基于“问题解决”的高中数学开放式教学设计与思考——以“直线与方程章节复习课”为例

练育宏

(江都区教师发展中心,江苏 扬州 225200)

1 问题提出

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》(以下简称《新课标》)提出：通过高中数学课程的学习，学生能获得进一步学习以及未来发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验(简称“四基”)；提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力(简称“四能”).《新课标》特别强调“基本思想”与“基本活动经验”以及“发现与提出问题的能力”，笔者认为这是学生未来可持续发展需要的重要的数学品质与能力.

“问题解决”教学是指以“问题”为主线，利用系统的思想方法与程序步骤，指导学生发现、思考、探索、解决和再发现新问题，在学生的知识结构得到构建的同时，思想方法体系也同步得以构建，从而培养和提高学生的学习能力、思维能力和创造能力，实现学生的可持续发展，增强学生将来的竞争力.它的特点是学生主动开动脑筋去“发现—解决—再发现”问题，着眼点在“思”.这与《新课标》中提出的“学生在学习‘四基’的同时提升‘四能’”是相契合的.作为一名教研人员，笔者也正在积极努力地进行这方面的改革与尝试.2021年9月，笔者所在区一名青年教师有幸参加了江苏省青年教师优秀课的评比活动.比赛课题：直线与方程章节复习课，授课对象:徐州市第一中学高二年级的学生.笔者有幸参与了整节课的设计、磨课、观摩等过程，意在把“问题解决”的教学思想在本节课中得以充分展现.本课的设计定位是“问题由学生自己提、思路由学生想、方法由学生说、反思由学生悟”.课堂设置为“四问”环节，启问—探问—追问—回问，简言之：创设情境(启动问题)、小组合作，教学做合一(探究问题)、追问溯源(贯穿始终)、回问总结.整节课流畅的教学设计、丰富的师生活动催生了精彩的数学课堂，取得了良好的教学效果.

2 教学案例

2.1 基本构想

本课旨在通过基于“问题解决”的适度开放式的教学既让学生复习了本章中的部分“四基”又促进了学生“四能”的提升,同时还发展了学生的部分核心素养.由于一节课并不能涵盖本章的所有知识点和方法，因此本节课的复习目标是：渗透“大概念”“大单元”的教学理念，让学生通过“直线”作为载体掌握研究一般曲线的基本路径与方法，充分体会“坐标法”在研究几何问题中的应用，感悟数形结合与方程等数学思想方法的运用.

2.2 教学过程

启问我们主要学习了与直线有关的知识，回忆一下，我们是用什么方法研究的？

意图回顾本章研究直线的基本方法，体会坐标法的思想，这也是解析几何的精髓所在.

1)浅度开放.

图1

探问如图1,已知点P的坐标为(1,2)，直线l过点P，你能再添加一个条件，确定该直线并求出直线l的方程吗？

(教师留给学生短暂的时间思考.)

意图通过设计低起点的条件开放问题，引导学生回顾直线构成的要素(点与斜率)、直线方程的5种形式、适用范围、相互关系、互化等知识点.同时激活学生的思维，初步培养学生发现和解决问题的能力.

由于思考时间短暂，学生首先想到的是添加一个斜率(倾斜角)或一个点，也有学生想到的是两轴上截距间的关系，学生根据这3种方案很容易编题，如以下例1～例3.其中例1、例2学生口答即可解决，例3让学生动手操作后投影展示，积累一些基本的活动经验并体会基本的方程思想.

例1(加一个斜率或倾斜角)已知直线l过点P(1,2)，且斜率为2，求该直线方程.

例2(加一个点)已知直线l过点P(1,2),Q(3,0),求该直线方程.

例3(加截距间关系)已知直线l过点P(1,2)，且在两轴上截距相等，求该直线方程.

追问你打算使用何种形式表示直线方程？这种形式能否表示平面内所有直线，还有哪些形式？直线方程几种形式之间有何联系？它们之间能互化吗？

回问你能用思维导图对5种形式进行归纳总结吗？

(学生小组讨论后总结.)

意图给学生反思、梳理、总结的空间，让所复习的知识更具条理化、清晰化、整体化,形成如图2所示的结构框架图.

图2

图3

2)中度开放.

变式1如图3，直线l过点P，且与坐标轴的正半轴交于点A,B，你能再添加一个条件，确定该直线并求出直线l的方程吗？

(给学生充分思考与讨论的空间，允许学生查阅相关资料.)

意图前面复习了直线方程的形式，下面研究如何选择恰当的形式求解方程.通过直线位置的细微变化，设置开放问题，给学生充分的讨论与思考、探究的空间，积极回忆、复习平时做过的相关题型.引导学生回顾求解直线方程的基本方法——待定系数法，给学生动手操作的空间，让学生在“做中学”，从而积累一些基本的活动经验，进一步体会基本的方程思想.同时也进一步培养学生发现与提出、分析与解决问题的能力，对学生的数学建模、数学运算素养也有一定的提升.

例4(添加面积)直线l过点P(1,2)，且与坐标轴的正半轴交于点A,B，S△ABC=3，求该直线的方程(无解).

在教学中,可引导学生利用截距式和点斜式设出直线方程，构建方程(组)解决问题，并加以比对两种设法，逐步积累解题经验.如果学生给出其他有解的面积值,可进一步追问面积值为3时情况如何,从而在运用中自然产生新的问题.

追问出现了无解现象，说明了什么？你能提出新的问题吗？

意图出现无解现象，学生首先怀疑是否解错，可用两种方法来完成，起到相互检验的效果，进一步确认无误后，启发学生进一步反思感悟到三角形的面积是有一定范围的，从而自然产生了新的问题——最值问题.此举的目的是培养学生善于反思、敢于质疑的精神，这也符合“问题解决”教学的基本特点.

例5直线l过点P(1,2)，且与坐标轴的正半轴交于点A,B，当△AOB的面积最小时，求该直线的方程.

(借助基本不等式，易得结果为2x+y-4=0.)

变式2已知直线l过点P(1,2)，直线l′:x+y-5=0，你能从两条直线位置关系的角度提出问题吗？

(教师给学生短暂的时间思考.)

意图前面研究了直线方程的求法，下面利用方程研究直线的相关性质(位置关系)，因此通过增加一条直线，设置开放问题，旨在复习两条直线位置关系的研究方法，让学生感悟数形结合与方程思想方法的运用,同时进一步促进学生“四能”的提升.

在教学中，学生一般首先想到的是下面3种方案：平行、垂直、相交，故学生容易想到编写如下例6与例7.

例6已知直线l过点P(1,2)，直线l′:x+y-5=0,且l∥l′(或l⊥l′)，求直线l的方程.

例7已知直线l过点P(1,2)，直线l′:x+y-5=0，且l与l′相交，求直线l的斜率k的范围.

追问已知直线l过点P，直线l′:x+y-5=0，l与l′相交且交点在第一象限,你能求出直线l的斜率k的范围吗?

在教学中，学生一般首先想到的是从“形”出发，教师要有意识地引导学生使用代数方法处理，给学生一定的动手空间，从而进一步渗透解析几何的基本思想——用代数的方法研究几何问题.

3)深度开放.

变式3已知点P(1,2)，l′:x+ty-5=0，你能根据以上条件提出新的问题吗？

(小组交流，代表发言.)

意图把直线l′方程中y项前的系数由1变为t，由定到动，设置开放问题，利用直线方程研究直线的性质(点到直线距离、定点问题)，进一步体会数形结合思想的魅力，让学生初步感受“动中有定”“动中有界”的基本经验.

在教学中，学生一般想到的是直线恒过定点、点到直线的距离的最值问题，故学生容易编写如下例8与例9.

例8(动中有定)求直线l′恒过定点的坐标.

例9(动中有界)求点P到直线l′的距离的最大值.

在教学中，学生一般想到的还是从“形”出发，教师要引导学生使用代数方法处理，进一步渗透解析几何的基本思想.

变式4直线l′:x+ty-5=0，l:tx-y-t+2=0，两条直线交于点Q，你有什么发现，你能提出什么问题？

(教师给学生充分思考与讨论的时间.)

意图由“一动”到“两动”，逐层递进设置开放问题，研究直线的相关性质的应用.在两条直线运动变化中，引导学生发现其中的“动中有定、动中有界、动中有迹”，其中的“动中有迹”，轨迹是圆，为下一章的学习做铺垫.本题中学生发现与提出问题的难度较大，可适当动态展示两条直线的运动变化过程，给学生充分的讨论、交流时间，旨在进一步提升学生的“四能”，发展数学建模、直观想象等素养，培养学生用数学的眼光发现问题的能力.

在教学中，经过较长时间的探究、思考、讨论后，学生不难发现两条直线都恒过定点A(5,0),P(1,2)且始终处于垂直状态，由垂直想到了QA2+QP2为定值，由定值产生了△QAP面积(周长)的最值问题，由垂直自然也会想到动点Q的轨迹问题.据此学生编写了例10和例11.

图4

例10(动中有界)如图4,已知直线l′:x+ty-5=0，l:tx-y-t+2=0，两条直线交于点Q，求△QAP面积的最大值.

(答案：5.)

例11(动中有迹)如图4,已知直线l′:x+ty-5=0，l:tx-y-t+2=0，两条直线交于点Q，求动点Q的轨迹图形.

(答案：圆.)

回问本节课的研究内容与研究方法分别是什么？

意图教师引导学生回顾本章知识，梳理本章的知识结构图，并不断渗透研究平面曲线的一般思路与方法，形成如图5所示的结构框架图.

图5

3 教学思考

3.1 “问题解决教学”“开放式教学”是践行“四基、四能”的有效途径

“问题解决教学”利用系统的思想方法与程序步骤，指导学生发现、思考、探索、解决和再发现新问题.本课中的“小组合作”“教学做合一”“开放式教学”即为系统的方法，“四问”环节即为基本步骤.这些系统的方法与步骤其最终目的都是为了让学生在掌握“四基”的同时，更好地促进学生“四能”的提升.

本课巧妙运用了一图穿一课的方式，通过不断添加条件，由一个低起点的“定”的开放过渡到一个“动”的开放，在“动”中探寻其变化规律.问题设置层层深入，渐进开放，逐步衍生出所要复习的基础知识及基本技能.其中，在小组的协作讨论、学生的动手操作体验中形成了基本的方程思想与数形结合思想,同时积累了基本的活动经验.此外，在教师给出的开放问题引领下，学生自主发现与提出问题，学生的兴趣更浓，分析与解决问题的动机更强，对问题的本质理解程度更深[1]，这也正好契合了“问题解决教学”的教学思想与新课程的目标.

3.2 章节复习课教学设计更要凸显“大概念”“大单元”视角

新课程基本理念中强调高中数学要优化课程结构，突出数学主线，凸显数学的内在逻辑和思想方法，进一步精选学科内容，重视以学科大概念为核心，以主题为引领，处理好局部知识和整体知识的关系，引导学生感受知识的整体性.而章节复习课则是整体建构的关键一环，在教学中要站在整体的角度,一方面关注知识内容主线的复习，另一方面关注思想方法、一般观念暗线的渗透，明暗交织.通过精选的例题将两条线索呈现出来，通过精心设计的问题引导学生，激发学习兴趣，促进学生一般观念的形成、思想方法的领悟和核心素养的提升.

本课从“大概念”“大单元”的视角，通过渐进开放的形式对单元所学知识进行回顾和整理，帮助学生形成单元知识的链条和知识体系.图5的知识结构框架图从横向上看,通过研究直线的结构特征(斜率、点等)建立直线方程，然后通过方程去研究直线的相关性质(位置关系、点到直线的距离、定点等)，再研究直线的相关性质的应用(最值、轨迹等)；从纵向上看，以“研究对象—研究内容—研究方法(思想)”为基本架构，又可以将平面解析几何中的几类曲线整合在一起，并且以直线的整体架构为载体给出研究其他曲线的一般路径，帮助学生实现知识的整体建构与深度理解[2].