探求函数对称性质 厘清函数解题思路

袁涛 陆娅君 张和平

［摘  要］ 函数作为中学数学学习的主线，是学生数学学习的核心内容，而函数的对称性作为函数的基本性质之一，是学生理解和掌握函数知识的关键. 函数的对称性是学生理解和感悟数学“对称美”的载体，是数学之美的具体表现形式. 作为函数的重要性质之一，函数对称性的考查频繁出现在历年的高考真题中（如2021年全国文科甲卷、2018年全国文科新课标Ⅲ卷、2016年全国Ⅱ卷等），理解和掌握函数对称性的本质是学生学好函数知识，获得数学发展，提高数学成绩的重要基础. 文章基于一道高考真题，分享研究者关于函数对称性质的探究和理解.

［关键词］ 函数对称性；解题思路；高考真题

基金项目：2021年凯里学院联合培养研究生专项课题“问题驱动下的高中数学探究性教学研究”（LHYJS2107）.

作者简介：袁涛（1994—），贵州师范大学硕士研究生，从事数学教育研究工作.

通讯作者：张和平（1974—），博士，凯里学院理学院教授，从事数学教育与测量研究工作.

真题呈现与解析

（2018年全国文科新课标Ⅲ卷第7题）下列函数中，其图象与函数y=lnx的图象关于直线x=1对称的是

（  ）

A. y=ln（1－x）      B. y=ln（2－x）

C. y=ln（1+x）       D. y=ln（2+x）

分析 此题是关于函数图象对称的问题，可以直接根据函数图象的平移和对称变换求出结果，亦可根据相关点法解出答案.

解法1 函数y=lnx的图象与函数y=ln（－x）的图象关于y轴对称，且所求函数的图象需要与y=lnx的图象关于x=1对称，因此把函数y=ln（－x）的图象向右平移两个单位可得y=ln（2－x）的图象，即为所求.

解法2 设Q（x，y）是所求函数图象上的任意一点，则关于直线x=1的对称点P（2－x，y）在函数y=lnx上，可得所求函数为y=ln（2－x）.

反思 在以上两种解法的基础上，还可以通过作出函数图象，观察函数图象的特点得出正确答案. 但无论采用何种解法，解答此题的关键都在于抓住函数图象关于x=1对称的本质，只要由此入手求解，便不难得出正确答案. 如果将此题中的具体函数换成抽象函数进行考查（如y=f（x）与y=f（2－x）的关系）又当如何？至此引起了笔者对“函数对称性质”的思考.

结束语

数学本质的认识关系到学生数学知识的生长、数学能力的发展以及数学素养的养成. 在教学过程中，对于结论性的总结不应是简单告知与证明了事，而应从本质出发，讲清知识来源，让学生明白知识间并不是相互隔绝而是有紧密联系的，是一个符合逻辑的知识体系. 如此，方能帮助学生梳理知识结构，搭建新旧知识间的桥梁，实现数学发展.

参考文献：

［1］ 陳洪波.奇偶函数图象对称性的推广及应用［J］. 高中数学教与学，2018（17）：14-16.

［2］ 涂佳微. 思辨才能深度理解——由一道选择题的解答谈函数对称性质及其应用［J］. 中学数学研究，2021（09）：20-22.

［3］ 刘绍学.普通高中课程标准实验教科书·数学必修一（A版）［M］. 北京：人民教育出版社，2007.

［4］ 章建跃，李增沪. 普通高中教科书·数学必修第一册（A版）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.