处理抽象函数问题的常用策略

王 芳

(江苏省常熟市梅李高级中学 215500)

抽象函数是一类特殊的函数，此类函数由于没有给出具体的函数解析式，从而解题思维与常见函数的处理方法不同，故需要我们特别关注.基于此，本文对处理抽象函数问题的常用策略加以归类解析，旨在帮助同学们掌握求解此类问题的一些内在规律、特点，从而进一步提高处理抽象函数问题的解题能力.

1 借助“赋值”，探求函数的解析式与奇偶性

抽象函数问题，如果在题设条件中涉及关于两个变量的恒等式，那么具体求解时，我们不仅要注意“赋值”思想的灵活运用，而且还要注意“赋值”的各种具体方式——可以是具体的实数，也可以是一些特殊的代数式.

例1设函数f:R→R，满足f(0)=1，且对任意x，y∈R都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2，求函数f(x)的解析式.

解析注意到本题中的x，y具有任意性，于是应考虑对变量x，y如何灵活地赋值，以达到巧妙求解的目的.

因为f(0)=1，所以取x=0，则由题设得f(1)=f(0)f(y)-f(y)+2=f(y)-f(y)+2=2.

从而，取y=0，则由题设得

f(1)=f(x)f(0)-f(0)-x+2.

所以2=f(x)×1-1-x+2，

所以f(x)=x+1.

评注本题求解的切入点是：紧紧抓住f(0)=1，对变量x，y进行灵活赋值分析.

例2若函数f(x)满足：f(x)+f(y)=f(x+y)对任意x，y∈R都成立，试判断函数f(x)的奇偶性.

解析要判断函数f(x)的奇偶性，关键在于考查f(-x)与±f(x)之间满足什么关系.

取x=y=0，则有f(0)+f(0)=f(0).

所以f(0)=0.

从而取y=-x，则有

f(x)+f(-x)=f(0)=0.

即f(-x)=-f(x).

故函数f(x)为奇函数.

2借助“变形”，证明函数的单调性

证明抽象函数的单调性时，一般应根据增函数(或减函数)的定义加以论证，同时要注意在适当“变形”的基础上创造有利条件，以便灵活运用题设条件.

例3已知函数f(x)满足：f(x+y)=f(x)+f(y)-1(x，y∈R)，且当x>0时，有f(x)>1，求证：函数f(x)在R上是增函数.

证明任取x1,x2∈R,且设x1

因为x2-x1>0

所以由题设得f(x2-x1)>1.

于是，结合已知条件可得

f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)-1>1+f(x1)-1=f(x1).

即f(x2)>f(x1).

综上，根据增函数的定义即知，函数f(x)在R上是增函数.

评注将“x2”变形为“(x2-x1)+x1”是本题顺利求证的关键所在.

例4已知定义在R+上的函数f(x)满足：f(xy)=f(x)+f(y)(x,y∈(0,+∞))，且当x>1时，f(x)<0，求证：函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.

于是，结合已知条件可得

即f(x2)

综上，函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.

3 借助“作图”，速解不等式

如果题目给出抽象函数的奇偶性、单调性，那么求解相关不等式时，我们可借助适当“作图”技巧，有利于化抽象为具体，从而根据数形结合思想达到顺利求解不等式的目的.

例5已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在(0,+∞)上单调递增，f(3)=0，则不等式x·f(x)<0的解集是____.

解析先作一个适合题意的函数f(x)的图象，再按x>0,x<0分两种情况加以讨论即可.

注意到f(-3)=-f(3)=0，于是可作一个适合题意的函数f(x)的图象，如图1所示.

图1

当x>0时，因为由x·f(x)<0,得f(x)<0.

所以结合图象知此时0

当x<0时，因为由x·f(x)<0,得f(x)>0.

所以结合图象知此时-3

综上可知，不等式x·f(x)<0的解集是(-3,0)∪(0,3).

评注遇到有关抽象函数问题，一定要有数形结合的思想意识，其关键是画图、用图.如何准确地认识、利用函数的图象，也不容忽视，因为这是易错点.

解析先作一个适合题意的函数f(x)的图象，再由图作具体分析即可.

图2

4 借助“建模”，巧解选择题

处理抽象函数中的有关选择题时，我们可结合题意探寻一个具体函数加以巧妙分析，这实际上就是“建模思想”(建立函数模型)在解题中的灵活运用，有利于培养学生的数学建模能力.

例7若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1,x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，则下列说法一定正确的是( ).

A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数

C.f(x)+1为奇函数 D.f(x)+1为偶函数

解析设函数f(x)=x+c，则

因为f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，所以x1+x2+c=x1+x2+2c+1.化简,得c=-1.

所以可取一个适合题意的具体函数f(x)=x-1加以分析判断.

当函数f(x)=x-1时，显然不具有奇偶性，此时由f(x)+1=x即知f(x)+1为奇函数.故应选C.

评注参考解析可知，更一般地我们可取函数f(x)=kx-1加以分析判断.

例8已知定义在实数集R上的函数y=f(x)恒不为零，同时满足f(x+y)=f(x)·f(y)，且当x>0时，f(x)>1，那么当x<0时，一定有 ( ).

A.f(x)<-1 B.-1

C.f(x)>1 D.0

解析因为注意到指数函数满足f(x+y)=f(x)·f(y)，所以考虑题设“当x>0时，f(x)>1”，可取一个适合题意的具体函数f(x)=2x加以分析判断.

根据函数f(x)=2x的图象知：当x<0时，一定有0

评注更一般地，我们可取指数函数f(x)=ax(a>1)进行分析、判断.请关注常见函数模型的选取：①若对任意x,y∈R，有f(x+y)=f(x)+f(y)，则可取正比例函数f(x)=kx；②若对任意x,y∈R，有f(x+y)=f(x)f(y)，则可取指数函数f(x)=ax；③若对任意x,y>0，有f(xy)=f(x)+f(y)，则可取对数函数f(x)=logax；④若对任意x,y>0，有f(xy)=f(x)f(y)，则可取幂函数f(x)=xn.

总之，结合以上举例解析，可帮助我们理清处理抽象函数问题的常用策略，明确其解题的常用切入点、技巧等.一言以蔽之，求解抽象函数问题的常用策略，可高度概括为：“赋值”“变形”“作图”“建模”(八字策略).如此，尽管函数“抽象”，但是解法“具体”，从而便于轻松获解！