例谈质点与圆弧槽系统问题情境的设计与解答方略

许冬保

(江西省九江市第一中学 332000)

质点与圆弧槽系统构成力学中一类典型的组合模型.该模型涉及力学中的功能关系、牛顿运动定律、平衡条件、圆周运动等知识的应用，由此模型演绎的物理问题，综合性强、设计方式灵活、能力要求高.以下从“物理观念”素养中的运动与相互作用观念以及能量观念的视角，进行分析.

1 质点与圆弧槽系统问题情境设计

如图1，在质点与圆弧槽系统中，质点在槽中可分为加速运动型及动态平衡型两类；而槽又可分为固定型与可动型两类.根据质点与圆弧槽的相互作用方式，以及质点与圆弧槽系统对系统外约束物体的作用方式，可以设计出丰富多彩的运动情境，运动情境设计主要有以下方式：

图1

(1)圆弧槽不固定、置于水平地面上，因外界约束而保持静止，质点运动时，探究圆弧槽所受作用力的变化规律；

(2)圆弧槽固定或不固定，内壁光滑或粗糙，质点在下滑过程中，考查质点或系统功能关系的应用；

(3)圆弧槽固定或不固定，质点在圆弧槽某位置，通过法线方向建立牛顿运动定律方程求解有关问题；

(4)圆弧槽固定，通过分析水平方向及竖直方向加速度的变化，探究水平方向、竖直方向速度、重力瞬时功率等物理量的变化规律；

(5)圆弧槽不固定、置于光滑水平面上，从动量与能量的角度，分析质点与圆弧槽的运动，定性判断或定量计算有关物理量；

(6)质点从圆弧槽外进入槽，并与圆弧槽发生相互作用，多角度探究小球与圆弧槽的作用.

2 情境分类与解答方略

2.1 质点与圆弧槽系统的平衡问题

例1质量为M的凹槽静止在水平地面上，内壁为半圆柱面，截面如图2，A为半圆的最低点，B为半圆水平直径的端点.凹槽恰好与竖直墙面接触，内有一质量为m的小滑块.用推力F推动小滑块由A点向B点缓慢移动，力F的方向始终沿圆弧的切线方向，在此过程中所有摩擦均可忽略，下列说法正确的是( ).

图2

A.推力F先增大后减小

B.凹槽对滑块的支持力先减小后增大

C.墙面对凹槽的压力先增大后减小

D.水平地面对凹槽的支持力先减小后增大

解析设滑块和O点连线与竖直方向夹角为θ，由平衡条件有

F=mgsinθ；FN1=mgcosθ

滑块从A缓慢移动B点时，θ增大，则推力F增大，支持力FN1减小.

对凹槽与滑块整体分析，得墙面对凹槽的压力为

可见，当θ增大时，墙面对凹槽的压力先增大后减小.

水平地面对凹槽的支持力为

FN3=(M+m)g-Fsinθ=(M+m)g-mgsin2θ

可见，当θ增大时，水平地面对凹槽的支持力减小.综上，正确选项是C.

评述该题情境设计符合上述考查方式中的(1)要求.试题通过光滑凹槽中滑块沿圆弧切线方向的力F作用下的运动情境，考查受力分析、动态平衡的分析、力的合成与分解等知识点.主要考查“科学思维”素养中的模型建构、科学推理及科学论证等要素.

2.2 质点在固定粗糙圆弧槽中运动的问题

例2 (2016年全国III卷试题)如图3，一固定容器的内壁是半径为R的半球面；在半球面水平直径的一端有一质量为m的质点P.它在容器内壁由静止下滑到最低点的过程中，克服摩擦力做的功为W.重力加速度大小为g.设质点P在最低点时，向心加速度的大小为a，容器对它的支持力大小为FN，则 ( )

图3

选项A、C正确.

评述本题运动情境设计符合上述方式(2)、(3)要求.试题主要考查动能定理、牛顿运动定律及圆周运动规律的应用，侧重考查考生的理解能力及推理论证能力.本题最容易出现的错误是，由于未进行受力分析而遗漏重力.

2.3 质点在固定光滑圆弧槽中运动的问题

例3(东北师大附中2022年摸底考试)如图4，内壁光滑的半圆形凹槽放置于粗糙的水平地面上，现将一个质量为m的小铁球从与圆心O等高处A由静止释放，在铁球沿凹槽下滑的过程中凹槽保持静止，若研究小铁球从最高点A滑至最低点B的过程，已知重力加速度为g.则下列说法正确的是( ).

图4

A.铁球下滑过程中加速度的竖直分量先减小后增大

B.铁球下滑过程中加速度的水平分量先增大后减小

C.铁球下滑过程中重力瞬时功率逐渐增大

D.地面对凹槽摩擦力的最大值为1.5mg

解析研究小铁球从A滑至B的过程，小铁球作加速运动.在A处小铁球的加速度为重力加速度，方向竖直向下；在B处向心加速度方向竖直向上，无切向加速度.因此，该过程中，竖直方向的加速度分量先减小后增大；水平方向的加速度分量先增大后减小.

重力的瞬时功率取决于竖直方向的分速度.A处的速度为0，B处的速度方向水平向左，所以，A、B两处重力瞬时功率为0.可见，小铁球从最高点A滑至最低点B的过程，重力瞬时功率的变化规律是先增大后减小.

如图5，设凹槽的半径为R，某时刻运动至小球与球心连线跟水平方向夹角为θ处，速度大小为v，此时小球所受弹力为FN，由机械能守恒定律，有

图5

解得FN=3mgsinθ.

评述该题情境设计符合上述考查方式中的(1)、(2)、(3)、(4)要求.要求能通过定性或半定量的方法，分析竖直方向及水平方向速度、加速度的变化规律，重力瞬时功率的概念在此得到有效考查.其次，地面对凹槽摩擦力的方向，要求能结合牛顿运动定律、机械能守恒定律、力的平衡条件及数学求极值的方法，通过科学推理得到最大静摩擦力大小.试题主要考查考生的推理论证能力.

2.4 质点在可动光滑圆弧槽中运动的问题

例4如图1，在光滑水平地面上静止放置一质量为M的半圆槽，半圆槽内壁光滑，轨道半径为R，轨道最低点为B，两端A、C与其圆心O处等高.现让一质量为m的小滑块从A点由静止开始释放，小滑块可视为质点，重力加速度为g，若M=2m.则在此后的过程中( ).

A.半圆槽与小滑块组成的系统动量守恒，机械能守恒

D.小滑块运动到B点时，半圆槽对水平地面的压力为3mg

小滑块运动到B时，设小滑块的速度大小为v1，半圆槽的速度大小为v2.由动量守恒定律，有

0=mv1-2mv2

由机械能守恒定律，有

小滑块相对半圆槽做圆周运动，在B处，向心加速度方向向上，出现超重.因此，半圆槽对水平地面的压力大于3mg.

综上，正确选项是B、C.

评述该题情境设计符合上述考查方式中的(2)、(3)、(5)要求.试题以小滑块在半圆槽中的运动为载体，考查动量守恒定律、机械能守恒定律成立的条件；类比人船模型导出半圆槽运动的位移；能综合应用动量观念与能量观念，确定小滑块与半圆槽在B处的速度；定性分析半圆槽对水平地面的压力与重力的关系.主要体现对理解能力、推理论证能力的考查.

2.5 质点在光滑圆弧槽中运动的综合问题

例5 如图6(a)所示，带有半圆形轨道的凹槽放在水平面上，凹槽左侧有一固定的障碍物，a、b为轨道的两端，轨道半径为R.在a点正上方某高度从静止开始释放一质量为m的小球，小球下落后从a端进入轨道，此后小球只在凹槽内运动，设凹槽质量为2m，不计摩擦和空气阻力.

(1)求小球释放时距离a端的最大高度；

(2)在满足(1)的条件下，求凹槽离开障碍物后其轨道最低点对小球的支持力大小；

(3)现将该凹槽固定在倾角为30°的斜面上(图6(b))，将小球从距离a点某高度水平拋出，小球恰好能无碰撞地从a端进入轨道运动，此后小球能原路返回到拋出点.试求抛出点距离a端的最大高度.

图6

解析(1)设小球距离a端的最大高度为h，小球进入凹槽后，达最低点速度为v0.要使小球恰不能从凹槽右端b飞出，则小球与凹槽必共速，设该速度为v.由机械能守恒定律，有

(2)在凹槽离开障碍物以后运动的过程中，设小球从凹槽两端返回至最低点时的速度为v1，此时凹槽速度为u1，取v0方向为正方向.由动量守恒定律，有

mv0=mv1+2mu1

由机械能守恒定律，有

凹槽对小球的支持力大小为FN，小球运动返回到凹槽最低点时，由牛顿运动定律，有

解得FN=4mg.

(3)设抛出点距离a端的最大高度为H，欲使小球原路返回，其在凹槽内运动的最高点应与圆心等高.设小球刚从a端进入凹槽时速度为v2，竖直分速度为vy.由机械能守恒定律，有

评述该题情境设计符合上述考查方式中的(2)、(3)、(5)、(6)要求.要求能根据力与运动的关系，定性得出小球及凹槽的运动性质与规律，能灵活地使用机械能守恒定律、水平动量守恒定律及牛顿运动定律定量研究题设问题.问题(3)的分析要点是能找出小球在凹槽右侧上升的最大高度.该题通过多处设置临界状态，考查考生的分析综合能力及推理论证能力.