经历抽象过程 发展数学素养

冯想丽

［摘  要］ 在高中數学教学中，为了便于学生更好地理解数学、应用数学，教师可引导学生借助观察、交流、抽象等学习活动来积累数学经验，丰富数学认知体系，以此让学生掌握数学研究方法，有效提升数学素养.

［关键词］ 理解数学；应用数学；数学素养

在高中数学教学中，多数教师认为概念、公式、定理等基础知识为客观事实，只要学生熟记并结合一些具体练习就能实现知识的内化，因此常常以“讲授”为主. 单一的讲授虽然能够确保教学进度，但因为没有引导学生经历独立思考和合作探究的过程，学生对这样得到的知识难以形成深刻认识，导致他们很难灵活应用相关知识去解决问题. 这显然不利于教师教学目标的实现，不利于学生学习能力的提升. 教学概念、公式、定理等基础知识时，教师应带领学生多经历一些思考过程，在帮助他们夯实基础的同时，全面提升他们的思考能力、分析能力、应用能力等综合能力.

谈起函数概念，高中生普遍认为抽象、难懂，虽然初中阶段就作为重点内容讲解过，但是让学生用集合语言来刻画变量间的依赖关系时，大部分学生会感觉不适. 而函数是高中数学教学的重点，其与方程、不等式、数列等内容紧密相连，贯穿高中数学学习始终，这要求教师在函数的概念教学中不能蜻蜓点水，而要通过深度剖析，让学生掌握其本质和核心，从而为后续学习打下坚实的基础. 笔者在函数的概念教学中，结合具体实例与学生共同经历了概念抽象的过程，让学生积累数学活动经验的同时提升了数学素养. 从教学反馈来看，学生既能用准确的数学语言来表述，又能灵活应用概念去解决问题，而且课堂参与度较高，取得了较好的效果. 笔者现将教学过程呈现给大家，若有不足，请指正.

教学实录

1. 借助情境，回忆旧知

师：在现实生活中，很多变化都体现了一种“依赖关系”，你能简单地列举几个实例吗？

生1：一个人的知识储备与他的学习时长.

生2：拉橡皮筋的时候，用的力气越大拉得越长.

……

师：大家说得都非常好，在初中阶段我们是用什么来刻画这种“依赖关系”的呢？

学生齐声答：函数.

师：很好，现在请大家回忆一下，初中阶段我们是如何来定义函数的？

设计意图 以学生熟悉的情境入手，通过旧知回顾激活学生的原有认知，为接下来的“再创造”奠定基础.

从课堂反馈来看，多数学生知道变量间的依赖关系，并能用一些常用的函数，如一次函数、反比例函数等进行说明，但还不能用准确的数学语言来刻画. 函数概念的教学是在学生原有认识上的建构，学生对旧知的掌握情况直接影响着本节课的教学效果，因此教师有必要带领学生回顾旧知. 教师可先让能够完整叙述概念的学生讲述一遍，然后用PPT给出概念，同时预留一定的时间让学生去回顾记忆，并引导学生理解定义中x与y的对应关系，为接下来概念的拓展做好铺垫.

2. 回顾旧知，发展新知

师：请大家结合初中所学的函数的定义思考下列问题.

例1 某部队在实战演习中发射了一枚炮弹，已知炮弹距地面的高度h（单位：m）与发射时间t（单位：s）满足关系式h=130t－5t2. 那么是否可以说明h为关于t的函数呢？

生3：是的，根据函数的定义，对于变量t的每一个值，都有唯一的h值与之对应.

师：如何对应的呢？

生3：按照关系式h=130t－5t2.

师：很好，既然是对应的，你能算一算当t=2时，h为何值吗？

生4：当t=2时，h=240.

师：当t=4时，h又为何值呢？

学生齐声答：440.

师：当t=20.5时呢？

生5：可以算，但是这个太复杂了吧.

师：确实，这个算起来有点烦琐，看来大家都不想算，那么你们能不能创造一个简单的符号来表示呢？（生沉思）

师：例如“h（t=20.5）”. （学生感觉无从入手，笔者给予鼓励和提示诱发学生积极思考和表达）

生6：h.

师：还有吗？

生7：h（20.5）.

……

师生共同交流后最终统一认为用“h（20.5）”来表示更加简洁、易懂.

师：那么大家再思考一下，若t=t，h为何值呢？

学生齐声答：h（t）.

师：很好，你们真的太棒了！

设计意图 在学习过程中，很多学生表示对于符号y=f（x）难以理解，这样通过交流能使学生初步认识符号y=f（x）.

师：相信对于定义域和值域大家都不陌生，本题中自变量t和因变量h的取值范围分别是什么？你能用集合来表示吗？（定义域和值域是学生较为熟悉的内容，很快就有学生给出了答案）

生8：t的取值范围为｛t0≤t≤26｝，h的取值范围为｛h0≤h≤845｝.

师：你是如何求的？

生8：我是根据函数图象来判断的，h=130t－5t2为二次函数. 因为h≥0，所以0≤t≤26，而当t=13时，到达最高点，此时h=845.

师：对于h≥0你是如何判断的呢？

生8：根据已知并联想生活实际很容易知晓这个道理，因为炮弹落地就炸了.

师：确实，如果落地不爆炸，想飞多久就飞多久，这个后果可就难以预料了. （学生笑）

师：若t的取值范围用A表示，h的取值范围用B表示，你能尝试用集合语言来刻画h与t的对应关系吗？

生9：对于集合A中的任意一个元素t，在集合B中都有唯一的元素h与之对应.

就这样，在笔者的鼓励和引导下，函数概念初步形成，学生由原有的依赖关系逐渐向对应关系转化，尤其是集合的引入，为接下来学生进一步理解与区分映射关系奠定了基础.

3. 借助實例，逐渐抽象

师：结合例1，接下来我们一起分析下面这个问题，是否还可以像刚刚那样来研究呢？

例2 太阳辐射到地球的99%的紫外线都是被臭氧层吸收的，正因为有了臭氧层的存在才使人类和动物免受过量紫外线的灼伤，但是随着工业的不断发展，氟利昂得到了广泛的应用，使得臭氧层受到了严重的破坏，出现了臭氧漏洞. 图1为1979—2001年南极臭氧层空洞面积的变化情况.

师：结合图1思考一下，时间t与面积S是否具有函数关系？

学生齐声答：有.

师：谁来说一说你判断的理由？

生10：这个很简单，观察图象可知，对于变量t的每一个值，都有唯一的S值与之对应，故S是t的函数.

师：很好，结合图象知道了它们的对应关系. 当t=1991时，此时S值大约是多少呢？

生11：大约是21.

师：你们认同吗？（笔者通过连线引导学生观察，师生认可生11给出的结果）

师：我们用什么符号来表示呢？

学生齐声答：S（1991）.

师：很好，看来大家不仅理解了刚刚的符号表示法，而且可以灵活应用了. 现在思考一下，t是否为S的函数呢？

生12：不是，对于同一个S值有几个t值与之对应，如S=25时，有5个不同的t与之对应，故t不是S的函数.

师：很好，结合图象及函数的定义我们知道S是t的函数. 自变量t和因变量S的取值范围如何用集合来表示呢？

学生根据已有经验很快得到了自变量t和因变量S的取值范围，接下来笔者又引导学生用集合的语言来刻画t与S的函数关系. 经过以上两个问题的过渡，学生对函数符号以及用集合语言刻画函数有了深刻并明晰的认识，整个过程隶属学生的认知范畴，因此学生学起来得心应手，课堂氛围自然流畅，学生的学习积极性也被充分地调动了起来，为接下来定义的抽象做好了铺垫.

4. 逐层递进，自然生成

师：刚刚结合图象我们得出了S是t的函数的结论，不知道通过表格我们是否能发现点什么？（学生迫不及待地想探究新问题）

例3 国际上常常用恩格尔系数来反映人民的生活质量，恩格尔系数=食物支出金额÷总支出金额. 你们认为是系数越大生活质量越高，还是系数越小生活质量越高呢？（学生存在一定的意见分歧，笔者引导学生联想家庭支出，从而统一了认识，即系数越低，生活质量越高）

师：表1为某地城镇恩格尔系数变化情况. （笔者用PPT展示表1）

师：若时间和恩格尔系数分别用m和n表示，m与n是否具有函数关系？

生13：我认为n是m的函数，但m不是n的函数，因为对于变量m有唯一n值与之对应，但是对于变量n，其对应的m值不唯一，如当n=30.1时，m就有两个不同的值，分别为2013和2016.

师：观察得很仔细，表述得也非常准确，很好. 那么m与n是如何对应的呢？如何用集合语言来描述呢？

生14：通过表格可见其对应关系. 对于集合A中的任意一个元素m，在集合B中都有唯一的元素n与之对应.

师：如果让你写出集合A，B中的元素，你会写吗？

生14：A=｛2008，2009，2010，2011， 2012，2013，2014，2015，2016，2017｝，B=｛37.9，36.5，35.7，36.3，36.2，30.1，30，

29.7，30.1，29.3｝. （笔者投影展示学生得到的结果）

师：思考一下，以上三个实例是如何用集合语言来描述的？它们有什么共同点？你能否用一句话来总结一下？（笔者预留时间让学生进行概括、抽象）

生15：根据某种对应关系，对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y与之对应.

师：如果某种对应关系用符号来表示，你会吗？（学生在课前进行了预习，很快给出了符号“f”）

在笔者的带领下，学生自主完成了问题的总结和概括，相信经过观察、分析、总结等过程，学生对“对应关系”会形成深刻的印象. 经历以上刻画的过程后，学生能顺畅地、完整地表述函数概念.

师：如果既要直观地呈现集合中的元素x和y，又要体现对应关系f的作用，你能构造一个数学符号来表示吗？（学生结合刚刚的探究经验，很快给出了结果）

学生齐声答：y=f（x）.

接下来，笔者用PPT完整地呈现了函数概念. 因经历了概念形成的全过程，学生面对抽象的概念时镇定自若，一改往日的焦虑，可见引导学生参与知识形成的过程是很有必要的.

5. 融于练习，彰显本质

师：接下来我们利用几个练习来体验一下. （笔者用PPT给出题目）

练习1：如图2所示，集合A与集合B存在怎样的函数关系？简述理由.

练习2：以下图象哪个不能作为函数y=f（x）的图象？（  ）

从练习反馈来看，学生不仅能给出准确的答案，还能根据函数的定义给出合适的理由，说明学生可以灵活应用概念来解决简单问题了.

练习3：已知函数f（x）=+.

（1）求函数f（x）的定义域；

（2）求f（－3），f（1），f（f（2））的值；

（3）当a>0时，求f（a），f（a－3）.

函数定义域和值域问题是教学的重点，也是学习的难点，但由于概念教学中对此进行过有效渗透，因此学生解题得心应手.

6. 课后小结，提炼升华

练习后，笔者组织学生交流、回顾，在加深理解的同时帮助学生梳理知识，提炼思想方法，使学生从整体上完成知识体系的建构，既提升了学生的学习能力，又增强了学生的学习信心，还提升了学生的核心素养.

教学反思

学生的认知水平和思维能力发展正如函数关系一样，会随着学习时间、学习的努力程度等因素的变化而变化，因此教师必须认识到学生学习能力的提升需要经历一个过程. 教师教学时不能急于求成，应带领学生参与到知识的生成和发展中来，进而通过切身体验完成知识体系建构.

高中的函数概念是基于初中函数概念发展的，并非重新定义. 在教学中，笔者先引导学生回顾旧知，并在此过程中进一步抽象，如先是表达式对应，再是图象对应，最后是表格对应，由三种不同的对应关系逐渐抽象出对应符号“f”；又如从自变量和因变量的取值范围出发，逐渐引导学生由具体集合逐渐抽象为符号集合，让学生经历由特殊到一般、由具体到抽象的活动过程后，重新认识函数概念，掌握数学研究方法，提升数学思维能力.

另外，教学中笔者先引导学生借助已有经验来判断函数关系，再引导学生用集合语言进行描述，通过逐层深入的教学方式有效地淡化了概念的抽象感. 对于符号的表示一直是教学难点，为了突破此教学难点，笔者借助“当t=20.5，h为何值”激发学生引入数学符号来表示h值的紧迫感. 这样做既为符号y=f（x）的引入做好了铺垫，又有助于学生理解符号y=f（x）. 整个过程自然流畅，巧妙地化解了教学难点，在潜移默化中发展和提升了学生的学习能力.

总之，在数学教学中，教师要善于借助一些具体问题或探究活动来调动学生的积极性，鼓励学生自主解决问题，让学生在解决问题的过程中完成知识的梳理，既能强化学生的数学学习能力，又能提升学生的数学核心素养.