利用概念图重构数学单元概念系统——以“特殊平行四边形”的复习为例

黄哲倩， 王罗那, 黄 韬

(1.湖州师范学院，浙江 湖州 313000；2.吴兴实验中学，浙江 湖州 313000)

2022年4月，教育部颁发《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称《新课标》)明确指出，要重视单元的整体教学设计，体现数学知识之间的内在逻辑关系.在义务教育阶段，数学单元概念的数量多且结构性强，蕴涵着丰富的数学思想方法及思维品质，数学单元概念的有效复习是实现《新课标》落地、发展数学素养的重要途径.脑科学相关研究表明，概念图符合人脑的认知结构，能够有效地降低学生的认知负荷，促进高阶思维的发展[1].因此，本文以概念图作为数学学习工具，梳理概念，厘清结构，提升思维，构建知识连贯的单元概念复习课堂，并以“特殊平行四边形”为例，阐释并呈现“数学单元概念立体化复习课堂”的教学设计.

1 缘起

1.1 概念内容不清，认知机械化

诺贝尔物理学奖得主费曼曾说过：“如果没有办法用简单的语言描述所学过的知识，那你就没有真正学会它.”部分学生在学习数学概念的时候，采用的是机械记忆或背诵概念的方式，用“记忆”代替“学习”.因此，当学生面对单元概念内容多且繁杂之时，常常会出现概念不清、概念混淆或“只见树木不见林”等现象.例如，学生在学习浙教版《数学》八年级下册“特殊平行四边形”的单元概念时，其中包含矩形、菱形、正方形的定义、性质及判定等诸多相似的概念.在面对矩形、菱形等单一明确的证明题时，大部分学生能够熟练解决，但是一旦出现综合证明题时，有些学生就不知如何运用定理以及运用何种定理进行判定.这种现象体现了部分学生在学习概念时只是记住了知识的描述，并未真正“学会”，即认知机械化.

1.2 概念结构混乱，认知单一化

数学是一门逻辑性很强的学科，数学单元概念结构具有严密的逻辑性.从纵向层面可以分为层级结构，由上位概念衍生出下位概念；从横向层面可以分为概念间相互联系的关系结构.在传统数学单元概念复习课中，当教师回顾概念时，往往会列举孤立的概念点，缺乏展现概念的生成以及联系的发展过程，没有帮助学生串联相关知识主线，导致学生对各概念之间的层级结构和联系了解不清晰，以及对概念的逻辑结构缺乏深度认识.如在“特殊平行四边形”中，由于学生对正方形既是矩形又是菱形的横向联系缺乏深刻认识，进而难以说明正方形的性质及其判定是由此推理而来，以至于不能灵活运用矩形或菱形的相关概念进行正方形的判定.这种现象体现的是学生在头脑内部没有很好地形成逻辑清晰、连贯的单元概念主线，这就是认知单一化现象.

1.3 概念联结不强，认知浅层化

查尔斯指出，大观念是学习数学的核心，且能把各种数学理解联结为一个连贯的整体[2].威金斯进一步指出，大观念是超越了个别的知识和技能，以聚焦在更大的概念[3].据此，大观念在单元概念中通常表现为具有概括性的核心概念，引领知识主线.在数学单元概念复习时，教师在黑板上依次罗列知识点，并逐一进行回顾，但是缺乏从核心概念的高度将各知识主线联结成知识面从而构建知识体系的过程，导致学生虽然习得了概念知识，但数学思想方法领悟不够、数学素养发展不足.例如，在“特殊平行四边形”中，当复习矩形和菱形的定义、性质及其判定时，很多学生单从矩形和菱形的角度进行回顾，很少联结平行四边形的相关知识进行理解，渗透“从特殊到一般”“从一般到特殊”的思想，并在此核心概念的基础上分析出矩形、菱形的定义、性质及判定定理，形成系统连贯的概念体系，在解决实际问题和综合应用题时，体会转化思想和建模思想.这种现象体现的是学生缺乏知识联结、深度思考的能力，即认知浅层化现象.

上述的问题现象，严重阻碍了学生核心素养的养成和高阶思维的发展，应引起广大教师的重视.学生对数学单元概念缺乏统整性理解，认为数学是错综复杂的学科，进而产生负面情绪和畏难心理，丧失数学学习兴趣.

2 寻径：数学单元概念立体化复习课堂

2.1 数学可视化单元概念图的来源

概念图是由美国康奈尔大学的诺瓦克教授在20世纪80年代基于有意义学习理论提出的教学工具，并发明了配套的CampTool概念图可视化教学软件.如图1所示，概念图包括节点、连线、逻辑连接词这3个核心部分.节点是表示某一命题的概念，节点之间的连线及其连接词表示概念之间的内在逻辑关系，连线的方向表示概念间逻辑关系的指向[4].

图1 诺瓦克和高文绘制的普通层

与思维导图发散型的思维方式不同，概念图是逻辑型的思维方式.重在展现上、下位概念及同位概念间的逻辑结构，辅以逻辑连接词进行联结，可视化的呈现思维痕迹体现知识的逻辑体系，让教学整体脉络可见，更加符合学生的认知发展水平.1999年，吉丝、韩德等人在此基础上提出科学启发写作式教学(Science Writing Heuristic，简称SWH)模式.随着研究的推进，目前SWH是国际上呈现出以大观念为中心发展趋势下的典型单元教学设计，其教学思路为“准备单元的概念图→借助概念图确定大观念及其子观念→规划与大观念及其子观念相一致的活动”[5].本文以概念图作为教学工具，在此基础上加入明晰的子观念联系，形成概念间的横向结构，并进行拆分以便教学的实施.具体的教学思路为“共建单元初步图→确定子观念内容→建立子观念联系→大、子观念一致”.以概念图理清概念的发展脉络，呈现概念间的层级关系，建立概念的纵向联系；并对概念的具体内容展开叙述，明晰概念内涵，探究概念的横向联系，进而完善概念结构，构建立体化的概念体系，促使学生从浅表层的平面化学习思维向深层次的立体化学习思维转变.

2.2 数学单元概念立体化复习课堂的构成

为了明晰数学单元概念的层级结构，进一步展现概念图的生长力和深刻性，本研究提炼了单元概念立体化复习课堂教学设计的4个维度分析过程和5个教学步骤.4个维度分析的过程是将学生学习过程可见的重要部分(如图2).

图2 立体化课堂维度分析图

在课堂之初，学生对单元概念的认识较多是知识的简单记忆和机械复制，主要停留在浅表化的学习层面，在头脑内部呈现的是孤立知识点的形态.当通过对分散的概念进行梳理和层次划分，帮助学生明晰知识主线后，学生开始建立概念关联，将头脑中零散的知识点初步联结成网状的知识面，实现概念结构清晰化.通过教师指导，学生在已有的认知基础上，深入探寻概念间的内在联系以及蕴涵的数理逻辑关系，达成深层次的理解性学习.最后通过反思、总结已有的概念体系以及思维方式，逐步形成个性化的知识系统以及专家型思维方式；并在未来学习相关内容时，能够灵活调用知识体系，自主地对知识进行有理有据的猜想、预测，提升思维的深度和广度.

数学单元概念立体化复习课堂的具体教学分为5个步骤(如图3)：1)师生对单元的核心概念和一般概念进行回顾，列举知识点，并确定其为大、子观念，进而师生共建单元的初步概念图，表征概念的纵向联系；2)学生自主建构子观念概念图，梳理概念内容，思考概念内涵，通过逻辑连接词建立概念关联；3)教师在此基础上，指导学生进一步确定知识等级，深化概念认识，探究子观念的横向联系，绘制单元概念结构图；4)学生以小组合作的方式，建构单元整体概念图，并从中提炼数学思想，总结数学方法，表征数理逻辑关系，将零散的知识点联结成网状的知识面，形成概念体系；5)通过教师评图，展示教师构图等教学活动，转变学生的思维方式，加深对单元概念的系统性理解，形成大、子观念的一致性，建立个性化的概念体系，为今后的自主学习和探究式学习打下坚实的基础，促进深度学习.

图3 教学流程方案图

3 重构：数学单元概念立体化复习课堂

3.1 概念内容清晰化

在数学单元概念立体化复习教学中，学生通过绘制子观念概念图以及单元概念结构图，对概念内容进行梳理，并运用逻辑连接词建立关联，激发学生独立思考.教师在学生已有的认知基础上进行指导，深化概念认识，清晰概念差异.如浙教版《数学》八年级上册“特殊三角形”的单元概念复习教学中，学生通过概念图理清特殊三角形性质与判定定理所涵盖的具体内容，但无法在概念图中表示出二者间存在着何种联系时，教师指出性质是解决“怎么样”的问题，而判定是解决“是什么”的问题.从而促进学生厘清概念内涵，把握数学本质，深刻理解概念.

3.2 概念结构逻辑化

在数学单元概念立体化复习教学中，教师引导学生观察单元概念结构图中相似的逻辑结构，明晰结构的深层含义，提升数学逻辑思维，促进自主学习.如学生观察“特殊平行四边形”的单元概念结构图时，可见矩形、菱形、正方形都由定义、性质、判定这3个核心部分组成，教师进一步指明平行四边形也具有相同特征.由此，师生共同提炼出从定义、性质等方面分析几何图形的数学思想方法，并将此推广至其他几何图形，开拓思维方式.进而，学生在未来学习圆、相似三角形等几何图形时，尝试完成自主性的探究学习，从而提高逻辑思维能力.

3.3 概念联结深刻化

在数学单元概念立体化复习课堂中，师生共同回顾知识点，并对概念进行上、下位的层级划分，以逻辑连接词建立联结，通过构图表征概念的发展脉络，形成片状的知识面，实现知识的灵活运用.如在复习“特殊平行四边形”时，概念图的可视化呈现了特殊平行四边形是平行四边形的特殊形式，并细分为矩形、菱形、正方形这3个核心部分的发展过程，从而促进学生清晰概念的发展主线，深化概念联结.在解决矩形、菱形等实际问题时,会联想平行四边形的相关知识进行思考，发展大观念下思考问题的专家型思维方式，实现知识的迁移与运用.

数学单元概念立体化复习课堂，实现了学生学习自主化、教师指导有效化、概念结构清晰化、思维逻辑进阶化，以图明结构，表征概念联系，促进思维进阶，指向核心素养的培育，是实现数学单元概念复习的有效教学方式之一.

4 方案：特殊平行四边形的教学再设计

4.1 回顾旧知,共建单元概念图

教师通过回顾本单元的学习主题，进而与上一单元的“平行四边形”产生关联,确定平行四边形、特殊平行四边形为大观念，以及二者之间是一般到特殊的联系，呈现概念的发展过程.教师以开展头脑风暴的形式，引导学生回想本单元学习了哪些具体内容，进而明晰矩形、菱形、正方形为子观念，确立单元概念的层级结构，由师生共同建构“特殊平行四边形”的初步概念图，具体过程如下：

师：本单元我们学习了特殊平行四边形，那么上一单元学习的图形是什么，它们之间存在着哪些联系？

生1：平行四边形，是包含关系.

生2：是一般到特殊的关系.

师：这是数学基本思想，你能回忆一下本单元学习了哪些特殊的平行四边形吗？

生3：矩形、菱形、正方形.

师：在单元概念中，我们通常将概括性更高、更一般的概念称为大观念，而将概括性较低、较为具体的概念称为子观念.因此，我们在本单元中将平行四边形、特殊平行四边形称为大观念，而将矩形、菱形、正方形称作子观念.

4.2 自主梳理,构建子观念图

在“特殊平行四边形”初步概念图的整体框架下，学生自主梳理矩形、菱形等概念知识，完成概念图的建构.以矩形为例，从学生构图(如图4)和教师构图(如图5)不难看出，学生和教师的矩形图都包含上、下位概念的层级结构，并对具体内容展开叙述.但学生在矩形的定义、性质、判定与其下属内容的层级结构中缺乏逻辑连接词，对下属内容也只是表层描述，缺乏深度认识.而教师采用逻辑连接词进行联结，并从“平行四边形”“对角线”等大范围的角度进行描述，简练概念内容，呈现概念要点，所展示的矩形图更加简洁明了.其内在体现的是教师具备在大观念的观点下，将新旧知识相联系并理解概念的思维方式；而学生是单从新概念出发，孤立、片面地理解概念、认识事物的思维方式.

图4 学生构图

图5 教师构图

4.3 教师指导,深化概念理解

教师在教学过程中不仅仅是教授知识，更重要的是教授背后的思考过程以及思维方式.以矩形为例，教师在学生自主构图的基础上进行指导,进而明晰从“平行四边形”大观念的角度下定义矩形，其定义方式是属加种差定义法,以此培养学生从大观念下思考问题的专家型思维方式,并引导学生从对角线和角这两个方面分析矩形的性质，在思考过程中习得分析几何图形性质的数学方法.同时，教师带领学生进行猜想，在判定图形时是否也可以先从大观念的角度下判定，培养学生逆向思维能力;进而在判定矩形时教师引导学生先从大范围判断图形是否为“平行四边形”或“四边形”，再根据具体细节从小范围判定是否为“矩形”，激活学生猜想的乐趣，培养学生逻辑推理的思维能力.

教师在学生自主完成子观念图的基础上，引导学生探究子观念间是否存在联系以及存在何种联系，从而建立概念的横向结构，最终通过概念图表征单元整体的概念结构.学生在教师的引导下，明确正方形、矩形、菱形三者间的包含关系,从而明晰正方形的性质与判定是由此推理而来，并由学生自主构建单元结构图(如图6).

图6 单元结构图

4.4 小组合作

教师组织学生以小组合作的方式，开展二次头脑风暴.通过组内交流、生生互动探讨等活动，厘清单元概念整体的发展脉络体系，完成“特殊平行四边形”单元概念图的整体建构，形成概念体系，提升思维的统整性.

4.5 教师评价

教师依据概念图中的节点、连线以及逻辑连接词等内容，了解学生的思维过程，评价学生的构图，帮助学生巩固新旧知识的联系，总结数学思想方法，并鼓励学生在今后的数学学习中加以运用，以便进行合理的猜想、预测.通过展示教师构图，引发学生的认知冲突，激活学生的深度思考，转变思维方式，进一步培育学生在大观念下思考并认识事物的思维方式，达成大、子观念的一致性，构建立体化的概念体系，促进高阶思维的发展，鼓励学生尝试运用概念图梳理单元概念内容，厘清概念联系，养成独立思考的学习习惯.

5 结语

数学单元概念复习课堂不应是教师对零散知识点进行简单的回顾，并将其整合成概念体系，学生在课堂上只是被动接受并记忆的过程，而应是师生共同参与、学生自主构建个性化概念体系的过程.在数学单元概念立体化复习教学中，将师生共同参与、自主学习、小组合作等多种教学方式贯穿于构图的教学活动中，让学生在动手构图、合作探讨、欣赏构图的过程中激活数学学习的乐趣，感受思维碰撞的魅力，推动深度学习，实现从专家型结论的知识学习蜕变成专家型思维方式的进阶学习.在教学过程中，学生对未来的数学学习展开猜想，开拓发散性思维，真实体验到思维逻辑进阶的效果.因此，该教学模式理应成为数学单元概念复习的有效教学方式之一.