例谈物理中两个特殊的角度极值问题与

黄 伟

(湖北省汉川一中 431600)

1 重力做功的位移与临界点重力分解同时出现cosθ所导致的

图1 图2

例1 图1中小球由光滑半球面顶端A静止释放，在B处脱离球面.图2中轻杆连两球系统靠墙由竖直位置静止释放，系统绕墙角O点转动，在B处系统离开墙面.图3中小球在光滑过山车轨道由H=2R的P点静止释放，在B处脱离轨道，求小球在脱离位置B处θ满足的条件.

图3

解析设小球质量为m，做圆周运动的半径为R，图1、图3中在脱离位置B处小球与球面及轨道的弹力为0，图2中小球与杆的弹力为0，均由重力沿圆心的分力提供向心力，则

①

②

2 三角函数y=(1-cosθ)cos2θ求极值所导致的

下题由重力做功的位移与临界点速度分解同时出现cosθ而引起的 (1-cosθ)cos2θ.

图4

例2如图4所示，质量均为m的小球A、B用长为l的轻杆相连，系统靠墙由静止释放，A沿墙下滑，B沿水平面向右运动，求系统脱离墙壁位置(不计一切阻力).

解析轻杆对球的弹力先表现为推力后是拉力，即A球离墙时杆的弹力为0，此时B球速度最大，设此时杆与墙的夹角为θ，A球速度为v1，B球速度为v2则：

①

v1cosθ=v2sinθ

②

联立①②式得

③

3 三角函数y=sinθcos2θ求极值所导致的

3.1 重力做功的位移与临界点速度分解同时出现sinθ与cosθ而引起的三角函数sinθcos2θ

例3如图5所示，质量为m的小球通过长为l的轻绳悬于O点，由水平位置静止时释放，求重力功率最大时θ满足的条件.

图5

①

P=mgvcosθ

②

联立①②得

③

由上可知 ，

例4 如图6所示，ABC为半径为R的光滑圆弧轨道，A点与圆心O等高，B为最低点，过C点的半径与水平方向成θ角，一小球由A点静止释放，求小球离开C后相对C上升的高度最高时θ满足的条件.

图6

解析A至C由动能定理得

①

离开C后：

②

联立①②得

h=R·sinθcos2θ

③

3.2 库仑力中点电荷间距与力或电场强度矢量合成同时出现sinθ与cosθ而引起的三角函数sinθcos2θ

例5 如图7所示，A、B两点分别固定电荷量为Q的等量同种正点电荷，求AB连线的中垂线上场强最大位置.

图7

解析设场强最大点为C点，AO间距为l,令∠CAO=θ，则

4 三角函数求极值所导致的

图8

解析设OP与水平方向的夹角为θ，则

x=Rcosθ=vt

①

②

③

④

化简得

⑤

由上可知 ，