重视基础·聚焦能力·指向素养

谷晓凯　张海营

摘  要：在对2022年全国各地区100余份中考数学试卷进行综合分析的基础上，将“数与式”部分的试题特点概括为重视基础、聚焦能力、指向素养. 针对2022年中考“数与式”部分的试题特点，精选了8道典型试题，重点围绕试题考查内容和解题思路进行剖析. 在此基础上，提出了三点具有方向性的中考复习建议，并给出了5道模拟题.

关键词：重视基础；聚焦能力；指向素养；中考试题

2022年全国各地区中考数学试卷的命制，恰逢《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《标准（2022年版）》）正式颁布之际. 虽然2022年的中考试题仍然要依据《义务教育数学课程标准（2011年版）》的内容要求进行命制，但是《标准（2022年版）》提出的“素养立意”的命题理念已经渗透在各地区的中考试卷中，“数与式”部分的试题也不例外. 具体来看，两版课程标准对“数与式”部分的内容要求变化不大（《标准（2022年版）》中增加了“了解代数推理”的内容），主要内容包括有理数、实数、整式和分式的相关概念和性质，数与式的基本运算，因式分解等. 从能力和素养层面来看，本部分内容对学生的运算能力和抽象能力有较高要求，同时对学生的推理能力、几何直观、应用意识和创新意识也有一定的要求. 通过对2022年全国各地区中考试题进行分析，发现“数与式”部分的试题体现出重视基础、聚焦能力、指向素养的特点. 下面对2022年全国各地区中考试卷中“数与式”部分的试题从解题角度进行归纳分析，在此基础上提出复习备考建议，并给出模拟题.

一、试题特点分析

1. 重视对基础知识的考查

“数与式”部分的内容是继续学习方程、不等式、函数等内容的基础. 2022年中考“数与式”部分的试题高度重视对数与式的核心概念和基本原理的考查.

（1）考查核心概念.

“数与式”部分的概念较多，2022年中考相关试题主要围绕相反数、数轴、绝对值、二次根式等核心概念进行了重点考查. 例如，福建卷第1题、内蒙古鄂尔多斯卷第1题和内蒙古包头卷第2题等分别从不同角度考查了相反数的概念. 对数轴概念的考查，注重与其他知识相结合，如北京卷第4题与实数结合，四川资阳卷第6题与无理数的估计相结合等. 广东卷第1题和湖北黄石卷第1题等考查了绝对值的概念. 对于二次根式概念，主要考查了二次根式有意义的条件，如云南卷第13题、青海卷第10题等.

（2）考查基本原理.

“数与式”部分的基本原理主要包括数与式的运算法则、科学记数法、幂的运算性质、分式的性质、乘法公式、因式分解等. 其中，運算法则和分式的性质主要通过设置相关数与式的运算试题来考查；科学记数法是大多数试卷都会考查的内容，此类试题一般会设置丰富多彩的情境，如四川宜宾卷第6题以我国航天事业取得的成就为背景考查用科学记数法表示较大数，山东青岛卷第1题以我国古代数学文化为背景考查用科学记数法表示较小的数；幂的运算性质一般设置为选择题，把多个性质分布在每个选项中进行综合考查，如辽宁抚顺卷第3题，而四川巴中卷第3题更是把幂的运算性质和二次根式的性质结合起来进行考查；对乘法公式和因式分解的考查通常是运用公式进行代数式的运算，如江苏盐城卷第19题在整式的化简中综合考查了平方差公式和完全平方公式，广东深圳卷第17题在分式化简中综合考查了提公因式法和公式法分解因式等.

2. 聚焦对关键能力的考查

核心素养在初中阶段的九个主要表现中，与“数与式”部分关系较为密切的主要有运算能力、抽象能力、推理能力、几何直观、应用意识和创新意识. 2022年全国各地区中考“数与式”试题主要聚焦于对运算能力、抽象能力和推理能力的考查.

（1）考查运算能力.

运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力. 初中阶段的运算内容主要分布在数与式、方程与不等式、函数中，但“数与式”部分的运算是基础. 因此，中考试题在“数与式”部分首先突出对运算能力的考查. 例如，山东烟台卷第14题以“24点”游戏为背景，考查了有理数的混合运算；北京卷第17题以解答题的形式考查了实数的混合运算；内蒙古赤峰卷第11题考查了整式的化简求值，并渗透了整体思想；而辽宁鞍山卷第17题考查的分式化简求值类题目，更是各地中考试题在“数与式”部分最常设置的题型.

（2）考查抽象能力.

初中阶段的抽象能力主要表现在数学概念、关系与方法的抽象上. 对“数与式”部分相关概念的获得和运算法则的总结，能进一步发展学生的数感和符号意识，提高学生的抽象能力. 因此，对抽象能力的考查也是本部分试题的应有之义. 例如，云南卷第2题考查了正负数的意义，贵州六盘水卷第18题考查了列代数式，山东烟台卷第13题考查了学生从“数值转换机”中获得运算程序的抽象能力.

（3）考查推理能力.

几何课程是训练推理与证明能力的主要途径，而代数课程在训练代数推理能力方面也起着不可替代的作用. 随着《标准（2022年版）》增加了代数推理的内容，一些中考试卷设置了考查代数推理能力的试题，如河北卷第22题、重庆A卷第23题、浙江嘉兴卷第19题等.

3. 指向对核心素养的考查

2022年全国各地区中考“数与式”部分的试题普遍体现了对数学核心素养的考查要求. 具体表现为：（1）注重问题情境的设置，如江苏镇江卷第10题以“地形对气温的影响”为情境考查有理数的混合运算，四川达州卷第15题以“黄金比”为情境考查二次根式和分式的运算，湖南长沙卷第16题以“二维码”为情境考查乘方的意义、幂的性质等内容；（2）设置探究性试题，如山东泰安卷第17题考查数字的变化规律，安徽卷第18题给出系列等式让学生发现其中的规律，并进行表达和证明，重庆A卷第6题让学生发现图形中蕴含的规律；（3）体现对学习过程的考查，如江西卷第14题考查分式混合运算的过程，青海西宁卷第26题考查对因式分解的即时学习和应用过程；（4）设置跨学科试题，如浙江杭州卷第6题考查了利用分式的加、减运算对物理公式进行变形，江西卷第4题以化学知识为背景进行命制，湖北鄂州卷第6题以生物学知识为背景进行命制.

二、优秀试题分析

1. 数的相关概念

例1 （内蒙古·鄂尔多斯卷）如图1，数轴上点A表示的数的相反数是（   ）.

目标解析：此题主要考查相反数和数轴的概念，要求能用数轴上的点表示有理数，借助数轴理解相反数的意义，并掌握求有理数相反数的方法. 此题把相反数和数轴相结合，体现了对数形结合思想的考查，对学生的抽象能力有一定的要求.

解法分析：需要先根据数轴确定点A表示的数是-2. 在确定-2的相反数时，既可以根据相反数的定义（只有符号不同的两个数叫做互为相反数），确定答案为2，也可以借助数轴，根据-2关于原点的对称点为2，得出答案选C.

试题分析：此题取材于人教版《义务教育教科书·数学》（以下统称“人教版教材”）七年级上册“1.2.3 相反数”的内容. 相反数的概念是历年来各地中考经常考查的概念，通常是从“数”的角度根据定义进行考查. 此题把相反数和数轴相结合，突出了从“形”的角度进行考查，从而赋予了试题更丰富的内涵.

类题赏析：（内蒙古·包头卷）若a，b互为相反数，c的倒数是4，则3a + 3b - 4c的值为（   ）.

【评析】该题把相反数、倒数和整式求值问题结合起来，从“运算”的角度突出对相反数的考查，即互为相反数的两个数相加得0.

2. 数与式的性质

例2 （四川·巴中卷）下列运算正确的是（   ）.

目标解析：此题主要考查幂的运算性质、二次根式性质和负指数幂的意义，要求了解整数指数幂的意义和基本性质，了解二次根式的概念和性质. 试题把多个知识点设置在四个选项中，体现了对基础知识的综合考查.

解法分析：根据幂的乘方性质可以直接得出答案选C；也可以用排除法，根据二次根式和负指数幂的意义排除掉选项A和选项B，再根据同底数幂相除的性质排除选项D，从而得出答案C.

试题分析：此题把教材中考查相关知识点的题目以选择题的形式进行了整合，符合中考试题要体现对知识综合考查的要求. 学生常因对相关知识点遗忘或掌握不牢固而出错，这就要求在复习基础知识时，不能停留在简单识记的层面，而应深入挖掘知识的本质，明确知识的来龙去脉. 例如，解答此题时，学生即使遗忘了幂的运算性质，也可以根据乘方的意义得出正确答案.

类题赏析：（山东·枣庄卷）下列运算正确的是（   ）.

（A）3a2 - a2 = 3

（B）a3 ÷ a2 = a

（C）（-3ab2）2 = -6a2b4

（D）（a + b）2 = a2 + ab + b2

【评析】此题是把幂的基本性质、合并同类项和乘法公式结合起来进行了综合考查.

3. 数的运算

例3 （山东·烟台卷）小明和同学们玩扑克牌游戏. 游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌上的数字只能用一次），使得运算结果等于24. 小明抽到的牌如图2所示，试帮小明列出一个结果等于24的算式           .

目标解析：此题主要考查有理数的混合运算，要求掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算，指向对运算能力的考查. 试题设置为根据游戏规则列出算式，要求能运用有理数的运算解决简单的问题，指向对应用意识的考查. 此题以开放题的形式呈现，既考查了学生的发散性思维能力，又考查了学生的逆向思维能力，这些都指向对创新意识的考查.

解法分析：首先，提取题目中的关键信息，即2，3，5，6四个数必须都用且只能用一次，使结果为24，列出算式，然后根据结果按照规则“凑”出算式. 试题设置为开放题，答案不唯一. 从不同的角度思考可以得到不同的答案，如5 × 6 - 2 × 3，6 × （5 - 3） × 2，（3 + 5） × 6 ÷ 2等.

試题分析：此题取材于北师大版《义务教育教科书·数学》（以下统称“北师大版教材”）七年级上册“2.11 有理数的混合运算”第66页“做一做”的内容，以经典的“24点”游戏为背景，突破了传统的给出算式求结果的考查方式，而是给出结果列算式，体现了试题的开放性. 这有利于考查学生的发散性思维能力，避免学生因不能综合考虑各种运算或不注意括号的运用而找不到解题思路.

类题赏析：（2021年山东·日照卷）数学上有很多著名的猜想，“奇偶归一猜想”就是其中之一，它至今未被证明，但研究发现，对于任意一个小于7 × 1011的正整数，如果是奇数，则乘3加1；如果是偶数，则除以2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能够得到1. 对任意正整数m，按照上述规则，恰好实施5次运算结果为1的m所有可能取值的个数为（   ）.

（A）8   （B）6 （C）4 （D）2

【评析】此题以数学文化为背景，考查有理数的混合运算，解决问题需要从运算结果为1出发，按照规则，逆向逐次计算即可求出m的所有可能的取值. 此题对学生的逆向思维能力要求较高.

4. 式的运算

例4 （江西卷）如图3所示是某同学化简分式[x+1x2-4-1x+2÷3x-2]的部分运算过程.

（1）上面的运算过程中第 步出现了错误；

（2）试写出完整的解答过程.

目标解析：此题主要考查分式的混合运算、约分、通分、因式分解，要求学生能利用分式的基本性质进行约分和通分，能进行分式的加、减、乘、除运算. 试题指向对运算能力的考查，要求先找出错误，再纠错并写出完整解答过程，指向对学生学习过程的考查.

解法分析：求解第（1）小题，需要认真阅读解题过程的前三个步骤，从中找出错误之处，其中前两步分别需要根据公式法、分解因式和通分的知识进行判断，第③步需要注意将括号内的分式进行减法运算时分子中符号的变化. 第（2）小题要求写出完整的解答过程，这里需要在第（1）小题的基础上，对第③步进行纠错，再正确利用约分对分式进行化简，最后要注意检查结果是否为最简分式.

试题分析：分式的混合运算问题在各个版本教材的相关内容中都有出现. 此类题目也是各地中考在“数与式”部分最常设置的题型. 究其原因，是因为此类试题能综合考查因式分解、通分、约分、最简分式、数的运算等内容，对学生的运算能力的要求较高. 学生常犯的错误主要有：用错公式，通分和约分出错，符号出错，与解分式方程混淆，没有化成最简分式，等等. 此题取材于学生的错题资源，针对学生常犯的错误设置问题，这也要求我们在复习阶段不要盲目追求做题的数量，应多引导学生进行题后反思，强化计算时步步有据、及时检查的学习习惯.

类题赏析：（浙江·台州卷）如图4所示的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的x的值是    .

【评析】此题考查对分式化简求值的纠错，针对的是另一类常见错误：混淆分式化简与解分式方程. 另外，此题设置成过程错误、结果正确的形式，有利于引导学生进行题后检查时不能只关注结果，更要关注解题过程.

5. 代数推理能力

例5 （浙江·嘉兴卷）设[a5]是一个两位数，其中a是十位上的数字（1 ≤ a ≤ 9）. 例如，当a = 4时，[a5]表示的两位数是45.

（1）尝试：

① 当a = 1时，152 = 225 = 1 × 2 × 100 + 25；

② 当a = 2时，252 = 625 = 2 × 3 × 100 + 25；

③ 當a = 3时，352 = 1 225 =             ；

……

（2）归纳：[a52]与[100aa+1+25]有怎样的大小关系？试说明理由.

（3）运用：若[a52]与100a的差为2 525，求a的值.

目标解析：此题考查了数字的变化规律、完全平方公式、整式的运算、代数式的比较等内容，要求能发现数字变化中的规律，能用乘法公式进行简单计算，并通过计算进行说理，考查了代数推理能力.

解法分析：求解第（1）小题，需要认真观察当a = 1和a = 2时的式子，从中发现规律，并根据这个规律得到a = 3时的结果，即3 × 4 × 100 + 25.

求解第（2）小题，需要先理解式子“[a5]”的意义，可以写成10a + 5，比较[a52]与[100aa+1+25]的大小. 可以利用作差法，得[a52-100aa+1+25]= [10a+52-100aa+1+25=0]. 也可以根据第（1）小题得到的规律，通过式子的变形进行验证，即[a52]= [10a+52]=[100a2+100a+25]=[100aa+1+25]，体现了解法的多样性.

第（3）小题的求解略.

试题分析：此题改编自人教版教材八年级上册第十四章“整式的乘法与因式分解”的数学活动1，教材中给出了前三个算式，要求写出一般的规律并给出证明，考查了从特殊到一般的数学思想，对学生的符号意识和推理能力都有较高的要求. 此题是在题干中给出了“[a5]”的定义，需要学生先理解式子“[a5]”的意义. 在第（1）小题中，给出了当a分别取1，2时的算式，要求写出a取3时的算式. 对于一般规律，是在第（2）小题直接给出的，让学生说明理由. 第（3）小题主要是与一元二次方程的知识相结合，体现了从一般到特殊的思路.

总体来看，例5降低了教材中数学活动的难度，符合中考试题对难度的要求. 同时，突出了特殊与一般的数学思想，加强了知识之间的联系，丰富了试题的内涵. 此题也启示教师在复习时要回归教材，重视对教材资源的挖掘和使用，提高复习的针对性.

类题赏析：（河北卷）发现：两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.

验证：如[2+12+2-12=10]为偶数. 试把10的一半表示为两个正整数的平方和；

探究：设“发现”中的两个已知正整数为m，n，试论证“发现”中的结论正确.

【评析】与例5相比，此题考查的知识点相对较少，但对学生的代数推理能力提出了更高的要求. 题目先以文字表述的方式给出了一个数学“发现”，接着进行了特例验证，在此基础上要求用符号推理的方式对此题中的“发现”进行证明. 解决此题的关键是正确理解“两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和”的意思，这也是此题的难点.

6. 创设问题情境

例6 （湖南·长沙卷）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大、保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力. 看似“码码相同”，实则“码码不同”. 通常，一个“二维码”由1 000个大大小小的黑白小方格组成，其中大约80%的小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1 000个方格只有200个方格作为数据码. 根据相关数学知识，这200个方格可以生成2200个不同的数据二维码，现有四名网友对2200的理解如下：

YYDS（永远的神）：2200就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；

DDDD（懂的都懂）：2200等于2002；

JXND（觉醒年代）：2200的个位数字是6；

QGYW（强国有我）：我知道210 = 1 024，103 =1 000，所以我估计2200比1060大.

其中对2200的理解错误的网友是       （填写网名字母代号）.

目标解析：此题考查了乘方的意义、幂的性质、数字规律探究、比较数的大小等知识. 要求理解乘方的意义，考查了学生的符号意识和抽象能力；通过寻找数字的变化规律，考查了特殊与一般的数学思想和学生的探究能力；通过比较数的大小，考查了转化思想和学生的推理能力.

解法分析：根据乘方的意义，可以判断网友“YYDS”的理解正确，网友“DDDD”的理解错误.

判断网友“JXND”的理解需要探究2200的个位数字的规律：由21 = 2，22 = 4，23 = 8，24 = 16，25 = 32，26 = 64，可知2n的尾数按照2，4，8，6的顺序每四个一循环，因此2200的个位数字是6.

判断网友“QGYW”的理解需要比较2200与1060的大小，结合两个幂的特征和题目中给出的条件，可以把2200与1060变成指数相同的幂. 根据幂的乘方性质，可得2200 = （210）20 = （1 024）20，1060 = （103）20 =1 00020，从而有2200 > 1060. 所以理解错误的网友是“DDDD”.

试题分析：数学素养的形成和发展离不开具体的情境与问题，素养立意的中考命题导向也要重视试题情境的创设. 此题以生活中常见的二维码为情境，挖掘二维码中蕴含的数学元素，引导学生会用数学的眼光观察现实世界. 通过展示四位网友对2200的不同理解，让学生通过数学运算和推理进行判断，从而引导学生会用数学的思维思考现实世界. 此题的难点和易错点是判断网友“QGYW”的理解，即比较2200与1060的大小. 学生的困难主要是不能灵活运用幂的基本性质对2200与1060进行转化. 此题启示我们在平时的教学和复习中，要注重创设问题情境，让学生在问题解决的过程中掌握知识、提升能力、发展素养.

类题赏析：（四川·宜宾卷）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，為实. 一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即为S =[14c2a2-c2+a2-b222]. 现有周长为18的三角形的三边满足a∶b∶c = 4∶3∶2，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为         .

【评析】此题主要考查了二次根式的运算. 试题以中国古代数学文化为背景，介绍了用“秦九韶公式”求三角形面积的方法，既考查了学生的运算能力，又展现了我国古代的数学成就，有利于增强学生的民族自豪感，激发学生的爱国热情，渗透育人价值.

7. 设置探究性试题

例7 （山东·泰安卷）将从1开始的连续自然数按如图5所示的规律排列.

若有序数对（n，m）表示第n行，从左到右第m个数，如（3，2）表示6，则表示99的有序数对是      .

目标解析：此题主要考查对数字排列规律的探究，要求理解有序数对（n，m）的意义，能用含n，m的式子描述试题中数字的排列规律，考查了学生的符号意识和抽象能力；通过寻找表示99的有序数对，考查了从特殊到一般的数学思想和学生的推理能力.

解法分析：解决此题的关键是发现所给材料中蕴含的规律，并能用式子表示规律. 首先，根据第n行的最后一个数是n2，确定99 = 102 - 1在第10行倒数第二个位置；再根据第n行有（2n - 1）个数，得出第10行的数有19个，从而得到表示99的有序数对是（10，18）.

试题分析：此题改编自青岛版《义务教育教科书·数学》七年级上册第三章“有理数的运算”综合练习第12题. 教材题目是把“-1，2，-3，4，-5，6，

-7，…”这列数按如图5所示的形式排列起来，求第8行从左数第2个数是多少. 例7去掉了数字的符号规律，引入有序数对表示数的位置，把教材中题目的设问改编为已知数，求它的位置. 学生解题时的难点在于不易发现数列中每行最后一个数的规律. 教师在教学中要引导学生从特殊位置的数开始，按照从特殊到一般的思路进行规律探究.

类题赏析：（四川·德阳卷）古希腊的毕达哥拉斯学派对整数进行了深入的研究，尤其注意形与数的关系，“多边形数”也称为“形数”，就是形与数的结合物. 用点排成的图形如图6所示.

其中，图6（a）的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1，第二个三角形数是1 + 2 = 3，第三个三角形数是1 + 2 + 3 = 6，……

图6（b）的点数叫做正方形数，从上至下第一个正方形数是1，第二个正方形数是1 + 3 = 4，第三个正方形数是1 + 3 + 5 = 9，……

……

依此类推，图6（d）中第五个正六边形数是     .

【评析】此题是从几何图形的角度探究规律，以毕达哥拉斯学派的“多边形数”为背景，给出了点的排列方式，解题时需要认真观察图形，结合前两个图形中三角形数和正方形数的规律，类比探究出六边形数的规律，再根据规律列出算式计算结果.

8. 设置跨学科试题

例8 （浙江·杭州卷）照相机成像应用了一个重要原理，用公式[1f=1u+1v v≠f]表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u等于（   ）.

（A）[fvf-v] （B）[f-vfv]

（C）[fvv-f] （D）[v-ffv]

目标解析：此题主要考查分式的基本性质、通分、分式的加减运算等知识，要求能利用分式的运算解决简单问题，考查学生的运算能力和推理能力.

解法分析：解决此题可以利用分式的运算对公式进行变形：由[1u=1f-1v=v-ffv]，得[u=fvv-f]. 故答案选C；也可以把公式看成关于u的分式方程，通过解分式方程求出结果.

试题分析：《标准（2022年版）》提出要探索命制多学科融合类试题，以体现数学学科与其他学科之间的联系. 此题设置为利用分式的运算对物理公式进行变形，体现了数学知识在物理学科中的应用. 学生容易在通分时出错，教师教学时注意要求学生在运算时做到步步有据.

类题赏析：（湖北·鄂州卷）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型. 在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示. 即：21 = 2，22 = 4，23 = 8，24 = 16，25 = 32，……. 试推算22 022的个位数字是（   ）.

（A）8 （B）6

（C）4 （D）2

【评析】此题以生物学中的细胞分裂为背景，指出解决这个问题需要建立的数学模型，进一步探究数学模型中蕴含的规律，体现了数学学科与生物学科的联系.

三、复习备考建议

结合以上对2022年全国各地区中考试卷中部分“数与式”试题的分析，针对2023年中考“数与式”部分的复习备考，提出如下建议.

1. 重视对基础知识的复习

2022年全国各地区中考“数与式”试题普遍难度较小，更多关注对基础知识的考查. 因此，“数与式”部分的复习重点是帮助学生巩固基础知识. 在中考第一轮复习时，教师可以通过思维导图等形式帮助学生完整构建该部分内容的知识结构，引导学生把每一个知识点放在整体的知识结构体系中进行复习. 对本部分内容的核心知识，如数轴、绝对值、相反数、同类项、分式、数与式的运算法则、幂的性质、乘法公式等，要注重其与其他知识之间的联系，在知识的联系中强化对核心知识的理解. 在中考第二轮复习时，教师应引导学生重视解题的依据，在应用中强化对基础知识的深度理解. 在中考第三轮复习时，教师应重视对错题资源的利用，及时引导学生对基础知识进行有针对性地查漏补缺.

2. 重视复习课中的运算教学

多数中考“数与式”试题离不开对学生运算能力的考查. 历年中考评卷的试题分析表明，学生丢分的一大原因是运算出错，“会而不对”的现象大量存在. 因此，在复习课中，教师要重视运算教学，避免只重解题思路的明晰而忽视解题过程的完善及结果的正确等眼高手低的现象.

3. 重视复习课中的素养导向

2022年全国各地区中考数学试题普遍体现了素养立意的命题导向. 就“数与式”试题来看，除了运算能力外，抽象能力、推理能力、几何直观、应用意识和创新意识也是考查的重点. 因此，在中考复习阶段，教师应该精选体现素养导向的题目，如应用题、探究题、开放题和新定义题等. 同时，要特别重视解题后的反思，引导学生通过反思巩固知識、梳理方法、感悟思想、提升素养.

四、典型模拟题

1. 我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”. 如图7，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子出生后的天数. 由图7可知，孩子出生后的天数是（   ）.

（A）67 （B）124

（C）210 （D）469

答案：A.

2. 按如图8所示的程序计算，若输入m = 20，输出结果是82；若输入m = 5，输出结果是90. 若开始输入的数m为正整数，最后输出的结果为58，则开始输入的数m的所有可能的值为         .

答案：3或14.

3. 下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务.

[a2-1a2+2a+1+1÷aa+1]

=[a+1a-1a+12+1÷aa+1]…第一步

=[a-1a+1+1÷aa+1]…第二步

=[a-1+1a+1÷aa+1]…第三步

=[aa+1÷aa+1]…第四步

=[aa+1 ? a+1a]…第五步

= 1…第六步

任务一：填空.

① 以上化简步骤中，第一步进行的运算是（    ）.

（A）整式乘法 （B）因式分解

② 第     步开始出现错误，这一步错误的原因是          ；

任务二：试直接写出该分式化简的正确结果；

任务三：除纠正上述错误外，试根据平时的经验，就分式的化简过程写出一条注意事项.

答案：任务一：① B；② 三；错误的原因是分式相加时，没有对1通分（答案不唯一，合理即可）.

任务二：2.

任务三：答案不唯一. 例如，最后结果应化为最简分式或整式；括号前是“[-]”，去掉括号后，括号里的各项均要变号；分式化简不能与解分式方程混淆；等等.

4. 已知下列等式：① 22 - 12 = 3；② 32 - 22 = 5；③ 42 - 32 = 7；……

（1）仔细观察前三个式子的规律，写出第④个式子       .

（2）找出规律，写出第n个式子       .

（3）利用（2）中发现的规律计算：1 + 3 + 5 + 7 + … + 997 + 999.

答案：（1）[52-42=]9.

（2）[n+12-n2=2n+1].

（3）原式 =[12+22-12+32-22+42-32+…+4992-] [4982+5002-4992]=[5002]= 250 000.

5. 阅读与计算：阅读以下材料，并完成相应的任务.

古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，设p =[a+b+c2]，则三角形的面积S =[pp-ap-bp-c].

我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则三角形的面积S =[14a2b2-a2+b2-c222].

（1）若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于       ；

（2）若一个三角形的三边长分别是[5， 6， 7]，求这个三角形的面积.

答案：（1）[66]；

（2）[262].

参考文献：

［1］鲍建生，章建跃. 数学核心素养在初中阶段的表现之二：运算能力［J］. 中国数学教育（初中版），2022（6）：3-8.

［2］王烁. 2021年中考“数与式”专题解题分析［J］. 中国数学教育（初中版），2022（1 / 2）：23-30，40.

基金项目：河南省基础教育教学研究项目——基于核心素养的初中数学复习课教学策略研究（JCJYB210310041）.

作者简介：谷晓凯（1972— ），男，中学高级教师，主要从事中学数学教育教学研究；

张海营（1964— ），男，中学高级教师，河南省特级教师，主要从事中学数学教育教学研究.