立足基础重能力 聚焦素养勇创新

胡鹏龙　梁凯毓

摘  要：结合《义务教育数学课程标准（2022年版）》，对2022年全国各地区中考试卷中“方程与不等式”相关试题进行解析，并给出典型试题的解题评析. 对中考评价中需要关注的重点和难点进行变式和分析，研究试题的创新趋势，以期对中考复习教学提供有效帮助.

关键词：方程与不等式；解题分析；数学素养

在初中阶段，“方程与不等式”这部分内容隶属于数与代数领域，是一类应用广泛的数学工具，帮助学生利用数量关系、数学规律、数学模型解决问题，揭示了数学中最基本的相等关系和不等关系. 这部分内容的学习有助于学生形成抽象能力、推理能力和模型观念，发展应用意识和创新意识.

“方程与不等式”部分主要包含一元一次方程、分式方程、二元一次方程组、一元二次方程、一元一次不等式和一元一次不等式组等内容. 根据《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准（2011年版）》）的要求，针对这部分内容，主要从概念、运算和应用等方面考查学生对基础知识与基本技能的掌握情况，从运算能力、推理能力和模型思想等方面考查学生的数学能力. 在新颁布的《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《标准（2022年版）》）中，对这部分内容的学业要求略有调整，这会对未来本部分内容的评价趋势产生影响. 文章通過汇总2022年全国各地区中考试卷中“方程与不等式”部分的试题，分析这部分内容的评价方法和趋势，进而改进这部分内容的课堂教学，提升学科育人价值.

一、试题特点分析

2022年全国各地区中考“方程与不等式”内容的考查遵循《标准（2011年版）》的要求，借鉴《标准（2022年版）》的理念，从初中数学课堂教学的实际出发，关注基础知识，注重能力掌握，突出联系实际. 试题设置较为新颖，体现了基础性、综合性、应用性和创新性.

1. 注重面向全体，体现试题考查的基础性

2022年全国各地区中考试卷中“方程与不等式”部分均含有一定比例的基础题，以考查方程、方程组、不等式、不等式组的解法的试题居多，且方程或不等式中较少出现含有分数系数的项，计算的难度不大. 以考查二元一次方程组的解法为例，多数试题在使用代入消元法解题和使用加减消元法解题的步骤及复杂程度是相同的，即在解法上没有倾向性. 在考查一元二次方程的试题中，除考查解法以外，也侧重考查了一元二次方程根的判别式，但也仅是以直接考查为主，并未在计算的复杂性和思维的综合性上做太多文章. 针对该部分内容，试题的设计注重通性通法，难度适中，引导学生重视基础知识.

例1 （浙江·台州卷）解方程组：[x+2y=4，x+3y=5.]

目标解析：此题主要考查解二元一次方程组，以及学生的运算能力. 解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键.

解法分析：解此题既可以使用代入消元法，也可以使用加减消元法. 例如，可以通过加减消元法消去x，求出y的值，再将y的值代入[x+2y=4]或[x+3y=5]，求出x的值即可得出答案. 原方程组的解为[x=2，y=1.]

试题分析：此题属于各版本教材中的常见题型. 问题虽然简单，但是学生容易在加减消元的过程中出现错误. 为了避免出现错误，教师在教学过程中应注重强调解题的一般方法，注意消元时两个方程的运算顺序.

类题赏析：（湖北·随州卷）已知二元一次方程组[x+2y=4，2x+y=5，] 则x - y的值为      .

【评析】此题无需解方程组，将两式相减即可得到答案.

例2 （浙江·温州卷）若关于x的方程x2 + 6x + c = 0有两个相等的实数根，则c的值是（  ）.

（A）36 （B）-36

（C）9 （D）-9

目标解析：此题主要考查根的判别式，以及学生的运算能力和推理能力. 解题的关键是明确一元二次方程有两个相等的实数根时Δ = 0.

解法分析：由方程x2 + 6x + c = 0有两个相等的实数根，可知Δ = 62 - 4c = 0. 由此即可计算出c的值为9. 故此题选择C.

试题分析：此题难度不大，但学生在计算方程62 - 4c = 0时容易出现错误. 教师在教学过程中应注重强调解一元一次方程的一般步骤，避免学生出现移项不变号或者系数不化为1等情况.

类题赏析：（山东·滨州卷）一元二次方程2x2 - 5x + 6 = 0的根的情况为（  ）.

（A）无实数根

（B）有两个不等的实数根

（C）有两个相等的实数根

（D）不能判定

【评析】此题虽然与例2的考查方式不同，但都主要考查根的判别式. 解答此类题的关键是明确一元二次方程的根的情况与根的判别式的关系.

例3 （江苏·苏州卷）解方程：[xx+1+3x=]1.

目标解析：此题主要考查解分式方程，以及学生的运算能力. 解题的关键是掌握解分式方程的一般步骤，特别要注意解分式方程必须检验.

解法分析：先将分式方程两边同时乘[xx+1]，化为整式方程[x2+3x+1=xx+1.] 解整式方程，得x[=][-32]，再检验即可得答案.

试题分析：此题本身不难，但学生容易忘记验根. 在教学过程中，教师应注重引导学生抓住问题的本质进行分析，对“为什么分式方程必须检验”进行解释说明，以加深学生对分式方程的解法的理解.

类题赏析：江苏宿迁卷第20题.

2. 注重知识融合，体现试题考查的综合性

《标准（2022年版）》优化了课程内容结构，指出“以习近平新时代中国特色社会主义思想为统领，基于核心素养发展要求，遴选重要观念、主题内容和基础知识，设计课程内容，增强内容与育人目标的联系，优化内容组织形式. 设立跨学科主题学习活动，加强学科间相互关联，带动课程综合化实施，强化实践性要求”. 2022年全国各地区中考试卷中“方程与不等式”部分注重数学知识之间、学科之间的相互关联，全面考查学生的综合素质. 既有以其他学科知识为背景的试题，也有以方程与不等式、方程组与不等式、方程与函数、方程组与函数知识融合的试题，要求学生能够综合运用所学知识解决问题.

例4 （山东·滨州卷）在物理学中，导体中的电流I跟导体两端的电压U、导体的电阻R之间有以下关系：I[=UR]，去分母得IR = U，那么其变形的依据是（  ）.

（A）等式的性质1

（B）等式的性质2

（C）分式的基本性质

（D）不等式的性质2

目标解析：此题主要考查等式的基本性质，以及学生的运算能力和推理能力. 等式的基本性质主要包括如下两点：（1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；（2）等式两边都乘（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式.

解法分析：将等式I[=UR]去分母，得IR = U. 实质上是在等式的两边同时乘R，用到的是等式的基本性质2. 故此题选择B.

试题分析：此题从数学的角度研究导体中的电流I和导体两端的电压U、导体的电阻R之间的关系，既关注了对等式性质的考查，又体现了数学学科与物理学科之间的融会贯通，体现了综合与实践的最新要求. 此题的问题情境来源于物理中的一个常见公式. 如果学生对等式的基本性质或者分式的基本性质理解不深刻，易错选选项A或选项C. 在教学过程中，教师应注重抓住问题的本质进行教学，以加深学生对等式的基本性质、分式的基本性质的理解.

类题赏析：（吉林卷）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg / m3）随之变化. 已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图1所示.

（1）求密度ρ关于体积V的函数解析式.

（2）当V = 10 m3时，求该气体的密度ρ.

【评析】此题与例4均体现了跨学科（数学与物理）之间的融合，问题情境均来源于物理中的常见公式，但此题主要考查函数知识.

例5 （重庆B卷）关于x的分式方程[3x-ax-3+x+13-x=]1的解为正数，且关于y的不等式组[y+9≤2y+2，2y-a3>1]的解集为y ≥ 5，则所有满足条件的整数a的值之和是（  ）.

（A）13 （B）15

（C）18 （D）20

目标解析：此题主要考查分式方程的解、解一元一次不等式组、求一元一次不等式的整数解，以及学生的运算能力和推理能力. 正确求解分式方程、一元一次不等式组、一元一次不等式是解决问题的关键.

解法分析：此题需要先解分式方程得出x = a - 2. 然后结合题意和分式方程的意义求出a > 2且a ≠ 5. 解不等式组得出[y≥5，y>a+32.] 结合题意得出a < 7. 进而得出2 < a < 7，且a ≠ 5. 继而得出所有满足条件的整数a的值之和为3 + 4 + 6 = 13. 故此题选择A.

试题分析：此题虽然难度较大、综合性较强，但问题的解决仍然离不开教材中对解分式方程、解一元一次不等式组、解一元一次不等式等知识的基本要求. 学生解题过程中有两个易错点：一是容易忽略a ≠ 5，这样就得到了错解C；二是错误地认为a的值可以是7，这样就得到了错解D. 要防范学生出现错误，教师在教学过程中应注重强调解分式方程、解一元一次不等式的基本步骤、基本方法和基本原理，避免学生对这部分知识掌握得含糊不清、模棱两可.

类题赏析：重庆A卷第11题.

例6 （四川·泸州卷）某经销商计划购进A，B两种农产品. 已知购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元.

（1）A，B两种农产品每件的价格分别是多少？

（2）该经销商计划用不超过5 400元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍. 如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？

目标解析：此题主要考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用和一次函数的应用，以及学生的运算能力、推理能力、模型观念和应用意识. 解此题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程組；（2）根据各数量之间的关系，找出利润关于件数的函数关系式.

解法分析：（1）设每件A种农产品的价格是x元，每件B种农产品的价格是y元. 根据“购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组[2x+3y=690，x+4y=720.] 解之即可得出A种农产品每件的价格是120元，B种农产品每件的价格是150元.

（2）设该经销商购进m件A种农产品，则购进[40-m]件B种农产品，根据“总价 = 单价 × 数量”，结合购进A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍且总价不超过5 400元，即可得出关于m的一元一次不等式组[m≤340-m，120m+15040-m≤5 400.] 解之即可得出m的取值范围为20 ≤ m ≤ 30.

设两种农产品全部售出后获得的总利润为w元，利用“总利润 = 每件的销售利润 × 销售数量”，即可得出w关于m的函数关系式[w=160-120m+200-150 ·][40-m=-10m+2 000.] 再利用一次函数的性质可知w随m的增大而减小. 所以当m = 20时，w取得最大值，此时40 - m = 40 - 20 = 20，即可解决问题.

试题分析：此题以日常生活、生产活动中的实际问题为背景命制，虽然综合性较强，但问题的解决仍离不开教材中对二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，以及一次函数的应用的基本要求. 学生在解题过程中可能会遇到两个问题：一是不知道怎样找等量关系；二是不知道怎样列函数关系式. 为了解决这两个问题，建议教师在教学过程中帮助学生明确找等量关系、列函数关系式的基本方法，助力学生理解到位.

类题赏析：四川广元卷第23题.

3. 注重联系实际，体现试题考查的应用性

我国伟大的数学家华罗庚先生曾经对数学有过这样精辟的论述：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁等各个方面，无处不有数学的重要贡献.《标准（2022年版）》中指出：关注社会生活中与数学相关的信息，主动参与数学活动；在解决数学问题的过程中，能够克服困难，树立学好数学的信心，感受数学在实际生活中的应用，体会数学的价值，欣赏并尝试创造数学美；养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑的学习习惯. 在日常的数学教学中，教师要从学生的生活背景和已有生活体验出发，联系生活教数学，把生活问题数学化、数学问题生活化. 2022年全国各地区中考试卷中的“方程与不等式”试题也不乏以日常生活、生产活动中的实际问题为背景的试题，注重结合当地的生活实际和文化特色，引导学生理论联系实际，体会数学的应用价值.

例7 （重庆B卷）学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树625棵. 设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（  ）.

（A） [6251-x2=400]

（B） [4001+x2=625]

（C）625x2 = 400

（D）400x2 = 625

目标解析：此题主要考查列一元二次方程解决实际问题，以及学生的推理能力、模型观念和应用意识. 读懂题意，找准等量关系列方程是解决此题的关键.

解法分析：根据“第三年的植树量 = 第一年的植树量 × （1 + 年平均增长率）2”，把相关数值代入即可得[4001+x2=625.] 故此题选择B.

试题分析：此题关注了社会生活中与数学相关的信息，难度不大. 但学生如果对年平均增长率的理解不到位，就容易选择错误选项. 在教学过程中，教师应加强学生对年平均增长率的理解.

类题赏析：重庆A卷第8题.

例8 （山东·泰安卷）泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A种茶30盒，B种茶20盒，共花费6 000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A种茶20盒，B种茶15盒，共花费5 100元. 求第一次购进的A，B两种茶每盒的价格.

目标解析：此题主要考查二元一次方程组的应用，以及学生的运算能力、推理能力、模型观念和应用意识. 找准等量关系，正确列出二元一次方程組是解题的关键.

解法分析：设第一次购进A种茶的价格为x元 / 盒，购进B种茶的价格为y元 / 盒. 利用“总价 = 单价 × 数量”，即可以得到关于x，y的二元一次方程组[30x+20y=6 000，20×1+20%x+15×1+20%y=5 100.] 解之即可得出第一次购进A种茶的价格为100元 / 盒，B种茶的价格为150元 / 盒.

试题分析：此题以泰安本地的生活实际为背景进行命制，体现了很强的地域文化特色，引导学生在解决问题的过程中对家乡的文化有更多的了解，理论联系实际，体现了数学的应用价值，同时培养了学生对家乡的自豪感，渗透了德育教育. 在教学过程中，教师应帮助学生明确找等量关系的基本方法，助力学生理解到位.

类题赏析：浙江舟山卷第8题.

例9 （四川·乐山卷）第十四届四川省运动会定于2022年8月8日在乐山市举办. 为保证省运会期间各场馆用电设施的正常运行，市供电局为此进行了电力抢修演练. 现抽调区县电力维修工人到20千米远的市体育馆进行电力抢修. 维修工人骑摩托车先行出发，10分钟后，抢修车装载完所需材料再出发，结果他们同时到达体育馆. 已知抢修车是摩托车速度的1.5倍，求摩托车的速度.

目标解析：此题主要考查分式方程的应用，以及学生的运算能力、推理能力、模型观念和应用意识. 找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.

解法分析：设摩托车的速度为x千米 / 时，则抢修车的速度为1.5x千米 / 时. 根据“时间 = 路程 ÷ 速度”，结合骑摩托车的维修工人比乘坐抢修车的工人多用10分钟到达，即可得出关于x的分式方程[20x-201.5x=][1060]. 解之经检验后即可得出摩托车的速度为40千米 / 时.

试题分析：此题同样体现了很强的地域特色，素材来源于乐山当地的实际背景，渗透了德育教育. 在教学过程中，教师应帮助学生明确“为什么列分式方程解应用题要双重检验”，助力学生理解到位.

类题赏析：吉林长春卷第17题.

4. 注重创新思维，体现试题考查的创新性

根据《标准（2022年版）》，初中阶段核心素养的表现之一就是创新意识. 创新意识主要是指主动尝试从日常生活、自然现象或科学情境中发现和提出有意义的数学问题. 初步学会通过具体的实例，运用归纳和类比发现数学关系与规律，提出数学命题与猜想，并加以验证；勇于探索一些开放性的、非常规的实际问题与数学问题. 创新意识有助于形成独立思考、敢于质疑的科学态度与理性精神. 而中考命题中的创新会给学生的发展以方向性的引导，通过创新性试题引导教师注重提升学生分析问题、解决问题的能力，鼓励学生切合实际的创新性思维. 2022年全国各地区中考试卷中“方程与不等式”部分的一些试题通过设置新颖的呈现方式和设问方式，合理创设情境，有效促进学生积极思考、学以致用.

例10 （四川·乐山卷）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”. 如图2所示，“优美矩形”ABCD的周长为26，则正方形d的边长为      .

目标解析：此题主要考查一元一次方程的应用，以及学生的运算能力、推理能力、模型观念和应用意识，兼顾几何直观. 找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键.

解法分析：设正方形b的边长为x，则正方形a的边长为2x，正方形c的邊长为3x，正方形d的边长为5x. 利用矩形的周长计算公式，即可得出关于x的一元一次方程[3x+5x+5x×2=26.] 解之即可求出x = 1. 从而得出正方形d的边长为5.

试题分析：此题设置了一个较为新颖的试题呈现方式，新定义了一个“优美矩形”，看似无从下手，但其实质是考查一元一次方程的应用. 只需找准等量关系，即可解决问题. 教师在教学中应注意引导学生关注教材中的基础知识，找到试题与教材知识的内在关联，引导学生应用基础知识、基本技能和基本方法解题.

类题赏析：（浙江·宁波卷）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a?b[=1a+1b]. 若（x + 1）?x =[2x+1x]，则x的值为        .

【评析】此题同样以新定义的方式设置了一道较为新颖的试题. 不同的是，此题定义了一种新运算，但其实质是考查解分式方程. 只需根据新定义列出分式方程并解出未知数的值即可解决问题.

二、优秀试题分析

2022年中考诸多“方程与不等式”试题立意明确、背景新颖、选材精当、设问灵活、层次清晰，且实测难度合适，区分度优秀，较好地实现了中考数学“选拔、评价、引导、反拨”一体化的测评功能，反映了中考数学的命题方向.

例11 （吉林·长春卷）不等式x + 2 > 3的解集是（    ）.

（A）x < 1 （B）x < 5

（C）x > 1 （D）x > 5

目标解析：此题主要考查解一元一次不等式，以及学生的运算能力. 熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键.

解法分析：直接移项解一元一次不等式即可. 此题选择C.

试题分析：此题要求学生能够运用不等式的基本性质解一元一次不等式. 试题虽然简单，但是学生答题过程中既要知道移项需要变号，又要清楚不等号的方向什么时候需要改变，不失为一道好题.

类题赏析：（湖南·衡阳卷）不等式组[x+2≥1，2x

（A）[-2][-1][0][1][2][3] [4] [-3][-4]

（B） [-2][-1][0][1][2][3] [4] [-3][-4]

（C）[-2][-1][0][1][2][3] [4] [-3][-4]

（D）[-2][-1][0][1][2][3] [4] [-3][-4]

【评析】此题除了要求学生能解数字系数的一元一次不等式以外，还要求学生能在数轴上表示出解集．具体来讲，就是解两个不等式，然后把每个不等式的解集表示在数轴上即可．

例12 （四川·凉山州卷）解方程：x2 - 2x - 3 = 0.

目标解析：此题主要考查解一元二次方程，以及学生的运算能力. 熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.

解法分析：通过观察方程形式，可用配方法、公式法、因式分解法中的任意一种方法进行解答（此题方程左侧的多项式可用十字相乘法因式分解，《标准（2022年版）》中对此方法未做必会要求）. 例如，此题可以采用配方法，由x2 - 2x - 3 = 0，得到x2 - 2x + 1 = 3 + 1. 从而得到[x-12=4]. 解得[x1=-1，x2=3．]

试题分析：此题虽然简单，但无论采用哪种方法解题都不会在解题的复杂性上有太大区别，体现了解法上的公平性.

类题赏析：（天津卷）方程x2 + 4x + 3 = 0的两个根为（    ）.

（A）x1 = 1，x2 = 3 （B）x1 = -1，x2 = 3

（C）x1 = 1，x2 = -3 （D）x1 = -1，x2 = -3

【评析】此题以选择题的形式呈现，除了直接解方程外，也可以充分利用选择题选项的提示功能，将选项依次代入方程得到答案．

例13 （江苏·扬州卷）某中学为准备十四岁青春仪式，原计划由八年级（1）班的4个小组制作360面彩旗，后因1个小组另有任务，其余3个小组的每名学生要比原计划多做3面彩旗才能完成任务. 如果这4个小组的人数相等，那么每个小组有学生多少名？

目标解析：此题考查学生的运算能力、推理能力、模型观念和应用意识. 要求学生能够根据具体问题中的数量关系列出方程，找等量关系是列方程的关键和难点.

解法分析：此题考查了分式方程的应用，根据题意列出分式方程是解决问题的关键. 设每个小组有x名学生，由题意，得[3603x-3604x=3]. 解得x = 10. 检验后即可得出答案．

试题分析：此题与一般分式方程应用题相比稍显复杂，但寻求等量关系离不开教材中的常见方法. 需要注意的是：此题不仅要解分式方程并检验，还要根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理，即需要双重检验.

类题赏析：四川自贡卷第21题．

例14 （吉林卷）《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛. 1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶可以盛酒x斛、1个小桶可以盛酒y斛. 根据题意，可列方程组为                 .

目标解析：此题考查学生的推理能力、模型观念和应用意识，要求学生能够根据具体问题中的数量关系列出方程组. 找等量关系是列方程组的关键和难点.

解法分析：此题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组是解决问题的关键. 1个大桶可以盛酒x斛、1个小桶可以盛酒y斛，根据题意，可列方程组为[5x+y=3，x+5y=2.]

试题分析：此题来源于人教版《义务教育教科书·数学》七年级下册第八章“二元一次方程组”复习题第8题. 问题背景取材于中国传统数学著作《九章算术》中记载的典故，引用了体现中国数学家贡献的素材，反映了我国古代数学的成就，注重了情境素材的育人功能，增强了学生的文化自信和民族自豪感，同时很好地体现了数学文化的传承与创新.

类题赏析：（浙江·绍兴卷）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”其题意为：“良马每天行240里，劣马每天行150里，劣马先行12天，良马要几天追上劣马？”答：良马追上劣马需要的天数是       .

【评析】此题不仅要求学生能列出方程，还要解方程，并能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理．

以上试题中，例11和例12是基础题，考查基础知识和基本技能，注重面向全体学生，兼顾不同层次的学生，可以客观、公正地评价每名学生的学习水平；例13改编于教材中的习题，例14更是教材中的原题．由以上例题可以看出，2022年中考“方程与不等式”试题的命制注重对核心知识与能力，以及过程与方法的考查，尽可能体现初中数学学科的本质，试题内容考查要求及呈现方式力争符合学生的年龄特点和认知规律；重视对基础题的考查，重视试题与教材的衔接与关联. 因此，教师在教学中要逐渐增加教材选题或以教材中的问题作为生长点变式编题的数量，将教材中的阅读与思考和数学活动等内容作为编题素材，即注重基础、重视教材．

三、复习备考建议

1. 关注课程标准，未雨绸缪

《标准（2022年版）》删除了《标准（2011年版）》中小学阶段方程的部分，加强了对用字母表达数量关系的要求，将小学阶段“数与代数”领域的内容整合为“数与运算”“数量关系”，注重在小学阶段的算术教学中渗透代数思维；初中阶段增加了“了解一元二次方程根与系数的关系”，并要求了解代数推理. 这些变化呈现出一个明显特征：以学科内容为核心，实现对小学与初中内容的整体理解. 初中教师应该关注这一导向，调整以往的教学思路，制订符合《标准（2022年版）》的教学方案，加大对初中方程知识的教学力度.

2. 回归教材，夯实基础

中考试题注重对学生将来学习和生活中不可或缺的知识、能力和素养的考查. 无论试题以什么形式出现，都不会脱离数学中最基础、最本质的核心知识，而核心知识都来源于教材，因此教学最终应回归教材，极尽夯实基础. 只有根基足够深厚，才能枝繁叶茂.

综观2022年全国各地区中考“方程与不等式”试题，较少出现单独考查一元一次方程解法的试题，以考查二元一次方程组、分式方程、一元一次不等式和一元一次不等式组、一元二次方程解法的试题居多. 但仔细思考会发现：解二元一次方程组需要通过消元化为一元一次方程；解一元二次方程需要通过降次化为一元一次方程；解分式方程也需要通过“去分母”转化为一元一次方程；解一元一次不等式需要遵循解一元一次方程的基本步骤，即去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 综上，以上方程（组）或不等式（组）的解法，均需要从一元一次方程的解法出发，即一元一次方程的解法仍然是教学的核心，需要引起重视.

3. 梳理知识，形成网络

以“方程和不等式”这部分內容为例，其各知识点之间不是孤立的，而是处于知识网络当中. 通过前面的例题可以看到，中考中不乏有将方程（组）与不等式结合、方程（组）与函数结合进行考查的试题. 因此，教师有必要引导学生在头脑中形成具有内在联系的知识网络.

综观2022年中考“方程和不等式”试题，单独考查一元一次方程、二元一次方程组、分式方程、一元一次不等式和一元一次不等式组时，主要以概念、运算和应用检验学生对方程与不等式内容相关的基础知识与基本技能的掌握情况，以及学生的基本数学素养，而一元二次方程除上述内容外，还要求学生会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等. 因此，对于“方程与不等式”内容，建议抓住“概念—等式（不等式）的基本性质—解法—应用”这一主线进行教学. 在一次函数的教学中，需要将其与二元一次方程、一元一次方程、一元一次不等式建立联系；在反比例函数的教学中，需要将其与分式方程建立联系；在二次函数的教学中，需要将其与一元二次方程建立联系（高中阶段还会与一元二次不等式建立联系）. 学生只有厘清这些知识之间的联系，才能将头脑中碎片化的知识系统化、网络化.

4. 关注“文化”，联系生活

中华文化源远流长.《标准（2022年版）》中明确指出：注重情境素材的育人功能，如体现中国数学家贡献的素材，帮助学生了解和领悟中华民族独特的数学智慧，增强文化自信和民族自豪感. 在2022年全国各地区中考“方程与不等式”试题中，出现了很多以中国古代数学文化为背景的试题，需要引起注意.

《标准（2022年版）》指出：注重情境的多样化，让学生感受数学在现实世界的广泛应用，体会数学的价值. 因此，中考试题的命制会关注与国家经济发展，科学技术进步，生产、生活实际等紧密相关的内容，教学中应避免与之脱节. 生活中的许多事情都与数学知识有着千丝万缕的联系，它们貌不相似，神却相通. 因此，教师在教学中应该多挖掘生活内容，将数学与生活实际结合起来，拉近学生与数学之间的距离，鼓励学生运用数学知识去解决实际问题.

5. 聚焦素养，勇于创新

《标准（2022年版）》指出：数学课程要培养学生的核心素养，即会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界. 教师在教学中应该注意制订指向核心素养的教学目标，把握教学内容主线与相应核心素养发展之间的关联，选择能引发学生思考的教学方式，进一步加强综合与实践，改进教学方式，促进学生自主学习. 预计未来的中考数学试题命制仍会将“坚持素养立意，凸显育人导向”作为首要原则，逐渐加大考查学生探索新方法、积极主动解决问题的能力，鼓励学生勇于摆脱思维定式，创新问题的设问及考查方式，灵活多变，形成对数学核心素养的有效考查. 教师在教学中应该鼓励学生独立思考、发散思维，勇于摆脱思维定式的束缚，不断创新.

四、典型模拟题

1. 若[m]，[n]是方程[x2-2 022x+1=0]的两个实数根，则[m2n+mn2]的值为      .

答案：2 022.

【评析】此题要求学生结合因式分解和一元二次方程的根与系数之间的关系来解决问题，注重知识之间的融合，体现了试题考查的综合性.

2. 俄罗斯当地时间2022年2月4日，俄罗斯天然气工业股份公司发布了一份声明，宣布俄气公司每年向中国供应天然气480亿立方米. 若自2022年起，俄气公司供应的天然气逐年增加，2024年达到580.8亿立方米. 那么，这两年俄气公司向中国供应天然气的年平均增长率是多少？

答案：[10%].

【评析】此题以实际问题为背景，体现了试题考查的应用性，注重引导学生理论联系实际，体会数学的应用价值.

3. 已知两个方程组[x+y=5，ax+by=8]和[x-3y=1，2ax+3by=15]的解相同，求[a]，[b]的值.

答案：[a=94，] [b=-1].

【评析】此题的实质是要求学生解方程组，但需要学生对“方程组的解”有较深的理解. 教师要引导学生积极思考、学以致用，体现了试题考查的创新性.

方程与不等式是刻画现实世界数量关系的有效模型，是解决数学问题和生活实际问题的有力工具，也是中考考查的重要内容. 通过以上的解题分析，我们可以得到以下的思考启示：立足基础，注重能力，聚焦素养，勇于创新.

参考文献：

［1］赵士元.“三会、四能”：数学解题教学的根本诉求［J］. 数学通报，2022，61（6）：38-41，62.

［2］陈玲.“方程与不等式”中易错点剖析［J］. 中学课程资源，2022，18（4）：33-35.

［3］彭达浩，李祎. 数学解题需要套路吗［J］. 数学通报，2022，61（5）：43-45，51.

［4］陆珺，胡晴颖. 论数学解题教学的教学［J］. 数学教育学报，2021，30（2）：55-60.

［5］董健，杨开学. 依标据本夯实基础  学以致用提升素养：2020年中考“方程与不等式”专题解题分析［J］. 中国数学教育（初中版），2021（1 / 2）：34-40，56.

［6］孙延洲，柯四清. 落实基础·加强能力·关注素养：2021年中考“方程与不等式”专题命题分析［J］. 中国数学教育（初中版），2022（1 / 2）：31-40.

基金项目：吉林省教育科学“十四五”规划2022年度一般课题——初中数学易错点的成因及应对策略的研究（GH22687）；

吉林省教育学院2022年度院级一般课题——“双减”背景下初中数学学业水平考试评价研究与实践（JL2022Y16）.

作者簡介：胡鹏龙（1982— ），男，二级教师，主要从事初中数学教学和考试评价研究；

梁凯毓（1980— ），男，讲师，博士研究生，主要从事教育测量与评价和数学教学研究.