一个由特殊到一般的过程——一道圆锥曲线题的本质

马必武

(福建省福鼎市第一中学 355200)

由特殊到一般的过程经常在教材中出现，比如：在研究指对数函数时先是由特殊的函数入手研究它们的性质然后推广到一般的情况.在圆锥曲线这一块内容的教学中我们也应该有这种由特殊到一般的思想.即当我们解决了有关椭圆或抛物线或双曲线的题目后，是否应该思考，这一结论能否推广到一般的情况，当我们尝试推广时会有意外的发现.下面以一道题为例进行说明.

1 题目呈现

图1

(1)求椭圆E的方程

(2)设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q,试探究:在x轴上是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M,若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.

2 解法探析

(2)假设在x轴上存在M(t,0)满足条件.依题意设P(x1,kx1+m),Q(4,4k+m),

由已知可得m≠0.因为以PQ为直径的圆过点M,所以∠PMQ=90°.

所以(t-x1,-kx1-m)·(t-4,-4k-m)=0.

即(t-x1)(t-4)+(-kx1-m)(-4k-m)

=0.

①

得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.

因为只有一个公共点P,所以Δ=0.

即(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)=0.

化简,得-m2+3+4k2=0.

②

③

将②③式代入①化简,得

④

当t-1=0且t2-4t+3=0时④式恒成立.

即t=1,所以M(1,0).

检验:当点M的坐标为(1,0)时,能使以PQ为直径的圆过点M.

3 题目引申

对于一般的椭圆方程这一性质也符合.

图2

证明设椭圆上点P(x1,y1),右焦点F(c,0).

系统根据用户的需求定义了一系列的访问控制规则，下面我们就详细阐述一下访问控制规则。访问控制规则包括三个元素：敏感话题（ST）、请求者的类型（RC）、访问水平（AL）。用户可以根据自己的隐私偏好选择他想保护的敏感话题，敏感话题列表由在线社交应用提供，用户在使用前对自己想要保护的话题进行选择就可以。用户还需要将自己社交应用上的好友根据亲密程度或者信任程度进行分类，然后根据好友的亲密程度将每个敏感话题的访问水平与请求者类型进行对应。通过这种方式，用户就可以对自己的隐私信息进行控制，不同类型的请求者访问到的隐私消息的水平不同。下面的三元组就是一个访问控制规则：

所以以PQ为直径的圆过椭圆的右焦点.

上述引申1的逆命题也是成立的.

图3

又因为过点P(x1,y1)的椭圆切线方程为

将点Q代入时满足该方程.

所以PQ为椭圆的切线方程.

其实在这个推广中有四个要素，切线、焦点、准线、垂直.只要知道三个要素，就可以证明或求另一个要素(所谓知三求一).

那在双曲线和抛物线中是否也成立呢？

答案是肯定的.(读者可以试着证明)

这样我们就得到:

引申3 过圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)上一点M作该圆锥曲线的切线交准线于点P,则以MP为直径的圆过相应圆锥曲线的焦点.

先证一个引理: 如图4，直线l交圆锥曲线于点M,N,交其准线于点P,连接MF交曲线于点E,连接NF,PF.求证:PF平分∠NFE.

图4

先说明圆锥曲线的统一定义,即：圆锥曲线上的点到焦点的距离与该点到相应准线的距离之比为离心率.

证明如图4,过点M,N分别作准线的垂线交准线于点M1,N1,由圆锥曲线的统一定义，得

由外角平分线定理的逆定理知PF平分∠NFE.

下面证明引申3:

由上述引理的证明可知:当直线l与圆锥曲线相交变为相切时,即M,N两点重合为一点时,∠NFE变为平角(即变为∠MFE),此时PF平分∠NFE,也就平分平角,所以PF⊥ME,即PF⊥MF.所以以MP为直径的圆过相应的焦点.

到此可以发现引申3应该是原题目的本质，即一般性结论，同样也是知三求一的.

4 一般性结论的应用

例题如图5,设点F是圆锥曲线C的一个焦点,直线l是相应于焦点F的准线,设过焦点F的直线l′交曲线C于A,B两点,曲线C在A,B两点处的切线分别为l1,l2,证明:两切线的交点K一定在准线l上.

图5 图6

证明假设两切线的交点K不在准线l上,那么设l1与准线l的交点为K1,l2与准线l交点为K2,如图6.因为l1为切线,所以由引申3得K1F⊥l′.

同理得K2F⊥l′.

因为过点F不可能有两条直线垂直于l′.

所以假设不成立.

所以两切线的交点K一定在准线l上.

至此，我们从一道椭圆的题目出发得到一般的圆锥曲线也符合这一性质即得到一般性的结论，这样我们经历了一个由特殊到一般的思维过程，在这个过程中如果能和学生一起研究，那么对培养学生思维很有帮助.