新课标视域下“一致性”教学的思与行

王孝勤 李芳芳

［摘 要］数学课程要体现“一致性”。小学阶段数与代数领域“数与运算”的一致性主要体现为数概念的一致性和运算本质的一致性，而图形与几何领域中图形认识和测量的一致性主要体现在图形的特征、图形的周长和面积的测量以及角的度量上。文章探讨帮助学生把握每个领域知识的一致性，打通知识之间的关联并进行结构化整合，使学生的学习从“碎片化”走向“结构化”，进而走向“整体化”。

［关键词］一致性；数概念；数运算；图形的测量；结构化

［中图分类号］ G623.5［文献标识码］ A［文章编号］ 1007-9068（2023）32-0081-03

“一致性”为核心素养落地提供了新的视角，它反映了数学学科的本质。《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课程标准》）在第二学段提出“一致性”这一概念，之前是让学生更多地感悟，在感悟的基础上更好地理解，感受一致性存在于平时的数学学习中，而非只是一个陌生的概念，只要把握各领域的一致性，那么数学学习将不再是一个个孤立的点，而是一张有联系的关系网。但是，如果在一年级就向学生提及计数单位等抽象的概念，会让学生觉得数学是抽象的、不好理解的，进而使学生失去学习数学的兴趣。因此，《课程标准》中提出了关注学生学习的整体性、一致性和阶段性。那么，在小学阶段“数”与“形”的教学中，“一致性”又该怎样体现呢？

一、基于计数单位，理解“数与运算”本质的一致性

《课程标准》把“数的认识”和“数的运算”两大板块合并成“数与运算”。小学阶段数的认識包括整数、分数和小数的认识，它们形式上虽有所不同，但都是计数单位个数的累加。而数的运算一致性则包括整数、小数、分数运算的一致性以及加减乘除四则运算的一致性，两种类型的运算本质都是计数单位及计数单位个数的运算。

1.沟通关联，感悟数概念的一致性

《课程标准》明确指出了“初步体会数是对数量的抽象，感悟数的概念本质上的一致性，形成数感和符号意识”。数概念本质上的一致性主要体现在两个方面：一方面，整数、小数和分数都是对数量或者数量关系的抽象；另一方面，无论是整数、小数还是分数，都可以从计数单位和计数单位个数的角度去认识。

（1）基于对数量或数量关系的抽象

数是对数量的抽象，不管是整数、小数、分数，它们都是对数量的抽象。如在一年级学习数字时，课本情境图中气球的个数可以用数字4来表示，教师顺势提问：“4除了可以表示4个气球，还可以表示什么？”此时学生发挥想象联系生活，发现还可以表示4张桌子、4本书、4个面包、4朵花等，4的含义就在具体、直观的学生熟悉的生活中抽象出来了。从具体到抽象，再到用抽象的概念去解释具体的事物，加深了学生对数概念的理解。小数和分数的认识过程也与整数的认识一样，比如学习小数的认识时有0.4元、0.4米、0.4时等，虽然表示的意义有所不同，但都含有0.4。认识分数时，可以在[25]米、[25]块、[25]个中抽象出分数[25]。这些都体现了数是对具体事物数量的抽象。

数是对数量关系的抽象，在数字后面加上一个“倍”字后，用来表示一个物体和另一个物体之间的倍数关系，即表示的是两个数量之间的关系，从这个意义上来说它们之间是充满联系的。

因此，不管是整数、分数还是小数，它们表达的具体的含义可能会有所不同，但是它们都可以看成是对现实事物中的数量及数量关系的抽象。

（2）基于计数单位及计数单位个数的表达

《课程标准》的教学建议中提出“在理解整数、小数、分数意义的同时，理解整数、小数、分数基于计数单位表达的一致性”。也就是说，整数、分数、小数其实都可以看成是计数单位的累加。例如，在学生学习了整数、小数和分数之后，可以设置“根据数字涂色”的活动帮助学生理解三种数之间的联系，让学生体会计数单位的价值、感悟数概念的一致性。

活动及学生的作品如图1所示。

学生表达自己的想法：75表示的是7个10和5个1，而0.75则表示7个0.1和5个0.01，它们的计数单位不同，但都在表示计数单位的个数；第三个数[34]的计数单位是[14]，图形中是把一个正方形平均分成了4份，其中的一份就是[14]，阴影部分是这样的3份，也就是3个[14]，它也是在表示计数单位的个数。通过观察比较，学生发现不管是整数、小数还是分数，在表示数的含义时都是在表示计数单位和计数单位的个数。

2.把握整体，感悟数运算的一致性

《课程标准》第三学段的内容要求中有“能进行简单的小数、分数四则运算和混合运算，感悟运算的一致性，发展运算能力和推理意识”。

（1）加减法运算的一致性

教学时，出示整数加法算式、小数加法算式、分数加法算式，并让学生完成“算一算”“比一比”“说一说”活动。

如图2所示是算式及学生的运算过程。

交流时学生提出，整数和小数的加法都是把相同数位对齐再进行计算，这样相同计数单位上的数才能相加；虽然分数的计算不需要列竖式，但是要先通分再计算，通分就是把分数变成分母相同的数，这时两个分数的分数单位就一样了，本质还是把相同计数单位上的数相加。

然后，教师出示如图3所示的一组减法算式，让学生体会减法算式中也存在这样的规律。

经过加减法算式的对比，学生已经初步感受整数、小数和分数加减法运算的一致性，以及把相同计数单位上的数相加减。

（2）乘除法运算的一致性

教师出示如图4所示的练习，并提问：“乘除法的运算是否跟加减法的运算具有相似的规律呢？”

学生回忆之前学习小数乘法时，发现课本中是把小数乘法转化成整数乘法再计算，也就是把2.3×6转化成23×6来计算，转化后的23表示23个0.1，是计数单位的个数。因此，2.3×6可以看作23个0.1乘6个1，23和6相乘，0.1和1相乘，得到138个0.1，也就是13.8。而如果从计数单位的角度思考，23×6就是23个1乘6个1，因为23和6都是计数单位的个数，而1和1都是计数单位，所以得到138个1，也就是138。因此，整数乘法和小数乘法都是把计数单位和计数单位相乘，把计数单位的个数和计数单位的个数相乘，最后得到正确的得数。

学生用同样的思路继续研究分数的乘法，发现在 [12]×[35] 这道分数算式中，[12]里有1个[12]，[35]里有3个[15]，用1乘3得3，[12]乘[15]得[110]，最后再用3乘[110]得[310]。因此，乘法的计算也跟计数单位和计数单位的個数有关，只是相对于加减法而言，计数单位也参与了运算。

除法是乘法的逆运算，根据上述结论，除法是不是也是计数单位与计数单位相除，计数单位的个数与计数单位的个数相除呢？学生结合3道算式验证了自己的猜想。如整数除法138÷6可以看成138个1除以6个1，得23个1，也就是23。再如，小数除法13.8÷2.3可以看成（138×0.1）÷（23×0.1），[310] ÷ [35 ]可以看成（3×[110]）÷（3×[15]）。因此，不管是乘法还是除法，都是把计数单位和计数单位相乘除，计数单位的个数和计数单位的个数相乘除。

还可以从算理和算法中寻找一致性。如计算428÷4时，百位上的4除以4够除，商1，十位上的2除以4不够除，就把2个10变成20个1，再和8个1合起来，即用28个1除以4，得7个1。而计算4.2÷4时，先用4个1除以4得1个1，2个0.1除以4不够除，可变成20个0.01，用20个0.01除以4得5个0.01，算得商1.05。两道题目的相同之处都是当除到这一位不够除时就把计数单位细分变成更小的计数单位继续除。还有，[23] ÷ [35 ]其实就是把[23]、[35]的计数单位进行细分，分成以[115 ]作分数单位的分数，得[23] ÷ [35] =（2×5×[115]）÷（3×3×[115]）。学生经历除法运算本质的探究过程后，深刻感悟整数、小数和分数的除法都是把大计数单位细分为小计数单位再进行计算，进而从“会算”走向了“会思”。

二、基于度量单位，理解“图形的认识和测量”本质的一致性

图形的认识和测量也存在着一致性。图形的认识主要是对图形的抽象，学生经历从实际物体抽象出几何图形的过程，认识图形的特征，感悟点、线、面、体的关系。图形的测量重点是让学生经历统一度量单位的过程，感受统一度量单位的意义，基于度量单位理解图形长度、角度、周长、面积、体积等，并在此过程中感悟数学度量方法，逐步形成量感和推理意识。

1.在特征探索中，感悟图形认识的一致性

小学阶段认识的平面图形有长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形、角、圆，立体图形有正方体、长方体、圆柱和圆锥。在认知长方形和正方形时，课本中指出长方形有4条边、对边相等、4个角都是直角，正方形4条边都相等、4个角都是直角，分别从边和角两个维度来进行描述。后期在学习三角形、平行四边形、梯形和角以及圆时，也都是从点、线、面（或者顶点、边、角）这三个方面来探索图形基本特征的。在刻画图形大小时，学生还认识了图形的“高”（圆的半径相当于“高”），高在计算面积和体积时发挥着重要的作用。因此，看似不相关的图形，其实都有一定的关联。

2.在单位累加中，感悟图形测量的一致性

图形的测量其实就是图形中度量单位的累加。如在六年级复习课中，教师可以出示根据面积、体积公式画图的练习，让学生感悟图形测量的一致性。

练习及学生的作品如图5所示。

学生根据长方形的面积等于长×宽，知道长方形的长是5，宽是4，画出长方形；在推导长方形面积时，知道该长方形是用一个个小正方形拼出来的，长方形的长表示一共有多少列，长方形的宽表示一共有多少行，行数乘列数得到小正方形的个数，即长方形的面积，而每一个小正方形就是一个面积单位，一个个面积单位累加成了面积，感知面积是由面积单位累加而来的。在根据体积公式画长方体时也是一样的，由计算公式5×4×3得到长方体的长是5，宽是4，高是3，也就是长方体一共有3层，每层有5×4个小正方体，每一个小正方体也正是长方体的体积单位。

除了面积与体积的度量，图形的测量还包括周长、线段以及角的度量等。图形的度量就是看图形中包含了多少个度量单位，即相应度量单位的累加。

当我们厘清了数学的一致性后，就可以从纷繁复杂、迷雾重重的数、算理、算法、运算、度量等数学知识点中找到一条藤蔓，引领学生经历知识形成与发展的过程，使其不断接近数学本质，慢慢形成数学的眼光、数学的思维、数学的语言，真正让“一致性”融入学生的数学素养。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2022.

[2] 许卫兵.小学数学整体建构教学[M].上海：上海教育出版社，2021.

[3] 王岩，逄亚楠，王均杰.单元整合重关联 主题统整落素养：大概念下“小数乘、除法”单元设计与实践[J].小学数学教育，2021（Z3）：13-17.

[4] 史叶锋.主题式学习：从课堂走向未来[J].江苏教育研究，2016（14）：55-58.

[5] 李勤.图形与几何：主题统整式教学实践论[M].南京：南京出版社，2021.

【本文系2022年安徽省教育科学规划课题“学习共同体视域下小学生表达素养提升的实证研究”（项目编号：JK22029）阶段研究成果。】

（责编 杨偲培）