还原法巧解滑块速度—时间图像问题

杨天才

(重庆市大学城第一中学校 401331)

1 问题提出

两个物体之间的相对运动是一种常见的运动形式，即某一物体对另—物体而言的相对位置的连续变动，滑块木板问题是典型的相对运动模型.如果题目已知滑块木板运动的相对速度时间关系，笔者发现将其转化为速度时间图像，能直观、简便、巧妙的反映二者之间的物理规律，对解题有独特的优越性，在本质上可理解为参考系的转化.常见的无外力作用下的滑块问题的v相-t和v-t如表1.

表1

2 典例品鉴

例1 如图1(a)所示，在光滑水平面上放置一木板A，在A上放置物块B，A和B的质量均为m=1kg.A与B之间的动摩擦因数μ=0.2，t=0时刻起，对A施加沿水平方向的变力作用，使A和B均由静止开始运动.取水平向右为正方向，B相对于A的速度用vBA=vB-vA表示，其中vA和vB分别为A和B相对水平面的速度.在0～2s时间内，相对速度vBA随时间t变化的关系如图1(b)所示.运动过程中B始终未脱离A，重力加速度取g=10m/s2.求：

(1)0～2s时间内，B相对水平面的位移；

(2)t=2s时刻，A相对水平面的速度.

图1

(2)在2s时B的速度为v2=aBΔt=2×(1.5-0.5)m/s=2m/s，由图1(b)可知，2s时vBA=v2-vA=2m/s，则vA=0.或vA=aA1t1-aA2t2=0

图2

点评本题考查v相-t图像在滑块问题中的应用，对学生的科学思维和知识迁移能力有较高的要求，理解图像所围的面积在数值上表相对位移，斜率表相对加速度，选取正方向是解题的关键，画出v-t图像是巧解必不可少的环节.

例2 如图3(a)所示，一长木板A在水平地面上向右运动，在t=0时刻将以无初速度的物块B轻放到木板上，取水平向右为正方向，B相对于A的速度用vBA=vB-vA表示，在0～0.75s内，相对速度vBA随时间t变化的关系如图3(b)所示.已知A、B的质量相等，A与B及A与地面之间均有摩擦(动摩擦因数不等)，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，B始终没有滑出A，重力加速度g=10m/s2.求：

图3

(1)A与B间，A与地面间动摩擦因数；

(2)从t=0时刻到A与B均停止时，B相对于A的位移大小.

解析(1)由图3(b)可知，在0～0.75s内，B与A存在相对速度，可知此过程B一直受到A给其的滑动摩擦力，设A与B间的动摩擦因数为μ1，由牛顿第二定律，B的加速度大小始终为aB=μ1g，在0～0.5s内，vBA小于0，此时B相对于水平面向右做匀加速运动，在0.5s末时二者共速，在0.5s～0.75s内，vBA大于0，此时B相对于水平面向右做匀减速运动，在0～0.5s内，设A与地面间动摩擦因数为μ2，由牛顿第二定律，A的加速度为aA1=-(μ1+2μ2)g，且A的初速度为v0=5m/s，结合vBA-t图像，在0～0.5s内，aBA1=aB1-aA1=10m/s2，在0.5s～0.75s内，A的加速度为aA2=(-2μ2+μ1)g，aBA2=aB2-aA2=2 m/s2，代入数据μ1-(μ1+2μ2)=10，-μ1-(-2μ2+μ1)=2，解得：μ1=0.2，μ2=0.3.

图4

点评本题仍然考查v相-t图像在滑块问题中的应用，与上题不同的是，本题没有外力作用，但两个接触面均有摩擦，且初速度不都为零，因μ1<μ2，二者共速后，将按各自的加速度相对运动.通过比较本题的v-t图像，可以看出它就是2013年全国卷Ⅱ压轴题，只是已知条件由长木板的v-t图改成了物块与木板的v相-t图，设问都完全相同.

例3 如图5(a)所示，光滑水平地面上停放着一辆平板车A，其右端有一块静止的小金属块B.金属块与平板车间有摩擦，与中点为界，前后两段动摩擦因数不同，金属块与车的前段间的动摩擦因数为μ1，与后段间的动摩擦因数为μ2.现给车施加一个向右的水平恒力，使车向右运动，同时金属块在车上开始滑动，当金属块滑到中点时，即撤去这个力，最后金属块恰停在车的左端.已知平板车的质量为金属块的2倍，取水平向右为正方向，B相对于A的速度用vBA=vB-vA表示，在t2时间内，相对速度vBA随时间t变化的关系如图5(b)所示.若在t1时刻，平板车的速度为金属块的2倍，求：μ1与μ2的比值.

图5

图6

通过以上几例可以看出，在解决相对运动时，特别是已知相对速度时间图像问题时，虽可以用解析法、相对运动公式求解，但将图像转化为速度时间图像求解更简便.