按图索骥 探变求本

陈耀忠　孙陈威

摘  要：“图形的变化”是初中数学“图形与几何”领域的重要内容，是在研究幾何图形的本质属性之后对图形变化规律的进一步探索和研究. 文章通过对2022年全国各地区中考数学试卷中“图形的变化”典型试题，从学业要求、解法分析、试题分析和类题评析四个维度进行阐述、解析、评价，充分展示了探寻基本图形和图形在运动变化中不变量的一般过程. 分析发现，在“图形的变化”问题解决中，只有重视教材、回归教材、夯实基础、提升能力，才能以不变应万变.

关键词：图形的变化；典型试题；解法分析

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《标准》）对“图形的变化”内容明确了学业要求，对引导学生会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界具有重要意义.

如何达到《标准》明确的学业要求？如何求解“图形的变化”试题？本文立足解题评价视角，从考点概述、典题分析、备考建议三个方面对选取的“图形的变化”典型试题进行剖析总结，以期对中考复习备考提供参考.

一、考点概述

1. 学业要求

“图形的变化”内容隶属于初中阶段“图形与几何”领域，其内容主要包括图形的轴对称、旋转、平移、相似、投影、锐角三角函数.《标准》对本部分内容的学习要求如图1所示.

2. 考查特点

从2022年全国各地区中考数学试卷对“图形的变化”专题内容的考查情况来看，该部分内容考查的题型涉及填空题、选择题、解答题、操作题等，且各地区中考对“图形的变化”内容的考查都很重视. 研究发现，2022年全国各地区中考“图形的变化”试题考查具有以下特点：（1）立足教材，关注对基本概念的理解和运用；（2）尽可能设置生活化的实际背景，考查学生运用数学知识解决实际问题的能力，以及在解决实际问题的过程中学生所表现出来的数学思维方式；（3）重视对几何直观、空间观念、逻辑推理等素养的落实情况进行考查.

二、优秀试题分析

2022年全国各地区中考对“图形的变化”试题的命制整体上呈起点低、坡度缓、立意高的特点，符合《标准》要求，既立足对图形的轴对称、旋转、平移、相似、投影等基础内容的考查，又关注学生的未来发展，考查学生对同一知识点的不同认知水平，多角度、多维度考查学生的空间观念、几何直观、推理能力等素养. 下面从学业要求、解法分析、试题分析和类题评析四个维度对2022年中考“图形的变化”试题进行解题分析.

1. 依标扣本，考查基础，强化空间观念

课程标准是中考数学试题命制的依据，教材是中考数学试题命制的蓝本. 立足“三会”、依标扣本是2022年中考“图形的变化”试题命制方面的典型特征.

例1 （甘肃·兰州卷）下列分别是2022年北京冬奥会、1998年长野冬奥会、1992年阿尔贝维尔冬奥会、1984年萨拉热窝冬奥会会徽上的图案，其中是轴对称图形的是（    ）.

学业要求：理解几何图形的对称性，感悟现实世界中的对称美.

解法分析：此题选取四届冬奥会会徽上的图案为素材，要求判断其是否为轴对称图形，解题的关键是辨别哪个图形沿某一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合. 此题答案选D.

试题分析：此题既考查学生对基本概念的把握情况、对轴对称图形的认识，又考查学生在具体情境中应用轴对称图形概念的能力.

类题赏析：2022年全国各地区中考试卷中此类试题的命制大致选择图案设计、文字数字、剪纸艺术、几何图形四类. 其中，山东泰安卷第3题、江苏连云港卷第2题、四川内江卷第4题、贵州毕节卷第2题、黑龙江齐齐哈尔卷第2题、黑龙江大庆卷第4题等以图案设计类为考查对象；天津卷第4题、湖北武汉卷第3题、四川乐山卷第2题以汉字为考查对象；四川眉山卷第3题以英文字母为考查对象；湖北宜昌卷第2题以数字为考查对象；山东临沂卷第2题、湖南永州卷第3题以剪纸艺术为考查对象；广西桂林卷第4题、黑龙江哈尔滨卷第3题、四川遂宁卷第2题以几何图形为考查对象.

例2 （浙江·温州卷）某物体如图2所示，它的主视图是（    ）.

学业要求：经历从不同角度观察立体图形的过程，发展学生的几何直观和空间观念.

解法分析：解决此题需要掌握主视图就是从正面看物体所得到的图形. 此题答案选D.

试题分析：此题考查给定几何体甄别三视图，重在考查简单组合体的主视图.

类题赏析：2022年中考湖南邵阳卷第4题、湖北武汉卷第5题、浙江台州卷第2题、天津卷第5题、浙江嘉兴卷第2题、湖南衡阳卷第2题、浙江湖州卷第3题、江西卷第5题、安徽卷第3题均为此类试题或此种考法，而湖北孝感卷第2题、江苏扬州卷第5题考查给定三视图甄别几何体. 还有一些地区的中考试卷中虽然也是给定几何体，但是问法更加灵活，提出了“主视图与俯视图的形状不一样的几何体是什么”“几何体的三视图中完全相同的是什么”等问题. 此类问题的难度略高于上述问题，需要学生牢固掌握几何体的三种视图.

例3 （新疆卷）图3是某几何体的展开图，该几何体是（    ）.

（A）长方体 （B）正方体

（C）圆锥 （D）圆柱

学业要求：知道简单立体图形的侧面展开图，发展学生的几何直观和空间观念.

解法分析：解决此题的关键是“熟练掌握圆锥的侧面展开图是扇形、底面是圆形”. 此题答案选C.

试题分析：此题考查依据给定简单几何体的侧面展开图甄别几何体，题面简洁、图形明了.

类题赏析：2022年中考四川广元卷第2题、江苏宿迁卷第4题、湖南岳阳卷第2题、四川自贡卷第3题均为此类考法. 综观2022年全国各地区中考试卷中“图形的变化”试题，基本都是结合圆柱、圆锥、长方体等常见几何体的侧面展开图进行命题，考查学生的几何直观素养和空间想象能力.

例4 （安徽卷）如图4，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）.

（1）将△ABC向上平移6个单位，再向右平移2个单位，得到[△A1B1C1]，试画出[△A1B1C1]﹔

（2）以边AC的中点O为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转180°，得到[△A2B2C2]，试画出[△A2B2C2].

学业要求：理解平移、旋转运动，知道平移、旋转的基本特征.

解法分析：解决此题需要根据平移的方式确定出点A1，B1，C1的位置，再顺次连接，即可得到[△A1B1C1]. 再根据旋转可确定出点A2，B2，C2的位置，再顺次连接，即可得到[△A2B2C2]. 所作[△A1B1C1]和[△A2B2C2]如图5所示.

试题分析：此题考查运用作图法分析图形平移和旋转变化后的性质特点，引导学生经历平移和旋转的作图过程，构建平移、旋转知识经验，巩固作图技能.

类题赏析：2022年中考浙江温州卷第18题同样以作图形式考查学生对图形的变化规律的掌握情况；浙江杭州卷第8题则是通过在格点中刻画旋转后点的坐标来考查相关知识；湖北武汉卷第21题对学生要求较高，需要学生具备较强的分析问题的能力.

例5 （浙江·台州卷）如图6，△ABC的边BC长为4 cm．将△ABC平移2 cm得到[△ABC，] 且[BB]⊥BC，则阴影部分的面积为        .

学业要求：知道平移的有关性质.

解法分析：阴影部分的面积等于四边形BB′C′C的面积，此题答案为8 cm2．

试题分析：此题考查平移前后所得图形的面积，比较简明.

类题赏析：“图形的变化”相关的度量考查在2022年中考试卷中涉及较少. 浙江嘉兴卷第6题以中国古代妇女的发饰“方胜”为背景考查了平移中的距离计算，湖北十堰卷第15题则考查了扇形对称变化后相关图形的面积计算.

2. 联系实际，考查应用，强化几何直观

“图形的变化”相关试题往往和实际问题相结合，通过设置具体的问题情境，彰显数形结合思想. 2022年全国各地区中考数学试卷中，很多试题都是借助现实情境考查学生对图形的变化知识的掌握情况，只有少数地区使用数学情境考查该部分知识.

例6 （浙江·台州卷）如图7是战机在空中展示的轴对称队形. 以飞机B，C所在直线为x轴、队形的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系. 若飞机E的坐标为[40，a，] 则飞机D的坐标为（    ）.

（A）[40，-a] （B）[-40，a]

（C）[-40，-a] （D）[a，-40]

学业要求：理解几何图形的对称性，感悟现实世界中的对称美，知道可以用数学语言表达对称.

解法分析：解决此题需要了解关于y轴对称的点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标改变符号. 此题答案选B.

试题分析：此题借助问题情境给定对称关系，考查用坐标语言表达对称关系，设计新颖.

类题赏析：2022年中考新疆卷第3题考查的是关于x轴对称的点的性质：横坐标不变，纵坐标改变符号.

例7 （湖北·荆州卷）荆州城徽“金凤腾飞”（如图8）立于古城东门外. 如图9，某校学生测量其高AB（含底座），先在点C处用测角仪测得其顶端A的仰角为32°，再由点C向城徽走6.6 m到点E处，测得顶端A的仰角为45°. 已知B，E，C三点在同一直线上，测角仪离地面的高度CD = EF = 1.5 m，求城徽的高AB.（参考数据：sin32°≈ 0.530，cos32°≈ 0.848，tan32°≈ 0.625.）

学业要求：能用锐角三角函数知识解决简单的实际问题.

解法分析：如图10，延长DF交AB于点G，则∠AGF = 90°，DF = CE = 6.6 m，CD = EF = BG = 1.5 m. 设FG = x m，先在Rt△AGF中利用锐角三角函数的定义表示出AG的长，再在Rt△AGD中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答.

试题分析：此题立足人教版《义务教育教科书·数学》九年级下册第81页活动2中的基本图形（其他版本的教材中也有体现），考查学生解直角三角形和解决实际问题的能力. 此题以测量无法直接测量的高度为背景，要求学生把实际问题转化为数学问题，再运用所学的数学知识加以解决. 常见的借助锐角三角函数知识测量物体高度的基本图形具有的重要特征为有一个公共元素，如图11所示.

类题赏析：2022年中考天津卷第22题、湖南邵阳卷第25题、新疆卷第21题、四川遂宁卷第22题、河南卷第19题、四川眉山卷第22题、四川广元卷第21题等同样考查借助锐角三角函数知识测量物体高度解决问题；安徽卷第20题、重庆A卷第22题等考查利用上述基本图形求航行距离.

3. 按图索骥，探变求本，强化核心素养

例8 （四川·遂宁卷）如图12，正方形ABCD与正方形BEFG有公共顶点B，连接EC，GA，交于点O，GA与BC交于点P，连接OD，OB，则下列结论一定正确的是（    ）.

① EC ⊥ AG ② △OBP ∽ △CAP

③ OB平分∠CBG ④ ∠AOD = 45°

（A）①③ （B）①②③

（C）②③ （D）①②④

学业要求：理解图形的旋转运动，知道图形旋转的基本特征，了解图形相似的意义，会判断简单的相似三角形.

解法分析：由[BA=BC，BG=BE，∠ABG=90°+∠CBG=][∠CBE，] 易得[△ABG≌△CBE.] 所以[∠BAP=][∠OCP.] 所以[∠POC=∠PBA=90°，] 即①正确. 同时可得[A，B，C，][O]四点共圆，所以得[△OBP∽△CAP，] 即②正确. 且[∠AOD=∠ACD=45°，] 即④正确. 关于③，有[∠AOB=][∠ACB=∠BOE=45°，] 即[OB]平分[∠AOE.] 具体解题思维导圖如图13所示. 此题答案选D.

试题分析：此题取材于经典的双正方形旋转构图，通过旋转构图，设计一系列问题，考查学生对基本图形旋转的识别能力. 教材通过大量习题，呈现了两个全等三角形或相似三角形通过旋转产生的基本图，旨在让学生认识旋转的性质，并运用这些性质分析、解决一些简单的几何问题.

常见的典型基本图形的旋转如图14所示. 其中，相等的角常隐含在平行线、对顶角或某些角的和与差中.

类题赏析：2022年全国各地区中考数学试卷在选择题和填空题中对旋转变换的考查较多，天津卷第11题、湖南常德卷第7题、内蒙古包头卷第11题、四川南充卷第16题、江苏无锡卷第5题、浙江丽水卷第15题均以三角形旋转为基本对象，考查探究过程中所产生的图形的位置关系和数量关系等. 解决此类试题需要抽丝剥茧地挖出旋转的基本图形，然后结合等腰三角形、直角三角形、全等、相似等知识求解.

例9 （重庆B卷）在△ABC中，∠BAC = 90°，[AB=][AC=22，] D为BC的中点，E，F分别为AC，AD上任意一点，连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转90°得到线段EG，连接FG，AG.

（1）如图15（a），点E与点C重合，且GF的延长线过点B，若点P为FG的中点，连接PD，求PD的长；

（2）如图15（b），EF的延长线交AB于点M，点N在AC上，∠AGN = ∠AEG且GN = MF，求证：AM + [AF=2AE；]

（3）如图15（c），F为线段AD上一动点，E为AC的中点，连接BE，H为直线BC上一动点，连接EH，将△BEH沿EH翻折至△ABC所在平面内，得到△B′EH，连接B′G，直接写出线段B′G的长度的最小值.

学业要求：理解图形旋转的基本特征和性质.

解法分析：第（1）小题中，因为线段EF（即CF）顺时针旋转90°至EG，产生了等腰直角三角形EFG（即△CFG），点P为FG的中点，由等腰三角形“三线合一”性质，知EP ⊥ FG，所以△BPC是直角三角形，而D为其斜边的中点. 由利用斜边上的中线等于斜边的一半，可得PD = 2.

第（2）小题中，如图16，过点E作EH⊥AE交AD的延长线于点H，由已知可得△AEH为等腰三角形. 则容易证明△EFH ≌ △EGA. 所以∠EHF = ∠GAE = 45°. 所以∠GAE = ∠MAF. 由已知可知，∠AEG = ∠AMF = 90° - ∠AEM. 因为∠AGN = ∠AEG，所以∠AMF  = ∠AGN . 再结合GN = MF，可以证明△AMF ≌ △AGN. 所以AM = AG = FH. 所以[AM+AF=FH+AF=AH=2AE.] 结论得证.

第（3）小题，由于变化过程中点E的位置是确定的，所以线段BE的长为定值[10.] 所以点B′在以点E为圆心、[10]为半径的圆上运动. 因为B′G + GE ≥ B′E，所以当EG最大，且B′，G，E三点共线时，B′G最小. 经验证，当点F与点A或D重合时，EG取最大值，且这样的点存在，进而可知线段B′G的最小值为[10-2.]

试题分析：此题先通过线段的旋转变化产生两个相似的等腰直角三角形，并以旋转运动为出发点，设计一系列问题，层层递进，着重考查学生在图形变化的过程中捕捉不变规律的能力，并要求学生利用不变量进行逻辑推理，进而解决问题. 解决好此类问题的关键是要具备按图索骥、通时达变的能力.

关于两个等腰直角三角形的旋转变化，建议掌握以下内容.

△ABC和△ADE是以点A为公共顶点的一组相似的等腰直角三角形.

（1）如图17，则有：

① △ABD ≌ △ACE，且△ACE ∽ △ANM；

② 当点P，M，N分别是CD，DE，BC的中点时，△PMN也是等腰直角三角形.

（2）如图18，点D在边BC上，则有：

① △ABD ≌ △ACE；

② BC ⊥ CE.

（3）如图19，记O，M，N分别是BE，AE，AB的中点，则有：

① 四边形AMON是平行四边形；

② △OCD是等腰直角三角形.

类题赏析：两个相似图形依据一定条件限制进行旋转，产生的图形性质颇多，以此为背景命题是近几年中考的热点. 2022年中考，四川成都卷第26题以两个相似矩形旋转为背景进行命题，江苏连云港卷第27题以两个直角三角板为背景进行图形构造，都体现了这种命题思路.

例10 （安徽卷）已知四邊形ABCD中，BC = CD. 连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE.

（1）如图20（a），若[DE∥BC]，求证：四边形BCDE是菱形.

（2）如图20（b），连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC.

① 求∠CED的大小；

② 若AF = AE，求证：BE = CF.

学业要求：理解轴对称图形的运动，知道轴对称的基本特征，理解几何图形的对称性.

解法分析：第（1）小题，根据题意，可知CE垂直平分BD，从而ED = EB. 进而可得∠EDB = ∠EBD. 再根据平行线的性质和角平分线的定义，可证明结论.

第（2）小题第①问，先根据垂直平分线的性质，得∠AED = ∠CED = ∠BEC. 再根据平角定义即可以得到∠CED = 60°；第②问中，利用“AAS”证明△ABF ≌ △ACE，得AC = AB. 所以AB - AE = AC - AF，即BE = CF.

试题分析：此题问题设计层次分明. 第（1）小题要求直接证明菱形，条件简明. 第（2）小题设有两个问，第①问主要借助垂直平分线和等腰三角形的性质进行角的传递，进而发现一个平角被三等分；第②问的设计对学生分析问题的能力提出了更高层次的要求，结论中隐含的特殊角、等腰三角形、四点共圆等为求解该题提供了丰富的想象空间. 此题由对称基本图形入手（试题涉及的部分基本图形如图21和图22所示），衍生出一系列问题，题面简洁，内涵深刻.

轴对称是基本的图形变换，是学习空间与图形知识的必要基础，常见的轴对称图形如图23所示.

类题赏析：2022年中考湖南常德卷第26题以“风筝”形对称图形为背景进行相关知识的考查，很好地展示了探寻图形的变化中不变的规律的过程. 四川成都卷第23题、四川德阳卷第16题、浙江台州卷第16题、山东滨州卷第18题、浙江舟山卷第16题、江苏扬州卷第17题、山东泰安卷第18题等则是通过选择题或填空题考查对称变换.

三、复习备考建议

通过对2022年全国部分地区中考数学试卷中的“图形的变化”试题进行解题分析，提出以下备考建议.

1. 重视教材，回归教材

课程标准是教材编写的依据，也是中考命题的依据，教材是表达课程标准理念的有效载体. 通过分析发现，2022年中考“图形的变化”试题考查问题的素材大多取材于教材. 因此，复习备考中，不能舍本逐末，要回归教材、吃透教材，领会教材的编写意图. 要深度研究教材素材，创造性地分析、运用教材. 要对教材中的例题、习题，以及公式、定理进行深入拓展. 要跳出“题海”，多维度深挖教材，捕捉教材中的经典图形，总结、提炼出轴对称、旋转等相关基本图形，同时对衍生问题进行有效整合，以达到以不变应万变的效果.

2. 关注基础，强化理解

分析发现，要想解决好“图形的变化”相关试题，需要厘清平移、轴对称和旋转三大变换的要素、性质，以及它们之间的联系与区别；理解相似三角形的判定与性质、直角三角形的边角关系；需要经历从不同角度观察立体图形的过程，准确把握长方体、圆锥、球等简单几何体的侧面展开图. 在“图形的变化”学习中，要重视基础知识，要以信息技术演示或者实物操作的形式感悟图形的轴对称、旋转、平移变化的基本特征，要理解感知变化是需要参照物的，要借助参照物阐释图形变化的基本特征，进而了解三类变化的基本性质.

3. 关注作图，强化识图

识图能力是指学生在识图过程中所表现出来的综合素质. 会识别图形指能在复杂交错的图形中寻找基本图形，能将图形进行分解、重组，从而发现有用的信息. 识图能力直接关系到学生能否从问题中识别出基本图形并加以运用，进而解决问题. 复习备考中，要通过作图、用图、识图、构图，掌握基本的作图技巧，提升识图能力和构图水平，同时要加强图形语言的表达能力. 问题解决中，要从观察图形特征入手，通过探寻、构造基本图形，寻找解决问题的突破口.

“图形的变化”专题备考中，要将图形的变化和圖形的性质相结合，学会用数学的眼光观察生活，用数学的语言描述生活，用数学的理性对待生活，最终形成学数学、用数学的意识和习惯.

4. 关注思维，强化推理

复习备考中，要重视学习的过程，主动经历操作、观察、猜想、归纳、验证、证明、应用等学习环节，在发现问题、分析问题、解决问题的过程中感悟、体验知识的再发现和再创造，实现“知其然，更知其所以然”，进而锻造思维的严谨性，养成言必有据，分析细致、缜密的习惯. 在学习图形的变化内容时，若要解决旋转问题，则要学会从“新图形自身的性质有哪些变化？”“对应元素之间有何数量和位置关系？”“新图形又生成了哪些新条件或新规律？”“题干的条件和新发现的结论都得到有效使用了吗？”四个方面分析问题. 总之，要通过经历知识的形成过程发展思维的深度和广度，进而提高思维的灵活性、发散性和创造性.

四、典型模拟题

1. 如图24，在Rt△ABC中，[∠ACB=90°，BC=][2AC，] 点[D，E]分别是边[BA，BC]的中点，连接[DE．] 将△BDE绕点B顺时针旋转[α 0°<α<90°，] 得到△BFG，点D的对应点是点F，连接AF，CG．

（1）求证：[∠BFA=∠BGC；]

（2）若[∠BFA=90°，] 求[sin∠CBF]的值．

答案：（1）略.

（2）[sin∠CBF=215+510．]

【评析】此题以两个相似的特殊直角三角形旋转所得的图形作为考查对象. 第（1）小题要求证明这个图形的一般性质；第（2）小题在第（1）小题的基础上研究特殊情形. 解题过程中多次运用图形变化的性质，需要进行适当的计算.

2. 如图25，矩形[ABCD]中，[AB=12，AD=25，] 点[E]是边[BC]上一点，[CE=16，] 点[M]是边[AD]上一动点，点[N]是边[BC]上一动点，射线[AN]与射线[ME]相交于点[F]，且满足[∠AFM=∠EAD，] 将[△ABE]沿[AB]翻折得到[△ABG].

（1）连接[DE]，求[∠AED]的度数；

（2）当[△AFM]是以[FM]为腰的等腰三角形时，求[EN]的值；

（3）当[AN]平分[∠EAD]时，求证：[GF]平分[∠AGE.]

答案：（1）[∠AED=90°]；

（2）[0]或3；

（3）略.

【评析】此题考查对称变换的相关知识，以矩形为基本图形，通过变化考查相关角度的关系，以及全等与相似的应用. 第（3）小题多次运用相关条件得到相等的角或线段，最终利用全等得到欲证结论，对学生的识图能力和逻辑推理能力要求较高.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］刘金英，顾洪敏. 静观其变  顺势而为：2019年中考“图形的变化”专题命题分析［J］. 中国数学教育（初中版），2020（1 / 2）：89-96.

［3］钟文丽，万妍青. 以“作图”促理解  探“变化”提素养：2020年中考“图形的变化”专题解题分析［J］. 中国数学教育（初中版），2021（1 / 2）：84-90.

［4］赵军才，薛红霞. 图亦可料  变守其本：2021年中考“图形的变化”专题命题分析［J］. 中国数学教育（初中版），2022（1 / 2）：84-90.

［5］陈耀忠. 基于核心素养的试题研究：以双等腰直角三角形旋转图形为例［J］. 中国数学教育（初中版），2017（7 / 8）：21-25.

基金项目：蚌埠市教育科学规划课题——安徽省中考数学试卷与课标一致性研究（2021073）.

作者简介：陈耀忠（1970— ），男，正高级教师，主要从事中学数学教学、竞赛和中高考命题研究；

孙陈威（1987— ），男，一级教师，主要从事中考数学试题与课标一致性研究.