建立联系：让复习有深度——以“立体图形的表面积和体积复习课”为例

江苏省南京市溧水区第三小学 易 露

一、教学目标

（1）复习立体图形表面积公式和体积公式的推导过程，并归纳、分析各立体图形表面积和体积计算方法的内在联系。

（2）经历观察、探究、发现直柱体体积间的联系和表面积间的联系的过程，培养学生发现与提出问题的能力以及归纳和推理的能力。

（3）在解决问题的过程中让学生获得成功体验，激发学生的学习兴趣。

二、教学过程

（一）创设真实情境，激发思维活力

（出示：有圆柱的车库图）

师：在这个地下车库里，你看到了什么？想求什么？

生1：我看到四个圆柱，想求它们的体积。

生2：如果给圆柱的侧面刷油漆，可以求刷油漆的面积。

生3：还有整个车库是个没画完的长方体！可以求它的容积和表面积。

师：大家的空间想象力真丰富！刚才的问题都是关于立体图形的表面积或体积的。今天，我们就一起来温习这些知识，看看会不会有新的收获。

【设计意图】情境图的创设使学生将思维聚焦到立体图形的表面积和体积上，既揭示了课题，又体现了数学与生活的密切联系。另外，长方体空间没有完整呈现，也是对学生空间想象力的一次挑战。

（二）梳理交流分享，促进思维条理化

师：大家选择了不同的整理方式对知识进行梳理，现在，谁来带我们回顾立体图形表面积和体积的相关知识呢？

生1：（上台）我来介绍立体图形的表面积，长方体是S=2（ab+ah+bh），正方体是S=6a2，圆柱是S=2πr2+2πrh。

生2：长方体和正方体的表面积都是求出表面六个面面积的总和。圆柱的表面积是求两个圆形底面和一个侧面的面积和。

师：知其然还知其所以然，为你点赞!谁能介绍介绍体积呢？

生1：长方体的体积计算是用长、宽、高三者相乘得到的。圆柱是将它转化成长方体来计算体积。圆锥的体积是通过和与它等底等高的圆柱体积进行比较得出的。

生2：我补充一下长方体体积公式其实是用体积单位进行测量的，体积单位的个数可以用“长×宽×高”来计算。

师（出示课件，见图1）：观察体积的计量方法和面积、长度的计量方法，你有什么发现？

图1

生1：我发现它们其实是相通的，计量体积就是看其中有多少个体积单位，计量面积就是看里面有多少个面积单位。

生2：我来具体解释一下，计量长度就是看里面有多少个长度单位。只不过长度可以直接数出来；面积有长和宽两个维度，可以用一行的个数乘行数；体积有长、宽、高三个维度，可以先用长和宽求出一层的个数，再乘层数，也就是高。所以，无论长度，还是面积或体积的计量的道理是一样的。

师：分析得既透彻又深入！

【设计意图】在课堂上给学生提供充分的时间和空间，让学生在课堂上像“小先生”一样地讲解，充分体现了学生的主体地位。引导学生从体积的推导过程中反思发现，这与面积和长度的计量方式是有联系的，并发现它们都是计量单位的叠加过程。

（三）沟通联系体积，提高思维灵活性

1.再认识直柱体体积

师：看来这些都难不倒你们，（出示图2）这两个立体图形的体积，你会求吗？

图2

生1：左边的可以先求长方体的体积，再乘二分之一，就是3×4×5×。

生2：右边这个可以先求圆柱的体积，再乘二分之一，也就是π×（2÷2）2×4×。

师：这两个算式又怎么理解呢？

生1：也就是可以直接算出这个图形的底面积，再乘高，就得到了它的体积。

生2：我发现它们的体积和长方体、正方体和圆柱一样，都可以用“底面积×高”来计算。

师：真是了不起的发现！那么，请大家观察这些可以用“底面积×高”来计算体积的立体图形，从外形上看，它们有什么相同点？

生：从下往上都是一样粗细的。

动画演示（见图3）：由一张长方形纸不断往上叠加成长方体的动画。

图3

师（小结）：像这样上下一样粗细的、直直的柱体就叫作“直柱体”，它们的体积都可以用“底面积×高”来计算。

【设计意图】对于这部分内容，教师在教学时，一方面通过话语引导，让学生在比较活动中进行思维碰撞和知识的深度建构，并发现体积可以用“底面积×高”来计算的立体图形的本质共同特征；另一方面，由于学生对“动”的图形会更有学习热情，因此通过动画演示，在图形“动”的过程中让学生直观地感受到它们的共通之处在于都是由同一个平面图形不断向上平移积累而成。这样的过程也使学生对“面动成体”有了更为深刻的体会。

2.再认识圆锥体积

师（追问）：那圆锥的体积可以用“底面积×高”来计算吗？

生：不能，它底面的圆片越上升越小，最上面的成了一个点，所以圆锥不是直柱体，因此不能这样计算。

师：刚才大家介绍圆锥是与它等底等高的圆柱体积的三分之一，结合刚才的探究，一定要是“圆”柱吗？

生1：长方体也行，只要是和圆锥等底等高就可以。

生2：只要与它等底等高的任何直柱体都可以，因为等底等高的直柱体体积都是一样的。

生3：我总结一下，圆锥的体积是和它等底等高的直柱体体积的三分之一。

【设计意图】在以往圆锥体积的新授课中，由于实验的帮助，学生对于“圆锥的体积是和它等底等高的圆柱体积的三分之一”记忆很深刻。本节课复习这部分内容时，引导学生结合刚刚探究的直柱体体积的联系进行推理：上述结论一定要强调“圆柱”吗？从而将学生思维推向更深处。

（四）重新认识表面积，拓宽思维广度

师：这些直柱体的体积都可以统一成“底面积×高”，那表面积呢？

生1：都可以统一成“两个底面+一个侧面”。

生2：它们的侧面其实都可以沿高剪开，展开成一个长方形，而且长都是直柱体的底面周长，宽都是直柱体的高，所以，侧面积都可以用“底面周长×高”来计算。

【设计意图】先引导学生进行合情推理：直柱体既然如此相像，体积有共通公式，那么，表面积会不会也是共通的呢？在猜想和观察的基础上，学生便能发现它们的表面积也可以统一成“两个底面+一个侧面”，在学生回答的基础上，动态呈现每个立体图形展开的过程，让学生深刻体会到表面积的共通之处。

三、教学总结

（一）在联系中建立知识体系

本课伊始，学生自主梳理关于立体图形表面积和体积的教学环节分为两个层次：第一层次是对四种立体图形建立初步的整体认知；第二层次是沟通了长度、面积和体积计量的相通之处。课前，教师先让学生用自己喜欢的方式整理了立体图形的表面积和体积的相关知识。自主整理的过程很好地展现了学生个性化整合的思维。同时，学生在沟通中将长方体、正方体、圆柱和圆锥的体积和表面积的公式、推导过程及联系进行了完整的回顾和梳理，对知识有了一定的整体建构。然后，教师引导学生自主发现长度、面积和体积的计量方法上的相通之处，使学生在观察、比较、反思中感受到长度，或面积，或体积的多少都是取决于它们长度单位，或面积单位，或体积单位的个数，引导学生建构“量是量出来的”这一知识根基，从而促使学生对一维、二维和三维的知识建立更为紧密的联结体系。

（二）在联系中优化认知结构

长方体、正方体和圆柱都属于直柱体，本身具有高度一致性。但在分散的新授课中，学生只关注到单个立体图形的特征，而忽视了它们的内在关联性。作为一节整合的复习课，教师有必要引导学生关注到它们更深层次的统一性，从而让学生所建立的认知结构更具完整性。通过观察、演示的过程，学生对直柱体的共同特质有了更深刻的体会，从而将知识建立联结，形成最简、最优的知识结构。至此，学生对长方体、正方体和圆柱的认知已不再是割裂的知识点，而是发现了它们的内在一致性，都是由一个平面图形竖直不断叠加形成的图形，即都为直柱体。如此，学生在联系的过程中对知识结构进行了优化。

（三）在联系中发展高阶思维

在圆锥体积的复习过程中，考虑到通过以往的学习，学生对于“圆锥的体积是和它等底等高的圆柱体积的三分之一”记忆非常深刻，在课的前一部分，教师总结了直柱体体积的统一性后，有必要引导学生关注这里的圆柱可以替换成其他任何与之等底等高的直柱体。这里引导学生进一步的思考既是对前一部分内容的巩固，也是一次思维进阶的契机，学生的思维层次也在这样的推理过程中走向高阶。

（四）在联系中走向深度学习

本课在复习表面积的过程中，先引导学生进行合情推理：直柱体的表面积会不会和体积一样，也是有着紧密联系的。学生通过观察和想象，便能发现它们的表面积也可以统一成“两个底面+一个侧面”。此时，教师引导学生在头脑中将侧面依次展开：通过这种有效的动态想象，使知识的联系更为紧密，也是对学生空间想象力的进一步培养，学生的学习也真正走向了深处。

整节复习课，通过观察、发现、推理、反思等过程将立体图形进行整合、建立联结，打通了“体”与“面”“线”之间的联系。学生对整个“图形与几何”领域的知识体系也有了整体的把握。在复习课的教学中，教师要能通过单元知识的有机整合，甚至根据完整的知识体系，引导学生建立所学系列内容之间的联系，在这样的过程中将知识形成体系，形成更为优化的认知结构，从而发展学生的高阶思维，也让复习更具深度。