“田”格等比定理

陆敬山

(上海市崇明中学 202150)

“田”字格是一种常见图形，它普遍存在于凸四边形之中.例如凸四边形ABCD中，点P1,P2分别为对边AB,CD上的点，点Q1,Q2为另一组对边BC,AD上的点，P1P2与Q1Q2交于点O,(如图1)，田字格就是指这类图形，图中包含了三对横向线段AQ2，Q2D，P1O，OP2，BQ1，Q1C，三对纵向线段AP1，P1B，DP2，P2C，Q2O，OQ1，本文所说的“田”格等比定理就是以这几对线段成等比关系作为条件或作为结论的定理，如未特别说明，文中的四边形是指平面上的凸四边形.

图1

1 接受启发，雏形初现

如图2所示，有一条公共边的两个三角形拼接到一起，两条截线相交，且交点落在公共边所在直线上，线段之间会有怎样的比例关系，实际上问题来到了四边形中，进而又想到了图1中的“田”字格.

图2

受到梅涅劳斯定理的启发，发现下面的问题：

本问题中是MP与QN交于一点T，且点T落在DB的延长线上，如果是MN与PQ交于四边形内部一点O(如图3)，添加什么样的比例关系？又能得出怎样的结论？

图3

(1)直线MP,NQ,BD三线互相平行或交于一点.

图4

所以MP∥BD,NQ∥BD.

从而MP∥NQ∥BD.

所以MP不平行于BD,NQ不平行于BD.

因为T,T′都为线段DB的外分点，从而T,T′重合，即PM,BD,CN三线共点.

故直线MP,NQ,BD三线互相平行或交于一点.

(2)如果ABCD为平行四边形，则结论(2)显然成立.

如果ABCD不是平行四边形，可假设AB不平行于CD,如图4，过点D作AB的平行线交PM的延长线于点R，再过点C作AB的平行线交PN的延长线于点S，连接RQ及SQ，在△DRQ及△CSQ中，DR∥AB,CS∥AB.

所以DR∥CS，∠RDQ=∠SCQ.

从而△DRQ∽△CSQ.即∠DQR=∠CQS.

所以结论2成立.本文将问题2称为田格等比定理的预备定理.

2 千呼万唤始出来

证明如图4，过点D作AB的平行线交PM的延长线于点R，再过点C作AB的平行线交PN的延长线于点S，连接RQ及SQ，则可得△APM∽△DRM,△BPN∽△CSN.

所以RQ∥MO,QS∥ON.

所以R，Q，S三点共线.

所以RS∥MN.

注本人将问题3称为田格等比定理，其中AB不平行于CD是必要的，如果AB∥CD，则R，D，Q三点共线，S，C，Q也三点共线，△QPD及△QSC不存在，定理不成立.

3 理定而后可道

首先定义等分网格图：在四边形ABCD中，点列P1，P2，P3，…，Pn-1.顺次将ABn等分，点列Q1，Q2，Q3，…，Qn-1顺次将DCn等分，M1，M2，M3，…，Mm-1顺次将ADm等分，N1，N2，N3，…，Nm-1顺次将边BCm等分，则连线PiQi及MjNj(i=1，2，3，…，n-1,j=1，2，3，…，m-1)连同四边形ABCD组成的图形称为四边形ABCD的等分网格图(如图5).由田格等比定理可得出下面推论：

图5

在平面n×m等分网格图ABCD中，设PiQi与MjNj(i=1，2，3，…，n-1,j=1，2，3，…，m-1)的交点为Oij,则Oij为PiQi的第j个m等分点，且为MjNj的第i个等分点.

所以推论的结论成立.

4 打铁还需自身硬

师者，所以传道授业解惑也.作为一名中学数学教师，要提升学生的数学核心素养，自身必须扎实过硬和技高一筹，而定理的发现一般是经历严密的逻辑推理过程，甚至是曲折且漫长，但长期的坚持不懈定能助长学生的推理习惯，本文就是将田格等比定理的生成过程详尽阐述并展现.大家知道逻辑推理能力的提升更是核心素养培育的任务之一，希望更多师者投身到研究中来，努力提升自身的核心素养.