画“双圆”解单边界匀强磁场中带电粒子扫射“时空”问题

陈卫国

(北京师范大学贵阳附属中学 550023)

匀强磁场中带电粒子扫射问题，实质为动态轨迹圆问题，过程抽象，分析、综合能力要求较高，是学生学习“带电粒子在磁场中运动”的难点.图像法画双圆处理，化抽象为形象，处理简洁.双圆即：“轨迹圆的圆心轨迹圆”“入射点始，入射点和圆心轨迹圆任意点连线单向延长2倍画直径端头圆”, 所有轨迹圆在入射点相交.现以单边界磁场为例进行探讨.

1 单边界磁场

物理原型：有垂直平面的单边界匀强磁场B，其中有一点S，在磁场中距离磁场边界距离|SO|=d.大量质量为m，电荷量为q的带正电粒子，在磁场中S点以相同的速率垂直磁场向各个方向扫射，粒子轨迹半径为r(如图1)，试分析粒子运动情况.(边界上哪些位置有粒子射出，以及到边界射出区域的两个端点对应的耗时；粒子从磁场边界冲出，对应在磁场中耗时最长、最短情况.)

图1

轨迹为粒子左旋圆，分为两类：

(2)粒子轨迹直径满足2r>d时，带电粒子在磁场中做部分圆周运动.并且，所有轨迹圆共S点.

①以S为圆心，以r为半径画圆，此为可能的轨迹圆的圆心轨迹(图1中的圆1)；以S为圆心，以2r为半径画圆，此为可能的轨迹圆直径另一端头轨迹(图1中的圆2).

②粒子冲出磁场边界的最大范围：

过O点作长度为r的向上垂线，将垂线向右平移至端头与圆1相交，交点为C2，此为粒子将不从边界射出的轨迹圆的临界圆心，对应的轨迹圆为图1中圆4，对应粒子射出边界最右端点D2.

连接S点和圆2与磁场边界交点D1，为粒子射出边界最左端点对应直径与相应半圆3.图中D1与D2之间的长度即为粒子将从边界上射出的区域，有：

lD1D2=2rsinθ+rsinα

粒子能从最左端点冲出磁场，轨迹如图1中半圆3，耗时为:

粒子能从最右端点冲出磁场，轨迹如图1中圆4劣弧SD2，耗时为:

③粒子到达边界的最长时间与最短时间：

图2

过O点作长度为r的向上垂线，将垂线向左平移至与1圆相交，交点为C2，此为粒子在磁场中到边界耗时最长的轨迹圆的圆心，对应的轨迹圆为图2中圆4的优弧SD1.故：

粒子在磁场中到边界耗时最长为图2中圆4的优弧SD1，有：

粒子在磁场中到边界耗时最短时，过S点作磁场边界的垂线，交边界于O点，|SO|为满足条件的对应轨迹圆的最短弦，作该弦的中垂线与圆1相交于C1，此为粒子在磁场中到边界耗时最短的轨迹圆的圆心，该弦对应图2中圆3的SO劣弧，有：

图像法能解决的物理问题，常规方法都能解决.但图像法以它直观、简洁的特点远远优于、高于常规方法.文中我们采用“画双圆”图像方法，几乎可以解决所有带电粒子在单边界匀强磁场中扫射的“时空”问题.但如果采用动力学、几何方法来解题，由于过程高度抽象，逻辑思维能力要求很高，很多同学甚至根本接受不了.当然，图像法必须在它的适应范围内才有效，这也就启迪我们：任何一种方法都不是万能的，对于具体的物理问题，我们应该寻找最适合它的解答方法.