“情境—问题—思维”视角下的问题链教学

胡连成

(梁寨初级中学，江苏 丰县 221700)

《义务教育数学课程标准(2022年版)》提出：教学中要注重发挥情境设计与问题提出对学生主动学习的促进作用，通过创设情境，提出能引发学生思考的数学问题或引导学生主动提出合理问题，使学生在问题思考中逐步发展数学核心素养.要实现这一目的，需要关注两个方面的问题：一是情境的设计与问题的提出；二是问题的聚焦与问题链的引领.本文从“情境—问题—思维”的视角出发，就如何在情境教学中实现问题生成、核心问题确立及问题链引领等诸方面展开研究.

1 问题生成

哈尔莫斯曾说：“问题是数学的心脏.”爱因斯坦曾说：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要.”如何能够让学生在教师设计的情境中主动发现问题、提出问题，这就要求我们要在明确学生已有的知识结构和认知心理的基础上，基于学生的学习最近发展区设计指向数学本质、兼具“真、趣、美、简”的数学情境，使学生用已有的知识方法在情境的思考中产生认知冲突、心理困境，从而形成需要解决的问题，引领后续的探究活动.

案例1二次函数的概念引入.

图1

情境设计如图1，已知矩形花圃ABCD一面靠墙，另外三面所围成的栅栏的总长度是19 m.

1)如果花圃的面积是24 m2，则花圃的边AB的长度是多少？

2)当花圃的边AB的长度发生变化时，你有什么发现？

活动开展教学中先由学生自己计算、想象，给出基于自己理解的发现，然后教师利用几何画板动态展示矩形ABCD的面积随边AB的长度变化而变化，在此基础上感知变量间的对应关系，启发学生思考这种变化中是否蕴涵着不变的数量关系及如何表达出来.

案例分析本案例是在九年级学生已经掌握了一元二次方程解决实际问题的基础上进行的问题探索.对于问题1)，学生可以列方程求解;问题2)是从“化静为动”的角度出发，通过对图形动态想象和借助几何画板的直观演示，让学生提出自己的发现.学生通过思考可以发现边长AB和矩形ABCD的面积之间存在着对应关系，自然就会引发学生的积极思考“如何把两变量间对应的数量关系表示出来”，当已有的一元二次方程知识在表示此数量关系时存在思维的困境，便形成了认知冲突，并生成了相关的数学问题：如何表示在变化过程中两个变量间的数量关系？由此引领后续的思考与探究.

2 问题聚焦

数学的灵魂是数学问题，为避免教学实践中数学问题的“浅、散、乱”现象，要注重对在情境中由认知冲突生成问题的聚焦，以形成指向数学本质的核心问题，统领后续的探索与思考.数学课堂教学的核心问题是指从数学知识的整体建构出发，对一节课或教学单元起着统领作用的关键数学问题，它指向问题的数学本质,整合课堂教学的重点和关键点，并由此生成整节课(单元)的教学探索活动，具有统领性、生成性、建构性的特点.在数学情境教学中，通过情境谋势，形成认知冲突，引发学生的积极思考，在观察、猜想等思维的碰撞中自然生成诸多问题，教师要及时引导、启发，在诸多问题中归纳聚焦具有开放度和生成性的核心问题，引领学生思维发展，并由此不断产生新问题、新观点，在问题探索中实现基于自我理解的知识方法的体系建构.

案例2勾股定理[1].

情境设计利用数学实验学具，演示“勾股定理注水法”证明过程(如图2)，让学生们说说自己的发现.

活动开展学生观察演示过程得出不同的结论：两个小正方体的体积等于大正方体的体积；两个小正方形的面积等于大正方形的面积；两个较短边长的平方和等于长边的平方；直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方……

教师引领学生对诸多结论进行分析，梳理它们之间的内部关系，进而确立核心问题“哪类三角形的两边的平方和等于长边的平方”.

案例分析通过对实验演示的观察思考，学生往往认为实验说明了“直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方”，教师及时进行启发“图中的三角形一定是直角三角形吗”“如果不能确定是怎样的三角形，应该如何思考”,从而使得问题聚焦到“哪类三角形的两边的平方和等于长边的平方”，形成核心问题.接着，利用分类讨论的方法，按照直角三角形、锐角三角形和钝角三角形分别进行探索，在遵循从特殊到一般的归纳思维的指导下，通过画图验证、一般化证明的过程形成结论.通过情境形成认知冲突，引发思考，将诸多问题聚焦到核心问题，进而引领后续的系列探索，这就是核心问题的重要作用之体现.

3 问题链引领

数学知识是个体思考的产物，数学课堂是学生思考的舞台,基于情境的谋势,引发认知冲突,形成的数学问题能引发学生的思考，而如何让思考走向深入，数学思维得以发展,需要基于核心问题的问题链引领与驱动.所谓问题链,是指根据教学目标、数学知识体系、学生的认知结构和认知心理，在情境的认知冲突中所形成的核心问题，通过递进、变式、类比、引申、逆变等方式，形成具有逻辑关联和开放度、生长性的问题串.从形式上看，问题链是问问相连、环环相扣的问题串；从本质上看，问题链是以学生的学习最近发展区为定位，以数学思维为指导，指向数学知识的内部关联，体现一定的数学思想方法的序列问题.由于对问题链关注视角的差异,研究者对问题链有不同的分类方法：黄光荣教授从数学知识结构的分析出发把问题链分为推广(伸缩)链、引申链、综合链和深化链这4种基本类型[2]；唐恒钧教授从数学知识的内部关联出发把问题链分为推广链、特殊链、类比链和逆向链，从教学功能的区分出发分为知识建构型问题链、知识网络型问题链、专题探究型问题链等[3].本文基于上述理论的指导，以问题链所蕴涵的数学思维为依据，把问题链分为归纳链、类比链、演绎链和逆向链，并结合教学实例加以分析.

3.1 问题归纳链

问题归纳链是在数学一般化思维的指导下，遵循从特殊到一般的基本原则，通过若干特殊问题，归纳其中蕴涵的客观规律和数量关系的系列问题串.在问题归纳链中，注重对问题的观察、猜想和验证，透过偶然寻必然，利用特例找一般，通过抽取问题的共同属性形成数学规律，体现了数学创新思维.历史上，许多著名的数学发现都是在对具体问题的观察、猜想、思考中归纳得出的，如哥德巴赫猜想、费尔马大定理等.在初中阶段，由于受到学生认知结构和认知心理的限制，教学中往往运用的是不完全归纳方法，要借助适当的例子让学生了解这种方式归纳的结论具有或然性，避免“以偏概全”的错误.

案例3位置的确定.

情境引入我国的航母编队航行在茫茫大海上，如何向基地报告航母的准确位置？

问题1公交车行驶在公交线路上，如何向车站报告自己的位置？如果一个点在直线上运动，如何准确表示它的位置？

问题2如何在教室里准确表示每一个座位的位置？如何在平面内准确表示一个点的位置？

问题3如何在三维的空间内表示点的位置？通过以上问题的思考，你有什么发现？

案例分析本案例源于苏科版教科书《数学》八年级上册第5.1节“位置的确定”，这是基于学生已经学习了数轴上点与实数的对应关系基础上，对平面上位置确定问题的探究.本课是函数学习的起始课，通过生活中物体位置确定到数学上点的位置确定，从一维位置确定问题(1个有序实数表示)，拓展到二维平面位置确定问题(2个不同有序实数表示)，并指向三维空间位置探索(3个不同的有序实数表示)的发展，经历抽象、归纳与模型化的数学思考过程，在学习知识的同时发展了学生的创新思维能力.

3.2 问题类比链

问题类比链是在数学类比思维的指导下，从此类到彼类，在处理新问题时，类比以前处理类似问题的视角和方法而提出解决思路的问题串.拉普拉斯认为发现数学真理的工具主要是归纳和类比，归纳思维和类比思维体现为一种智慧和能力，二者可有效培养学生预测、发现和创新的能力.在教学中，教师要注重变换情境，利用类比和归纳的思维训练促进学生知识能力的高路迁移，从而实现创新能力的培养.

案例4反比例函数的图形与性质.

问题1回顾学习过的一次函数y=2x，你能想到什么？

问题2从数的角度思考，一次函数y=2x中的x和y有怎样的关系？从形的角度思考，函数的图象是怎样的，有哪些特点？根据“数”和“形”所得到的结论之间有没有关联？

图3

3.3 问题演绎链

问题演绎链是指在数学演绎思维的指导下，遵循从一般到特殊的基本原则，通过条件强化，聚焦特殊化问题而形成的系列问题串.在问题演绎链中，常常从已确定的对象集合出发关注该集合中较小的子集，在一般性质的基础上思考特殊的存在.通过问题的特殊化思考与一般化抽象，寻找数学知识的确定性和差异性，感受数学思维的严谨和辩证的统一.

案例5平行四边形对角线性质的再探索.

情境设计请说出平行四边形对角线的性质，并思考当平行四边形图形变化时(始终保持是平行四边形)，对角线的性质是否发生变化？

问题1当平行四边形变化时，它的两条对角线是否存在相等的情况？这时的平行四边形应满足什么条件？

问题2当平行四边形变化时，它的两条对角线是否存在垂直的情况？这时平行四边形应满足什么条件？

问题3如果一个平行四边形的两条对角线垂直且相等，那么它应满足什么条件？

问题4在上述的图形变化中，平行四边形的边和角有怎样的变化？

案例分析本案例是在学生已经学习了平行四边形的相关性质的基础上，对教材内容进行重组而开展的探究性活动.基于平行四边形的“对角线互相平分”的性质，从平行四边形的运动变化的视角出发，探究平行四边形的两条对角线可能存在的特殊关系：一是当对角线相等时，平行四边形应满足的条件；二是当对角线垂直时，平行四边形应满足的条件；三是当对角线垂直且相等时，平行四边形应满足的条件.借助图形的运动变化，感知“变中有不变”和“变中有新知”，并以此为突破口，思考平行四边形的边、角的变与不变，从而在基于自我理解的基础上建构平行四边形和矩形、菱形、正方形的知识体系(如图4).

图4

3.4 问题逆向链

问题逆向链是在数学逆向思维的引领下，在原问题的基础上通过变换视角、反向思考而形成的系列问题串.问题逆向链注重打破常规、突破思维定势的束缚，执果索因，反其道而思之，从不同的角度或问题的对立面提出新问题,进而引领探究活动.如根据几何图形的性质思考它的判定方法，或者是把问题的条件和结论互换得到新问题等，通过问题的逆向思考可有效发展学生的求异思维和发散思维，培养思维的创新性和严谨性.

案例6中点四边形探索.

情境设计回顾三角形的3条中位线形成的三角形的性质，类比探究中点四边形(顺次连接四边形的中点形成的四边形)的性质.

问题1任意四边形所形成的中点四边形是怎样的四边形？

问题2平行四边形所形成的中点四边形是怎样的四边形？

问题3矩形、菱形和正方形所形成的中点四边形分别是怎样的四边形？

问题4如果中点四边形是平行四边形，那么原四边形是怎样的四边形？

问题5如果中点四边形是矩形，那么原四边形应满足怎样的条件？

问题6如果中点四边形是菱形，那么原四边形应满足怎样的条件？

问题7如果中点四边形是正方形，那么原四边形应满足怎样的条件？

问题8凹四边形所形成的中点四边形的特性与上述结论是否一致？

案例分析在实际教学中，往往是由不同类型的问题链交织使用，共同促进学生的思维发展.本案例是在学生学习了三角形中位线知识之后所开展的探究性学习：首先，通过回顾三角形的3条中位线形成三角形的特性，类比探究中点四边形的相关结论；其次，从一般四边形到平行四边形、矩形、菱形和正方形的逐步的特殊化探究过程，思考中点四边形的性质变化；再次，从问题的反面提出问题，“当中点四边形是平行四边形、矩形、菱形或正方形时，原四边形应满足的对角线要求”；最后，从凸四边形拓展到凹四边形的类比探究，形成了不同思维引领下的完整的问题链教学(如图5)，在问题探究中促进了学生数学思维能力的综合发展.

图5

4 问题探索“引与思”

在问题链的教学实践中，既要注重教师对问题设计的“引领”作用，也要重视学生问题“生成”的自然性.教师要认真研读教材，把握学情，从学生的认知心理和思维习惯出发进行教学情境和问题的设计，使问题预设的科学性和问题生成的自然性浑然天成.同时注重对问题及时的追问和反问，引发学生的进一步思考，形成新的问题，使得学生的思维从模糊走向清晰、从无序走向有序、从感性走向理性，最终实现问题的聚焦和引领[1].

教师在情境问题的教学中是情境的设计者、问题的引领者、探索的参与者，通过问题的预设和引领，在师生的共同探索中让学生的思维发光.学生是问题的发现者、实践的探索者、知识的建构者，在主动的思考中完成知识的建构、实现数学思维的发展.

基于 “情境—问题—思维”视角的数学教学注重通过真实情境所引发认知冲突的“谋势”，实现问题的生成与聚焦，在问题链的引领与探索中，学生通过主动思考和建构，获得知识，发展能力，领悟数学思想方法，在审视与反思中形成理性的思维自觉(如图6)，在知识方法的关联建构中实现由具体的数学方法、策略的学习转向一般性思维策略的发展，经历“数学地思维”达成“通过数学学会思维”的目的，实现核心素养的培养和理性思维的发展.

图6