概念本质悟得清 计算应用自然明

唐亮　胡志民

摘  要：概率的研究对象是随机现象，为人们从不确定性的角度认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法；统计的研究对象是数据，核心是数据分析. 概率为统计的发展提供了理论基础. 文章汇选了2022年全国部分地区中考“随机事件的概率”内容的相关试题，进行试题特点分析，并选取部分典型题进行解法分析，对2023年复习备考提出了相应的复习建议.

关键词：随机事件；列表法；画树状图法；频率

“随机事件的概率”专题内容在历年中考考查中特色鲜明、形式新颖. 通过对2022年全国各地区中考“随机事件的概率”试题的研究和归类后，发现该部分试题主要考查以下三个方面：（1）事件的基本概念和概率的意义；（2）用频率估计概率和借助定义以公式法、列表法、画树状图法、几何概型或游戏公平性的形式求事件的概率；（3）统计和概率相结合，解决实际问题. 文章力争通过对这些问题的分析，帮助学生准确把握复习方向，并给出若干复习备考建议和典型模拟题，以期为2023年中考数学复习教学助力、添彩.

一、试题特点分析

在《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《标准》）中，“统计与概率”内容是与“数与代数”“图形与几何”“综合与实践”并列的四部分内容之一.“随机事件的概率”专题是中考的必考内容之一. 虽然概率的内容在中考中所占分值不多，考查的内容也都比较简单，但它往往与现实生活相联系，可以加深学生对随机现象的认识，培养学生的数据分析素养，使学生学会做出合理的决策，并且提高分析问题和解决问题的能力，以及数学应用意识.

2022年全国各地区中考试卷中“随机事件的概率”有关试题重点关注社会热点、彰显数学传统文化、贴近学生生活. 文章根据其考查知识点分以下三类进行评析：（1）理解事件的概念和概率的意义，这是教材的核心概念.（2）掌握随机事件概率的求解方法，这是基本技能. 针对不同问题要选择不同的求解方法. 概率的类型主要包括古典概型和几何概型；求解方法主要有列举法、列表法和画树状图法.（3）统计与概率结合解决实际问题，这是创新应用.

1. 事件的概念和概率的意义

首先，要正确掌握随机事件、必然事件、不可能事件的相关概念和概率的意义. 事件的相关概念较好理解. 而对概率的意义的理解是这个专题的核心：概率是刻画随机事件發生的可能性大小的数值，是事件本身所固有的性质. 但在学习过程中，概率是一个与确定数学有明显差异的较难理解的概念.

例1 （湖南·长沙卷）下列说法中，正确的是（    ）.

（A）调查某班45名学生的身高情况宜采用全面调查

（B）“太阳东升西落”是不可能事件

（C）为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是条形统计图

（D）任意投掷一枚质地均匀的硬币26次，出现正面朝上的次数一定是13次

目标解析：此题主要对事件的分类、概率的意义、全面调查与抽样调查、条形统计图等知识点进行考查.

解法分析：调查某班45名学生的身高情况宜采用全面调查，故选项A符合题意；“太阳东升西落”是必然事件，故选项B不符合题意；为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是扇形统计图，故选项C不符合题意；任意投掷一枚质地均匀的硬币26次，出现正面朝上的次数可能是13次，所以选项D不符合题意. 故此题答案选A.

试题分析：此题取材于教材中的问题，再改编而成. 以调查学生的身高、太阳东升西落、空气各成分的百分比、投掷硬币等学生非常熟悉的素材为背景设置问题考查相关知识，符合学生的认知规律，体现了跨学科融合. 学生更容易对事件的分类、概率的意义，以及统计图的特点进行理解. 此题关注了学生已有的经验和认知基础，旨在引导教师的教和学生的学要重视教材、回归教材.

类题赏析：（湖南·衡阳卷）下列说法正确的是（    ）.

（A）“任意画一个三角形，其内角和为[180°]”是必然事件

（B）调查全国中学生的视力情况，适合采用普查的方式

（C）抽样调查的样本容量越小，对总体的估计就越准确

（D）十字路口的交通信号灯有红、黄、绿三种颜色，所以开车经过十字路口时，恰好遇到黄灯的概率是[13.]

答案：A.

【评析】此题以数学中的核心知识点“三角形内角和”和社会高度重视的学生视力情况、交通信号灯等为素材进行命制，在考查统计、事件和概率的相关知识的同时，引导学生重视数学核心知识、关注社会热点问题，且对学生进行了安全意识方面的教育.

2. 随机事件概率的求解方法

随机试验的结果是不确定的，但随机事件发生的可能性是有大小的，概率就是随机事件发生的可能性大小的数量表达. 随机事件中，可以用列举法求概率的古典概型，还可以利用面积法求概率的几何概型. 现实生活中，还有一类随机事件的概率是通过用频率估计概率的方法求得的. 几何概型与古典概型相比较，它们都要求每种试验的结果是等可能的，但几何概型没有结果总数有限的限制.

在解题过程中，要正确应用求概率的两种计算方法. 其一，是简单随机事件概率的计算方法，即如果在一次试验中，有[n]种等可能的结果，事件[A]包含其中的[m]种结果，那么事件[A]发生的概率[PA=mn.] 其二，是通过大量重复试验发现随机事件发生的频率具有稳定性，感悟用频率估计概率的道理，这是统计与概率之间的纽带. 通过这个纽带，可以引导学生动手实践，充分体验频率与概率之间的关系，积累数学活动经验，提升数学核心素养.

例2 （辽宁·铁岭卷）如图1，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成. 向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上），击中阴影区域的概率是        .

目标解析：以游戏为背景，考查几何概型的概率.

解法分析：设图1中每个小正方形的面积为1，则大正方形的面积为9. 根据题意，图中阴影部分的面积为3，则[P击中阴影区域＝3/9=1/3.] 故答案为[1/3.]

试题分析：该题要求学生结合生活实际，利用面积法求概率的几何概型问题，难度较低.

类题赏析：（江苏·苏州卷）如图2，在[5×6]的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形[OAB]的圆心及弧的两端均为格点. 假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形[OAB]（阴影部分）的概率是（    ）.

（A）[π12] （B）[π24]

（C）[10π60] （D）[5π60]

答案：A.

【評析】此题考查几何概型概率的求法. 首先，根据题意用面积表示代数关系，一般用阴影区域表示所求事件；然后，计算阴影区域的面积在总面积中所占的比例，这个比例即事件发生的概率. 此题以常见的游戏为题材，贴近学生生活，能够有效激发学生的学习兴趣.

例3 （四川·自贡卷）为了比较甲、乙两鱼池中的鱼苗数目，小明从两鱼池中各捞出100条鱼苗，每条做好记号，然后放回原鱼池. 一段时间后，在同样的地方，小明再从甲、乙两鱼池中各捞出100条鱼苗，发现其中有记号的鱼苗分别是5条、10条，可以初步估计鱼苗数目较多的是      鱼池（填“甲”或“乙”）.

目标解析：此题以比较池塘中鱼苗的数目为背景考查样本估计总体，以及用样本的概率估计总体的概率，考查了学生的数据观念.

解法分析：由题意可得，甲鱼池中的鱼苗数目约为[100÷5100=2 000]（条）；乙鱼池中的鱼苗数目约为[100÷10100=1 000]（条）. 因为2 000＞1 000，所以初步估计鱼苗数目较多的是甲鱼池. 故答案为甲.

试题分析：解答此题的关键是明确整个鱼池中有记号的鱼苗所占的比例等于捞出的鱼苗中有记号的鱼苗所占的比例，即可以用样本的概率估计总体的概率.

类题赏析：（湖南·长沙卷）为了解某校学生对湖南省“强省会战略”的知晓情况，从该校全体1 000名学生中，随机抽取了100名学生进行调查. 结果显示有95名学生知晓. 由此，估计该校全体学生中知晓湖南省“强省会战略”的学生有      .

答案：950名.

【评析】此题主要考查利用样本估计总体，熟练掌握样本估计总体的思想及计算方法是解题的关键.

例4 （山西卷）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”. 小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐. 小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），如图3，让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（    ）.

（A）[23] （B）[12] （C）[16] （D）[18]

目标解析：此题以“二十四节气”和邮票为素材，考查用列表法和画树状图法求概率，渗透了我国优秀的传统文化，激发了学生的爱国情怀.

解法分析：设用A表示立春，用B表示立夏，用C表示秋分，用D表示大寒，画树状图如图4所示.

由上可得，共有12种等可能的结果. 其中，小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的结果有2种. 所以小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是[212=16.] 故答案为选项C.

试题分析：正确画出树状图是解题的关键，同时要区分好放回抽样和不放回抽样. 此题为不放回抽样.

类题赏析：（湖南·岳阳卷）守护好一江碧水，打造长江最美岸线. 江豚、麋鹿、天鹅已成为岳阳“吉祥三宝”的新名片. 某校生物兴趣小组设计了3张环保宣传卡片，正面图案如图5所示，它们除此之外完全相同.

（1）将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的卡片正面图案恰好是“麋鹿”的概率为       ；

（2）将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的两张卡片中随机抽取一张，试用列表或画树状图的方法，求抽取的卡片正面图案恰好是“江豚”和“天鹅”的概率.

答案：（1）[13；]（2）[13.]

【评析】对于第（1）小题，直接利用概率公式求解即可；对于第（2）小题，将江豚、麋鹿、天鹅三张卡片分别记作①、②、③，列表得出所有等可能的结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可. 此题既考查了概率相关知识，又发展了学生解决问题的能力，同时拓展了学生的视野.

3. 统计与概率结合解决实际问题

例5 （湖北·恩施州卷）2022年4月29日，湖北日报联合夏风教室发起“劳动最光荣，加油好少年”主题活动. 某校学生积极参与本次主题活动，为了解该校学生参与本次主题活动的情况，随机抽取该校部分学生进行调查. 根据调查结果绘制如图6和图7所示的不完整的统计图. 试结合图中信息解答下列问题.

（1）本次共调查了    名学生，并补全条形统计图.

（2）若该校共有1 200名学生参加本次主题活动，则本次活动中该校“洗衣服”的学生约有多少名？

（3）现从参与本次主题活动的甲、乙、丙、丁4名学生中，随机抽取2名学生谈一谈劳动感受. 试用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人同时被抽中的概率.

目标解析：此题以湖北日报号召发起的“劳动最光荣，加油好少年”主题活动为话题，从样本估计总体、条形统计图、列表法与画树状图法求概率等方面考查统计和概率知识的综合应用.

解法分析：（1）40 ÷ 20% = 200（人），200 - 40 - 50 - 30 - 20 = 60（人）.

故共调查了200名学生. 补全的条形统计图如图8所示.

（2）[1 200×50200=300]（人），

故该校1 200名学生中参与“洗衣服”的学生约有300名.

（3）从甲、乙、丙、丁4人中选择2人所有可能出现的结果情况如表1所示.

由表1可知，共有12种等可能出现的结果. 其中，甲、乙同时被抽中有2种结果.

所以甲、乙同时被抽中的概率为[212=16.]

试题分析：此题既考查统计与概率问题，又渗透劳动教育，让劳动意识深入人心，给学生传递一种积极向上的氛围，让学生从中体会到正能量，较好地发挥了中考试题的育人导向和育人价值，较好地贯彻了“五育并举”教育方针，有利于提升學生用数学知识解决问题的应用意识，体现了数学应用的广泛性和数学学科的育人价值.

类题赏析：（四川·广安卷）某校在开展线上教学期间，为了解七年级学生每天在家进行体育活动的时间（单位：h），随机调查了该年级的部分学生. 根据调查结果，绘制出扇形统计图（如图9）和条形统计图（如图10），试根据相关信息，解答下列问题.

（1）本次随机调查的学生共有      人，图9中m的值为        .

（2）试补全条形统计图.

（3）体育活动时间不足1小时的4人中有3名女生A1，A2，A3和1名男生B. 为了解他们在家体育活动的实际情况，从这4人中随机抽取2人进行电话回访，试用列表法或画树状图法，求恰好抽到两名女生的概率.

答案：（1）40，15；

（2）在家进行体育活动的时间为1.2 h的人数为40 × 15% = 6（人）.

补全的条形统计图如图11所示.

（3）列表如表2所示.

共有12种可能的结果，恰好抽到两名女生的有6种结果，所以抽到两名女生的概率为[612＝12.]

【评析】此题考查了列表法和画树状图法，即利用列表法或画树状图法展示所有可能的结果，再从中选出符合事件A或B的结果数目，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率.

二、优秀试题分析

“随机事件的概率”试题往往会涉及时事热点、身边安全或传统文化，以让学生体会概率知识与实际生活的密切联系. 无论是传统的几种问题情境（如摸球、转盘、掷骰子、抛硬币），还是生活化背景，都旨在培养学生对简单随机事件概率问题本质的理解. 2022年中考“随机事件的概率”相关试题选材鲜活、难度适中，对当前的初中数学教学具有积极的指导意义.

例6 （山东·临沂卷）为做好疫情防控工作，某学校门口设置了A，B两条体温快速检测通道，该校同学王明和李强均从通道A入校的概率是（    ）.

（A）[14] （B）[13]

（C）[12] （D）[34]

题意理解：此题与实际生活情境紧密结合，主要考查用列表法或画树状图法求概率.

思路探求：先画树状图，明确两名学生过通道的可能结果共有4种，然后利用概率公式求解即可.

书写表达：画树状图如图12所示.

由图12可知，共有4种等可能的结果. 其中，王明和李强均从通道A入校的结果只有1种. 所以王明和李强均从通道A入校的概率为[14]. 故此题选择A.

回顾反思：该题考查用列表法和画树状图法求概率，以及学生的逻辑推理能力. 试题形式新颖，紧扣时事，引导学生重视数学核心知识、关注社会热点问题，体会数学既来源于生活，又服务于生活.

例7 （贵州·遵义卷）如图13，甲、乙两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形（两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同），转盘甲上的数字分别是-6，-1，8，转盘乙上的数字分别是-4，5，7（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）.

（1）转动转盘，转盘甲指针指向正数的概率是          ；转盘乙指针指向正数的概率是          .

（2）若同时转动两个转盘，转盘甲指针所指的数字记为[a，] 转盘乙指针所指的数字记为[b，] 试用列表或画树状图法求满足[a+b<0]的概率.

题意理解：此题以常见的转盘游戏为背景，考查用列表法或画树状图法求简单随机事件的概率，列举出所有可能出现的结果是正确解答的关键.

思路探求：第（1）小题，先用列举法列出所有等可能的结果，再找出所有正数的结果，最后利用概率公式求解即可. 第（2）小题，先用列表法列出所有可能出现的结果，再计算，判断符合[a+b<0]的结果总数，最后利用概率公式求解即可.

书写表达：（1）转盘甲被等分为3份，其中1份标有正数，所以转动转盘甲1次，指针指向正数的概率是[13；] 转盘乙也被等分为3份，其中2份标有正数，所以转动转盘乙1次，指针指向正数的概率是[23.] 故答案为[13， 23.]

（2）同时转动两个转盘，指针所指的数字所有可能出现的结果如表3所示.

共有9种等可能出现的结果，其中两个转盘指针所指数字之和为负数的有3种. 所以同时转动两个转盘，指针所指数字之和为负数的概率为[39=13，] 即满足a + b＜0的概率为[13.]

回顾反思：此题先考查用列举法求随机事件的概率，再考查用树状图或者列表法求事件的概率，同时考查了正数的概念和不等式的基本运算. 在数学知识层面、数学能力层面和创新思维层面都对学生进行了很好的考查，具有较好的选拔功能.

例8 （湖南·衡阳卷）为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某学校拟开展“双减”背景下的初中数学活动型作业成果展示现场会. 为了解学生最喜爱的项目，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如图14所示的两幅不完整的统计图.

根据以上信息，解答下列问题.

（1）参与此次抽样调查的学生人数是       ，补全统计图14（a）（要求在条形图上方注明人数）；

（2）图14（b）中扇形[C]的圆心角度数为      ；

（3）若参加成果展示活动的学生共有1 200人，估计其中最喜爱“测量”项目的学生人数是多少；

（4）计划在A，B，C，D，E五项活动中随机选取两项作为直播项目，试用列表或画树状图的方法，求恰好选中B，E这两项活动的概率.

题意理解：此题以“双减”为背景命题，考查学生数据的收集与整理、统计与概率的应用、数据分析与运算能力.

思路探求：第（1）小题，从两个统计图中可得样本中选择七巧板的有36人，占调查人数的30%. 由频率 =[频数总数，] 即可求出答案，进而可以补全条形统计图. 第（2）小题，求出扇形[C]所占的百分比，即可求出相应的圆心角的度数. 第（3）小题，求出样本中参与“测量”所占的百分比，进而估计总体中“测量”的百分比，求出相应人数即可. 第（4）小题，用列表法表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率即可.

书写表达：（1）120人；

补全的统计图如图15所示.

（2）90°.

（3）300.

（4）在A，B，C，D，E五项活动中随机选取两项，所有可能出现的结果如表4所示.

共有20种等可能出现的结果. 其中，恰好选中B，E这两项活动的有2种，所以恰好选中B，E这两项活动的概率为[220=110.]

回顾反思：此题考查扇形统计图和条形统计图的相关知识，以及考查用列表法或画树状图法求简单随机事件的概率. 理解条形统计图、扇形统计图中数量之间的关系，以及列举出所有等可能出现的结果，是正确解答的前提. 因此，教师要重视教材，帮助学生掌握“四基”，从而提高学生的“四能”.

三、复习备考建议

综上可见，2022年中考对“随机事件的概率”试题的考查，紧扣《标准》要求，不断推陈出新，展现亮点，同时呈现出了比较稳定的规律. 对于2023年中考“随机事件的概率”专题的备考，笔者从以下三个方面给出建议.

1. 突破重点和难点，厘清随机事件的概率知识之间的内在联系，构建专题思维导图

从近几年全国各地区中考“随机事件的概率”试题来看，考查单一知识点的试题有很多，题型以选择题和填空题为主，试题多以中低档形式呈现. 因此，教师在教学中要重视基本概念，把教材中关于概率的知识点串起来，构建知识网络图（如图16），以提高学生分析和推理的思维品质.

在中考复习中，形成知识结构网络有利于学生对知识的存储和记忆，有利于学生在考试时对所学知识的提取和运用. 知识结构网络由教师提供大方向，先让学生尝试自主构建，然后对照教材补充、完善，最后师生之间进行比较、交流. 同时，教师要重视教材的基础性和示范作用，要讲清楚数学概念、原理和方法等，落实“四基”和“四能”，引导学生养成从教材中的基本概念出发解决问题的习惯.

2. 关注易错点，针对薄弱环节进行专题强化训练，确保基础扎实、稳固

“随机事件的概率”试题中，选择题和填空题主要考查的是学生对知识的了解和理解层次，解答题主要考查的是学生对知识的掌握和运用层次. 因此，专题复习时，教师一定要认真研究《标准》中涉及概率部分的要求，重点关注如下易错点：（1）对概率意义的理解；（2）试验具体分几步，每一步具体做什么，再选择合理的列举法；（3）认真审题，识别是“放回”抽取还是“不放回”抽取，再精准计算；（4）理解用样本估计总体的应用，培养统计应用的意识. 针对学生学习的薄弱环节，教师需要引导学生加深对内容的理解，从而扎实掌握该部分内容.

3. 重视综合应用，关注学生的思维品质，培养数学核心素养

受知识水平和思维水平的限制，学生从图表中获取信息的能力和阅读理解能力相对较弱，因此学生不容易透彻理解概率试题. 对此，在复习中，教师要紧扣《标准》要求，突出概率的核心知识和基本思想，关注概率的应用性，注重培养学生思维的严谨性和灵活性. 尤其是对于结合生产、生活实际的试题，以及与统计、代数、几何等领域相结合的综合性试题，教师要引导学生过滤试题的实际背景，抓住数学本质，从而提高学生分析问题和解决问题的综合能力.

因此，在日常教学中，教师要给予学生充分的时间进行思考、讨论，使其理解概率内容中蕴含的数学思想，用思想指导行动，即会用概率的观点、统计的意识来观察、分析和理解现实世界.

四、典型模拟题

1. 某瓷砖厂在相同条件下抽取部分瓷砖做耐磨试验，结果如表5所示. 则这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是      ．（精确到0.01.）

答案：0.95．

2. 为传承中华优秀传统文化，提高学生的文化素养，学校举办“经典诵读”比赛，比赛题目分为“诗词之风”“散文之韵”“小说之趣”“戏剧之雅”四组（依次记为A，B，C，D）. 小雨和莉莉兩名同学参加比赛，其中一名同学从四组题目中随机抽取一组，然后放回，另一名同学再随机抽取一组．

（1）小雨抽到A组题目的概率是    ；

（2）试用列表法或画树状图的方法，求小雨和莉莉两名同学抽到相同题目的概率．

答案：（1）[1/4；]（2）[1/4.]

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］邓艳花，陈远刚. 事件创设稳中求新  概率求解活而不难：2021年中考“事件的概率”专题解题分析［J］. 中国数学教育（初中版），2022（3）：54-61.

［3］周启东，郑艳. 2020年中考“抽样与数据分析”专题解题分析［J］. 中国数学教育（初中版），2021（3）：18-25，31.

作者简介：唐亮（1968— ），男，副教授，主要从事中学数学课堂教学评价和竞赛研究；

胡志民（1988— ），男，中学一级教师，主要从事中学数学课堂教学与解题研究.