2021年新高考数学Ⅰ卷第17题解法探究与推广引申

陈应全

(广东省茂名市广东高州中学 525200)

2021年高考是新高考的第一年，其中新高考数学Ⅰ卷是一份突出通性通法，落实四基四能的“方向卷”.其试题突出数学本质，重视理性思维，坚持素养导向，体现了高考数学的科学选拔功能与育人导向.这份试题好题众多，第17题数列题就是其中一题.下面笔者对该题进行解法探究并尝试对该题进行推广引申，旨在打开该类问题的“思维重门”，以期抛砖引玉.

1 试题呈现

(1)记bn=a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式；

(2)求{an}的前20项和.

2 试题分析

作为高考第一道解答题，该题主要考查了“奇偶项交织”的递推关系的数列通项与求和问题，它与过去几年数列解答题考查普通数列的通项与求和有所不同.虽然试题难度不大，但是学生的答题情况并不理想，究其原因主要是学生对核心概念理解不透，缺乏分析问题、解决问题的能力.事实上，该题是一道极具选拔功能的好题，较好地渗透了分类讨论、转化与化归等重要数学思想，有效考查了学生数学运算、逻辑推理等核心素养，体现了高考素养导向命题思想以及“四翼”要求中的基础性与综合性.

3 解法探究

3.1 第(1)问解析

解析由a2k+2=a2k+1+1，a2k+1=a2k+2(k∈N*)，故a2k+2=a2k+3.即bn+1=bn+3.

所以bn+1-bn=3.

故{bn}是以2为首项，3为公差的等差数列，所以bn=2+(n-1)×3=3n-1.

评析本小问主要是利用题目条件结合等差数列的定义法证明{bn}为等差数列.

3.2 第(2)问解析

即S20=(1+29)+(2+28)+(4+26)+(5+25)+(7+23)+(8+22)+(10+20)+(11+19)+(13+17)+(14+16)=30×10=300.

解法2 由(1)可知bn=a2n=3n-1.

因为a1=a2-1,a3=a4-1,…,a19=a20-1，

所以S20=a1+a2+a3+…+a20

=(a1+a3+…+a19)+(a2+a4+…+a20)

=2(a2+a4+…+a20)-10

=2(b1+b2+…+b9+b10)-10

=300.

解法3 由bn=a2n=3n-1可知{an}的偶数项是成等差数列.由a2n+1=a2n+2=a2n-1+3，所以{a2n-1}是以1为首项，3为公差的等差数列.

所以a2n-1=1+3(n-1)=3n-2.

所以S20=a1+a2+a3+…+a20

=(a1+a3+…+a19)+(a2+a4+…+a20)

=300.

解法4由(1)可知a2n=3n-1，且a2n+1=a2n+2=a2n-1+3,所以{a2n-1}是以1为首项，3为公差的等差数列.

所以a2n-1=1+3(n-1)=3n-2.

所以a2n+a2n-1=3n-1+3n-2=6n-3.

记dn=6n-3，则{dn}是以3为首项，6为公差的等差数列.

评析解法1采用了枚举法，即把数列的前20项列举出来后再求和，此法的特点：思维要求不高但运算量稍大，适用于项数不多的数列求和；解法2利用(1)的结论找出奇数项与偶数项的关系并将奇数项均转化为偶数项再求和；解法3分别求出奇数项与偶数项的通项公式再采用分组法求和；解法4在分别求出奇数项与偶数项的通项公式基础上，再将相邻奇偶项合并为一个数列后再求和，后三种解法均体现了多想少算的命题思想.我们不难发现，处理“奇偶项交织”递推数列问题策略：由题设条件中的奇偶间的递推关系转化为奇数项间的递推关系或者偶数项的递推关系，进而求得奇数项与偶数项的通项公式；对于求和问题一般有两个常用处理策略：(1)利用奇数项与偶数项的规律，将奇数项与偶数项分别相加，从而求得Sn，如解法2,3；(2)将相邻的奇数项和偶数项合并后得到新数列再求和，如解法4.

4 推广引申

(1)记bn=a2n,cn=a2n-1，求数列{bn}与{cn}的通项公式.

(2)求{an}的前n项和Sn.

解析(1)记bn=a2n,cn=a2n-1，则

b1=a2=t+p,c1=a1=t.

由bn=a2n=a2n-1+p=a2(n-1)+q+p，所以{bn}是以b1=t+p为首项，q+p为公差的等差数列.

所以bn=t+p+(n-1)·(p+q)

=(p+q)·n+t-q.

由cn=a2n-1=a2n-2+q=a2(n-1)-1+p+q，所以{cn}是以c1=t为首项，q+p为公差的等差数列.

所以cn=t+(n-1)·(p+q)

=(p+q)·n+t-p-q.

即S2n=n[(p+q)n+2t-q]

=(p+q)n2+(2t-q)n.

由S2n-1=S2n-a2n=S2n-bn

=n[(p+q)n+2t-q]-[(p+q)n+t-q]

=(p+q)n2+(2t-p-2q)n+q-t.

评析笔者对例题从条件符号化与问题一般化两个角度进行了拓展.对于(2)求和，则先求出S2n与S2n-1，然后合并得到Sn.纵观整个解答过程，合理的化归是解决问题的关键，其次，在解题中不能忽视S2n与S2n-1的转化关系，常常可以有效简化运算.

5 考题再现

“奇偶项交织”的递推数列问题是高考的常见题型，下面提供两道考题供读者参考.

考题1 (2022年云南昆明一模(文)15)已知数列{an}满足a1=2，a2=4，an+2-an=(-1)n+3，则数列{an}的前10项和为____．

解法1 由题意，当n为奇数时，an+2-an=(-1)+3=2.所以数列{a2n-1}是公差为2，首项为2的等差数列，所以a2n-1=2+2(n-1)=2n.

当n为偶数时，an+2-an=1+3=4，所以数列{a2n}是公差为4，首项为4的等差数列.

所以a2n=4+4(n-1)=4n.

设数列{an}的前10项和为S10，

所以S10=a1+a2+…+a10

=(a1+a3+…+a9)+(a2+a4+…+a10)

=90.

解法2 与解法1类似可求得a2n-1=2+2(n-1)=2n，a2n=4+4(n-1)=4n.

即bn=a2n-1+a2n=6n.

所以{bn}是以6为首项，6为公差的等差数列.

所以S10=a1+a2+…+a10

=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a9+a10)

考题2(2012年全国Ⅰ卷理16)已知数列{an}满足an+1+(-1)nan=2n-1，则{an}的前60项和为____.

解法1 由题意得当n为奇数时，an+1-an=2n-1，an+2+an+1=2n+1，所以an+2+an=2.

当n为偶数时，an+1+an=2n-1，an+2-an+1=2n+1，所以an+2+an=4n.

所以S60=(a1+a3)+(a5+a7)+…+(a57+a59)+(a2+a4)+(a6+a8)+…+(a58+a60)

=1830.

解法2 由题意，当n为奇数时，an+1-an=2n-1，an+2+an+1=2n+1.所以an+2+an=2，a2n+1+a2n-1=2.

当n为偶数时，an+1+an=2n-1，an+2-an+1=2n+1.所以an+2+an=4n，a2n+2+a2n=8n.

令bn=a4n-3+a4n-2+a4n-1+a4n，则{bn}是一个以10为首项，16为公差的等差数列.

在教学中，教师对例题的琢磨与开发在一定程度上体现教师的教学智慧，教学过程实质上就是数学知识、方法与能力的培养过程，更是发展学生核心素养的过程.因此，在教学中我们不仅要认真筛选典型例题，还要注重一题多解的实施，重视问题的推广引申，以此引导学生探究问题的本质以及总结解决问题的策略方法，让学生在解决问题的过程中提升能力，发展素养.