教轨非墨守，智慧脱尺规

王丽

［摘 要］非標准化变式训练即通过非常规或非标准的方式来训练学生的数学思维和解题能力。文章从调整形态、调整描述、调整构架、调整策略四个方面阐述了非标准化变式训练的实施路径，旨在打破传统变式训练的局限，促使学生从不同角度和层面去思考问题，从而培养他们的思维灵活性和创新能力。

［关键词］非标准变式；变式训练；数形结合；解题路径；小学数学

［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（2023）32-0078-03

变式训练是中国数学教育的一大特色，被认为是中国数学教学中促进高效学习的关键性手段。这种方法通过探究变化与恒定之间的关系来凸显数学学科的本质，已广泛应用于不同年级的数学课堂。然而，在小学教学中，这一方法的应用成效参差不齐。由于小学生的生活经验和思维发展还相对较少，在变式训练过程中难免会遇到一些无法预料的问题。近年的研究显示，在很多情况下，变式训练效果未能达到预期的原因是过度规范化，这种规范化导致学生思维单一且固化。具体而言，这种教学模式容易导致学生思维的狭隘、思考方式的僵化、逻辑推理生硬，以及缺乏解决问题的创造力。

根据经验可知，将变式训练由“标准化”转向“非标准化”能够极大地拓宽小学生思维的边界，帮助他们跳出思维的窠臼，朝着更自然、更深刻的理解方向发展。通过科学运用“非标准化”变式训练，不仅可以有效培养学生的数学表达习惯、逻辑思维和问题解决能力，同时还可以帮助学生构建知识体系，为他们之后的学习旅程铺平道路。

一、调整形态：由局部至全面，引导学生思维发展

空间与图形是一种视觉形态，而这种形态涉及运动和构造等多种属性。教师从平面与立体、感知与判断、位置与变化这些维度来设计非标准化变式，能够有效凸显空间与图形的性质，从而提升学生对知识的认知与理解。以“正方形的认识”为例，教学设计可按照以下三个步骤开展。首先，教师可以展示学生预先收集的各种几何物体，从三维物体中找二维图形。其次，通过正方形和其他图形之间的比对，明确正方形角与边的特性。随后，从大小、位置、方向三个角度开展各种变式训练，以提升学生对正方形的认知与理解。

1.融合平面与立体，实施变式认知对接

当某一知识属性保持恒定，而其他属性发生转变时，就形成了第一种变式。在教学正方形这一图形相关知识时，教师引导学生从生活物体中提炼出正方形的形状，通过对实物边的长度、数量以及角的大小等属性进行变式，提升学生对正方形边与角特性的理解。

2.注重感知和辨析，开展变式教学训练

首先，让学生观察生活中的实物并感受它们表面之间的差异性，然后专注于那些表面为正方形的立体实物，引导学生将正方形从三维物体中“提炼”出来。这一步的目的是借助多样的立体实物来达到第一个认知维度。其次，对于第二和第三认知维度，则需要对各种四边形和其他几何形状的边和角进行比较，让学生在复杂多变的非本质属性中识别出正方形，进而掌握其核心特性。

3.结合位置与变换，构建知识框架体系

通过多种非标准化变式训练，学生对正方形的初步理解已经逐渐形成，而且对其特性有了深入认识。然后，教师可以通过介绍多维度的位置及大小变化来加强学生对正方形的全面理解，并在应用中完成知识的整体构建。例如，不同大小的正方形、不同位置的正方形等维度。如此一来，非标准化变式已从知识外延范围转向了对知识核心属性的探讨。

一般而言，小学阶段的学生处于从形象思维向抽象思维过渡的转变阶段，虽然能认知和记忆图形，但在空间感上存在欠缺之处。如果教学中只开展一些标准化的变式训练，学生在面对非标准图形的问题时依然难以自主解决。因此，在这种教学情境下，适当加入各种非标准化变式，有助于学生对数学知识的全面化及系统化构建。

二、调整描述：由浅层入深层，深化学生数学认知

在数学教学工作中，表述方式可以分为示例、条件以及问题的展示等，这是整个数学教学的重要组成部分。非标准式的表述注重将形状、图像和文字进行融合转换，利用多样性以及多角度的描述来呈现教学内容，帮助学生在变化中筛选出知识核心特性，进而达到更深入的理解。以苏教版一年级下册“两位数加减两位数的进位加和退位减”教学为例，教师可以运用图形与数值相结合等多种表述方式实现对分散知识点的整合，不仅有助于学生更好地理解复杂的知识概念，还能促进他们建立系统化的知识连接。

填空题：□+11= 60      68-□=22

文字题：明明要抄写 50 个汉字，他已经抄了 17 个，还需要抄写几个？

表格题：

变化的是表述路径，不变的是知识本身，这一组练习可在强化算理的同时将不同的题型串起来，让学生的认知形成一个完整而又四通八达的体系。

1.数形并用，架设理解之桥

数形结合是一种常见的数学教学手段，它主要是用几何形状来表示数字概念，再用数字来解释几何形状。在非标准化变式训练中，可以采取数字与图形的多样化结合方式来实现教学目标。比如，在低年级，可以使用直线来教学数字的顺序和比较大小；而在高年级，运用绘制线段图的方式可让学生更清晰地了解数量关系在实际问题中的应用。

2.图文转译，通畅知识之链

例如，围绕“40-5=”这一核心算式可设计表述不同的两层变式：表述形式变式和表述内容变式。表述形式变式为“全图→半图半文→全文”，遵循儿童的思维特点，从形象向抽象过渡。在表述内容上首先将“40-5=”作为本质（不变）放在买书包的情境（变化）中，帮助儿童理解“商品价钱、找回的钱和付出的钱”之间的关系；接着再将买东西的数量关系作为本质（不变）进行商品和数字的变式。

3.文辞巧述，明确思维之向

进行运算教学时，可引入带有空白方块的问题，如“□+3=70”或“70-□=67”，有助于学生更深入地了解加法和减法算式中各元素的相互关系，再通过文字表述来开展以下非标准化变式训练。

（1）数字不变，情境变化。例如，“小明带了70元去买了一本67元的书，他还剩多少钱？”。

（2）情境不变，数字变化。例如，“小明带了70元去买了两本书，一本35元，另一本26元，正好赶上活动日可以打9折，他还剩多少钱？”。

（3）数字和情境都变化。例如，“小丽拿了50元去购买一个价值53元的玩具，正好赶上活动日，满50元可以打9折，买完后她还有多少钱？”。

通过这样多维度、多层次的非标准化变式教学，不仅能有效提升学生的计算水平，还能培养其良好的实际应用能力。

简明的文字和直观的图示是数学教学中的重要工具，二者除了可以单独使用，还能完美融合在一起，从而让数学知识变得更加连贯和系统。对于刚开始形成抽象思维的小学生而言，非标准化变式训练中对问题的多样化呈现形式能使教学过程循序渐进，能够有效引导学生探索知识的深层本质。

三、调整构架：由被动变主动，转变学生理解模式

数学中的“构架”有内外之分，外部指的是教学进程的安排，内部则是指知识体系的构建。非标准化变式中的教学结构是将二者进行有机结合，目的是让学生避免遵循一种预定的、被动接受的学习模式，进而实现更有创造性的知识探索。以苏教版三年级下册中“小数”的教学为例，教师可以先让学生观察购物小票中的数值，让其了解小数与整数之间的不同，然后在黑板上画出一个正方形来表示“1元”，并让学生在上面标记出“0.5元”，进而帮助其理解小数的含义。最后，教师还可以在正方形上标记刻度，让学生借助测量工具来画出不同数额，进一步巩固学生对小数知识的理解。

1.利用反例凸显，在对比辨析中触摸知识

新知识之所以与原有知识不同，主要是因为它引入了与以前学过的内容不同或更深层次的概念。但是，它与原有知识又保持着紧密的联系，通常是在原有知识的基础上进行扩展或深化。在使用购物清单中的金额开展小数的教学时，教师开展一些变式训练后，还要注重加入之前所学的整数内容，让学生在训练中尝试主动对既学知识进行对比分辨，让其学会对新概念进行自主总结与提炼，进而更好地掌握课堂核心内容。这种反例变式的训练方式可以很好地帮助学生构建自身的知识体系。

2.改变构建方式，在原有体系上衍生新知

小数知识的变式除了和整数关联，还可以和分数建立联系，让学生深刻明白所有十进制小数都可以用分数来表示。例如，用长方形纸表示1元，然后要求学生用这张纸来展示0.6元，学生自然会想到把这张纸平均分成10个部分，并涂色其中的6个部分。这个动手活动很好地激活了学生之前学过的知识，比如[610]，从而自然而然地将小数和分数联系了起来。这种实践性的变式训练方法提供了一个更加直观的方式，使学生清晰明了地掌握小数相关知识点。

3.转换练习视角，在层层变式中扩大视野

在實践教学过程中，教师可以通过使用非传统的教学方法将不同类型的模型（如货币、米制、数轴等）有机结合起来。尽管模型和表达方式有所不同，但小数的基本含义保持不变。实验表明，当学生通过自我探索发现“0.x等于[x10]”后，在后续的练习中会表现得更加出色，特别是练习与数轴相关的知识时，学生会自我纠正“小数一定小于1”的误解，这对于其整体掌握数学知识有着很好的帮助。总之，通过改变传统的、被动的教学方法，并在适当的时间引入创新的非标准化变式，教师能给学生提供更多观察、推测、实践、验证和总结的机会。这不仅能激发学生的学习兴趣，还有助于他们构建自己的知识架构体系。

四、调整策略：由套路至多元，拓展学生解题路径

所谓“得法自然成，失法寸步难”，从教学的角度来看，选对方法对于提升学习效果有着非常关键的作用。以苏教版四年级“平均数”单元教学为例，课程可以从测量全班学生的阅读量开始，先让学生探讨哪个数字最能代表整体，进而引入平均数的概念。接着通过图解和算式来加深学生对平均数的理解。最终，通过不同类型的问题让学生掌握平均数的变动范围。

1.情境变异，凸显探索本质

提前了解学生的现有知识和生活经验是开展教学工作的关键一环，而“阅读量”这一概念符合学生的认知范围，以此开展情境类活动对于激发学生对新知识的渴求有很好的帮助。借助探索情境的转变，让学生学会对变式条件进行分析与选择，进而去除知识中的非核心因素，更加专注于知识的关键属性，最终实现学生思维空间的拓展以及探究能力的提升。

2.方法变换，拓展计算领域

想要打破学生对平均数仅是“先加再除”的固有认识，教师可以通过多样化的教学手段进行引导。例如，小组内共有8名学生，其中4名学生分别阅读了1本书，2名学生分别阅读了2本书，剩余2名学生分别阅读了4本书，平均每人读了多少本？

常规思路：（1+1+1+1+2+2+4+4）÷8=2

其他思路：（4×1+2×2+2×4）÷8=2

在实际操作中使用各种数据类型帮助学生优化计算方法，同时设计多样的练习题，能让他们明白计算也须个性化处理。计算方法的改进当然重要，但方法的诞生和筛选也是一个渐进的过程。教师除了注重传统的笔算教学，还应当培养学生在巧算、口算和估算等方面的能力。

3.层次铺垫，提升问题价值

问题解决的方法是多样的。但不同解决方法对学生知识储备的要求也各不相同。在教学中，可以针对不同的知识点和训练点，以多层次的问题铺垫引导学生深入思考。通过多层的变式铺垫，使学生对知识的理解、对问题的思考更加深刻。

解决问题的途径有很多种，而学生的知识储备与学习能力也各有差异。在教学过程中，教师可以通过设计多级别的问题，促使学生更加有效地吸收和应用知识。除了基础计算，还可以加入结果预估和数据变动两个环节。先让学生预估平均数，以引导他们思考平均数可能的范围，然后改变单个数据点，让学生实际感受到数据变动是如何影响平均数的。这种多层次的问题设计不仅加深了学生对知识的理解，同时也能极大地拓展其思考宽度。

在小学数学教学中，非标准化变式的应用为课堂带来了更多新的可能性。非标准化变式训练有助于学生辨别知识非核心因素，进而更加精准地掌握知识核心特质。这不仅有助于学生打破原有的思维局限，拓展学生的思维空间，还有助于其全面构建知识体系，促进学生思维发展。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 贾涛. 变式训练在高中数学解题教学中的实践探究[J]. 数理化解题研究，2022（15）：50-52.

[2] 陈致霞. 变式练习在小学高年级数学教学中的有效运用[J]. 新课程，2021（35）：12.

（责编 杨偲培）