线系法来处理，也是一种不错的解题方法与技巧.

2 链接高考

以上问题改编自2022年上海市春季高考数学试卷第20题，在原高考真题的基础上加以合理取舍，创新改编，综合应用.

高考真题（2022年上海市春季高考数学试卷）已知椭圆Г：x2/a2+y2=1（a＞1），A，B两点分别为Г的左顶点、下顶点，C，D两点均在直线l：x=a上，且C在第一象限.

（1） 设F是椭圆Г的右焦点，且∠AFB=π/6，求Г的标准方程；

（2） 若C，D两点纵坐标分别为2，1，请判断直线AD与直线BC的交点是否在椭圆Г上，并说明理由；

（3） 设直线AD、BC分别交椭圆Г于点P、点Q，若P，Q关于原点对称，求|CD|的最小值.

答案：（1） x2/4+y2=1；（2） 直线AD与直线BC的交点在椭圆Г上；（3） |CD|的最小值为6.

解后反思：平面解析几何综合应用问题中，曲线系有其广泛的应用，是高中数学知识的一个重要拓展与提升，对于问题的解决有一定的普遍性，关键在于正确掌握曲线系的构建与相应的应用.借助平面解析几何的曲线系法，结合特殊或退化的曲线上确定的点的代入与应用，可以很好优化解题过程，简化数学运算，提升解题效益.

4 规律总结

结合原问题与相应的高考真题，并剖析原问题的分析与解析过程，可以进一步合理归纳，总结以下相关的规律与结论.

结论：已知椭圆（x2/a2）+（y2/b2）=1（a＞b＞0），A，B两点分别为椭圆的左顶点、下顶点，C，D两点均在直线m：x=a上，且C在第一象限.设直线AD、BC分别交椭圆于点S、点T，若S、T关于原点对称，则|CD|的最小值为6b.

该结论的证明可以参考原问题的解析过程，从不同思维视角与技巧方法加以展开，这里不再加以叙述.

5 教學启示

5.1 技巧方法归纳，解题策略总结

平面解析几何中的最值（或取值范围等）问题，常常巧妙借助于动点、动直线、动角等相关的轨迹问题来创设，类型较多，灵活多样.

具体解决时，结合平面解析几何中的相关定义，一般是借助坐标系，建立目标函数，利用函数最值的方法，或函数与导数法、不等式法、三角函数法等来分析与解决.具体解决时，不要完全依赖代数方法求最值，还应注意结合平面几何与解析几何的相关知识，借助直观图形，利用数形结合来分析与求解.

5.2 知识交汇融合，提升能力素养

平面解析几何中的最值（或取值范围等）问题是一类较为常见的探索性综合应用问题，“难”在于它综合性强、灵活性高，“热”在于它融众多知识和技巧于一体，深得命题者偏爱与青睐.

此类综合应用问题是平面解析几何与函数、方程、不等式、三角函数、平面向量等相关知识的全面交汇与融合的一个重要场所，正确理解题设条件，合理构建与之相关的参数或代数式所对应的不等式、代数式或几何直观模型等，借助不等式的求解、函数的值域的确定以及数形结合等方式来解决与处理，能够有效提升学生解题能力，培养良好的数学品质与核心素养.