为发展立体几何学科的一般观念而教——以“空间点、直线、平面间的位置关系”教学为例

王 野

(台州中学,浙江 台州 317000)

“数学教学应超越知识和技能教学，走向能力和素养的教学”已成为越来越多教师的共识，但是如何将这个共识落实到课堂却缺乏清晰明确的技术路径和行之有效的操作手段，这极大地制约了学生关键能力的形成与核心素养的发展．以立体几何教学为例，学生学习后既不了解解决立体几何问题的一般步骤，也没掌握解决立体几何问题的一般方法，而只留下“遇到立体几何问题要建系”的呆板印象．那么，如何才能促使学生更有效地学习，才能将数学知识和方法最大限度地转化和积淀为关键能力和核心素养呢？下面就以“空间点、直线、平面间的位置关系”教学为例，探讨如何在课堂教学中发展学生学科的一般观念．

1 何为立体几何学科一般观念

李昌官在文献[1]中指出：“学科一般观念是指对本学科学习和研究具有广泛、持久、深刻影响的基本数学思想方法和基本思维策略方法．”它是学好本学科的前提与基础，也是提升核心素养的重要手段．

立体几何是发展学生数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养的载体．那么，什么是立体几何学科的一般观念？立体几何的研究对象是空间图形的形状、大小和位置关系，解决这些问题的关键是要明晰研究的基本路径，掌握并运用一些基本方法和常用策略．这里的基本路径、基本方法和常用策略均可视为立体几何学科一般观念．因此，立体几何学科一般观念是立体几何知识的升华，是凝练解决立体几何问题的一般策略与方法所得的结晶，也是核心素养在立体几何学科的具体体现．

研究立体几何问题的基本路径是直观感知—操作确认—推理论证—度量计算．它是人们从一开始接触陌生的几何对象到逐步深入了解其几何特征所经历的一般性研究过程，是从定性分析到定量分析这一数学研究基本过程在立体几何学科研究中的具体体现．它是学习立体几何的普世大道，其重要性优于具体的立体几何知识和方法．

研究立体几何问题的基本方法是直观想象、逻辑推理和借助空间基本图形——长方体进行研究．直观想象包括几何直观和空间想象，是利用已有知识经验和几何实体构建几何模型，并据此想象模型中各几何元素间的位置关系、运动规律等，是人们对空间图形的认识从直观感知过渡到推理论证的桥梁，是塑造丰富想象力和形成良好空间感的有效手段．逻辑推理是从基本事实、定义、定理或已知条件出发，借助严谨的推理论证猜想的过程，是辨析想象或猜想正误的有效方法，是构建严谨、理性的数学学科品性的主要抓手．二者都是解决立体几何问题所必需的关键能力，在培养学生完善的数学思维品格、发展数学核心素养方面具有不可替代的作用．长方体是欧氏空间中最简单也是最基本的几何模型，它不仅结构简单，还包含了空间基本的几何要素及其关系．利用长方体研究立体几何问题能避开琐碎的枝节问题的干扰，更容易从中发现、归纳、抽象出关键问题，并从整体上把握问题的本质．

研究立体几何问题的常用策略是将空间问题转化为平面问题．空间问题平面化是化归思想在立体几何学习中的具体体现．它将学习者的思维从三维空间拉入二维空间，借助平面几何的学习经验和知识方法处理空间问题，能有效降低研究的起点和思维难度，起到化繁为简、化难为易、化未知为已知的作用．

2 如何发展立体几何学科一般观念

为了有效地发展学生立体几何学科一般观念，可以采取以下教学策略．

2.1 以实炼虚，化虚为实

这里的“实”是指立体几何中的几何模型、基本事实、定义、定理等具体的数学知识，处理具体问题所运用的特殊技能等容易触摸的东西；“虚”是指蕴涵在这些数学知识和数学活动中的研究立体几何问题的基本路径和基本方法．由于立体几何学科一般观念相对于具体的数学知识和解题方法、技能等抽象程度更高，其内在的逻辑性和整体性难以显现．这就导致学生在研究立体几何过程中或多或少都会受其影响，但这种影响在大部分情况下是不自觉的和盲目的．因此，应将隐性的学科一般观念从显性的数学知识和活动中提炼出来，使立体几何的研究过程一般化、算法化，使之可视化和可操作化．只有这样，才能使抽象、难以把握的基本路径、基本方法、常用策略“实体化”、可操作化，从而便于学生理解和掌握，并最终内化为解决立体几何问题的一般性的思维模式和行为习惯．

2.2 自觉应用，重在实践

站在岸上是无法学会游泳的，同样，作为一种综合性高、整体性和结构性强的观念性知识，立体几何学科一般观念也无法仅靠教师的讲授习得，它的形成必须建立在学习者亲身实践的基础上．只有在自觉地应用立体几何学科一般观念指导立体几何问题解决的实践过程中才能将其加以强化和发展；只有亲身经历解决问题的基本路径，才能深刻地体会到数学知识的整体性、结构性和联系性；只有亲自运用基本方法和常用策略解决问题，才能直观地感受到数学思想方法的普适性和迁移性．

2.3 强化反思，重在感悟

除了亲身实践，立体几何学科一般观念的形成离不开问题解决后的感悟与反思．由于学科一般观念的统摄性，只有回顾整个解决过程才能真切地感悟学科一般观念的指导性和引领性；只有比较多个完整的问题解决过程，才能深深地体悟学科一般观念的统一性和一致性．立体几何学科一般观念的形成是一个长期的、反复的过程，只有不断地感悟和反思，才能深化和发展它，才能将基本路径转化为解决立体几何问题时自觉执行的一般步骤，才能将基本方法和常用策略内化为解决立体几何问题的思维习惯．

3 为发展立体几何学科一般观念而教的教学案例

3.1 学习内容分析

“空间点、直线、平面间的位置关系”按要素种类可分五大类，每一类又可按交点个数继续细分．第一类：点与直线的位置关系属于已学习的平面几何内容．第二类：点与平面的位置关系包括点在平面内和点在平面外．前者的本质属性由平面的基本事实1刻画；后者的本质属性由点到平面的距离刻画，是建立在直线与平面垂直和两点间的距离等概念基础上的定量关系，故将其学习后置．第三类：直线与直线的位置关系包括平行、相交、异面．平行与相交为学生已经学习的内容，异面是指两条直线不同在任何一个平面内，其本质是两条直线不可能在同一个平面内．第四类：直线与平面的位置关系包括直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行．直线在平面内是指直线上的所有点都在平面内，其本质属性由平面的基本事实2刻画；直线与平面相交指直线与平面有且只有1个交点；直线与平面平行指直线与平面没有交点．第五类：平面与平面位置关系包括平面与平面相交和平面与平面平行．平面与平面相交指两平面有公共点，其本质属性由平面的基本事实3刻画；平面与平面平行指两平面没有交点．

本节内容从整体入手，研究空间点、线、面间的位置关系，解决每类问题都是先直观想象其位置关系，再直观感知、操作确认，即借助长方体发现这些位置关系，并在教室中进行指认，然后归纳、概括出概念和定义，并用图形和符号进行表征，最后是推理论证，即从平面的3个基本事实出发进行逻辑推理，论证定义的科学性和完备性．因此，本节课应在立体几何学科一般观念的指导下解决问题，强化在立体几何学科一般观念的引领下自然、有效地探究与发现，同时又在解决问题的实际过程中感悟和提炼立体几何学科的一般观念．

3.2 学生认知分析

学生通过平面几何与“平面”的学习，大致了解了研究几何问题的一般过程和基本方法，也具有一定解决几何问题的基本能力，但他们的学习也有许多不足：一是不了解完整的研究立体几何问题的基本路径，凭借经验或直觉在研究过程中构建基本路径的一步或几步；二是对基本方法“利用基本图形研究几何问题”的运用缺乏自觉性和主动性，通常是在教师提醒或在遇到困难时才想到，也有不少学生在整个研究过程中都没想到用长方形帮助思考立体几何问题；三是基本能力有所欠缺，如缺乏逻辑推理的意识和能力，将由几何直观得到但没经过推理论证的猜想当做严格的数学结论，对逻辑推理的一般步骤缺乏清晰的了解，推理过程不严谨，空间想象能力差，既无法将立体图形在平面上画出来，也难以有效地在头脑中想象立体图形的三维特征及其在空间中的变化形态．

3.3 “空间点、直线、平面间的位置关系”教学目标

根据学习内容分析，基于学生学习基础，并结合发展立体几何学科一般观念的目的，制定如下教学目标：

1)理解空间点、直线、平面间的位置关系的分类，并能用图形语言和符号语言表示；

2)能在解决问题的过程中，感受立体几何学科一般观念在解决立体几何问题中的全局性作用，明确解决立体几何问题的基本路径，强化基本方法的运用；

3)能反思前面学习立体几何存在的问题，并在发展一般观念的过程中改进和优化自己的学习方法和学习习惯．

3.4 “空间点、直线、平面间的位置关系”教学过程

3.4.1 呈现背景，提出问题

背景1基于直观想象和实例、模型的直观感知、操作确认，使我们对空间几何图形有了整体和初步的认识．

背景2基于数学概念、平面基本事实的逻辑推理，让我们深入地研究了平面并获得了它的相关性质．

总问题空间点、直线、平面间具有怎样的位置关系？

设计说明背景1和背景2呈现了立体几何从整体到局部、从简单到复杂的学习过程，使学生感受到学习立体几何要经历直观感知、操作确认、推理论证等过程，并且这些过程离不开直观想象和逻辑推理．在两个背景下，自然合理地提出本节课的主题：研究空间点、线、面之间的位置关系．

3.4.2 联想激活，寻求方法

联想为了解决这个新问题，我们能从以前的学习中获得哪些启发？

师生活动教师帮助学生明确研究解析几何的一般步骤——直观感知、操作确认、推理论证、度量计算，明确研究立体几何的基本方法——直观想象、逻辑推理，并借助基本图形(长方体)进行研究．

设计说明为学生提供基本的研究框架和一般的策略方法，明确研究的方向，增强学生探究的主动性与自觉性．

3.4.3 归纳抽象，建立概念

子问题1在空间中，点与直线、点与平面有哪些位置关系？

师生活动教师指导学生先想象空间点与直线、点与平面的位置关系，然后借助长方体进行验证，最后用符号表示所得结论．

设计说明空间想象能力薄弱的原因之一是缺乏想象的机会，而点与直线、点与平面的位置关系比较简单，是大部分学生能够想象的，因此，应让学生充分想象、大胆想象．

子问题2在空间中，直线与直线的位置关系有几种？

师生活动鉴于此问题相对复杂，故教师指导学生逐一解决如下小问题1)～4).

1)如图1，在长方体中，棱所在的直线的位置关系有几种？

图1

设计说明受平面几何思维束缚和空间想象能力薄弱的影响，学生难以想象空间中两条直线既不平行又不相交这种位置关系，因此先直观感知长方体模型，并发现两条直线除了平行和相交外还有另一种位置关系，从而强化长方体在研究中的应用．

2)能否举出一些实例说明？能否通过实际操作加以确认？能否在头脑中想象既不平行又不相交的两条直线的位置关系？

设计说明将教室里的日光灯管、墙面与地面的交线、相邻墙面的交线想象成直线，发现它们之间也存在这样的位置关系，使学生感受到直观感知是发现几何对象及其关系的首要方式．将笔或手指等想象成直线，通过移动或转动笔、手指，亲自动手构造出既不平行又不相交的两条直线的位置关系，让学生体会操作确认是判断直观感知获得的几何对象存在与否的重要方式．

3)既不平行又不相交的两条直线是否可能在同一个平面内？如何定义这种位置关系？

设计说明抽象概括异面直线的定义是本节课的难点，突破难点的关键是通过逻辑推理将“两条直线既不平行又不相交”转化为“两条直线不可能在同一个平面内”，再转化为“不同在任何一个平面内的两条直线”，使学生认识到思辨论证是判断概念正确与否的最终手段．

4)在空间中，直线与直线的3种位置关系可以如何分类？分类标准是什么？

设计说明在操作确认基础上再进行空间想象，进一步培养学生的空间想象能力．以“共面”和“异面”为标准，可将空间直线分为两类：

②异面直线.

以“有无公共点”为标准，也可将空间直线分为两类：

②有且只有一个公共点——相交直线．

经过上面两种简单的分类讨论，使学生发现分类是基于一定标准的逻辑推理，按照不同的分类标准，可以得到不同的结果．

思考与探究如何用图形表示异面直线？

师生活动学生从长方体模型和教室中的具体实例中抽象出表示异面直线有如图2和图3所示的两种基本模型，然后教师针对学生画图中出现的问题进行讲解和矫正．

图2 图3

设计说明用立体几何学科一般观念引领、指导立体几何问题的解决，并尽可能让学生能够清晰地感受到．

子问题3在空间中，直线与平面有哪些位置关系？

师生活动教师指导学生先想象直线与平面的位置关系，然后观察长方体模型，以及教室中日光灯与墙面和地面的位置关系.在观察和直观感知的基础上，学生进行实际操作：拿一支笔和一张纸，把它们分别看作一条直线和一个平面，操作确认直线与平面的位置关系有且只有3种.操作确认后，教师再引导学生基于直线与平面交点的个数，思考直线与平面的位置关系为什么有且只有这3种.

思考与探究如何用图形和符号表示直线和平面的位置关系？

师生活动教师指导学生类比用图形和符号表示点与平面的位置关系、直线与直线的位置关系，给出直线与平面位置关系的图形表示与符号表示，然后针对学生暴露出来的问题进行指导和矫正.

设计说明引导学生按研究立体几何问题的基本路径与基本方法，尽可能自主地得到结果.

子问题4在空间中，平面与平面有哪些位置关系？

师生活动学生类比子问题2和子问题3，自主研究子问题4.鉴于论证平面与平面的位置关系只有重合和相交两种是个难点，故组织学生讨论，明确以交点个数为标准对平面与平面的位置关系进行分类．当两个平面没有交点时，两个平面平行；当两个平面有一个交点时，由基本事实3可知，这两个平面相交，必有无数个交点．

设计说明引导学生按研究立体几何问题的基本路径与基本方法进行探究，深化学生对立体几何一般观念的认识．

3.4.4 巩固应用，内化迁移

例1如图4和图5，用符号表示下列图形中直线、平面间的位置关系．

图4 图5

师生活动学生先独立完成，然后与同桌讨论，最后全班讨论、交流.

图6

例2如图6，AB∩α=B，A∉α，a⊂α，B∉a，直线AB与a具有怎样的位置关系？为什么？

师生活动教师指导学生基于观察得到结论，基于逻辑证明结论.考虑结论是否定的形式(即两条直线不可能在同一平面内)，引导学生用反证法.

3.4.5 回顾反思，提炼深化

师生活动学生回顾本节课所学的知识，以及研究遵循的基本路径和使用的基本方法．教师在学生回忆的基础上进行总结，深化学生对立体几何研究的基本路径、基本方法的认识．

4 结束语

发展立体几何学科一般观念不仅能帮助学生更好地学习，获得更高的分数，也能培养学生敏锐的空间直觉，发展他们的数学核心素养．如何有效地发展学生的学科一般观念，以上只是粗浅的探索与尝试，还有很多问题需要我们继续深入思考并不断探索．