一道椭圆三点共线问题的探究

北京市陈经纶中学 (100020) 孙丕训 潘欣桐

在我们研究一个数学问题本质或探索某问题的内在规律时，适当地对题目条件进行弱化是一种非常有效的方法.本文从2021年朝阳区二模解析几何解答题出发，将其条件进行适当弱化，得到该问题背后的规律，并将得到的规律推广到双曲线中.

1.试题呈现

2.试题求解

解：(Ⅰ)易得△FMN的面积为1，过程略.

评注：本题证明三点共线，其中A是给定点.显然这道题也可不给出点A的坐标，改为证明直线HG过定点.那么问题的难度显然加大了.

3.试题推广

笔者经过探讨，发现了问题的一般情形，得到如下的一般结论：

类比双曲线，不难得到以下结论：

椭圆和双曲线都是有心曲线，标准方程形式很接近，椭圆的很多性质都可类比到双曲线中，那么抛物线是否也有这样的性质呢？

经过研究，发现了如下的性质：

结论3 已知抛物线C:y2=2px(p>0)，过点(m,0)作直线l交C于M,N两点，点A(a,0)，直线AM,AN分别交直线x=-m于P,Q两点，线段MN,PQ的中点分别为G,H.则直线GH过定点,

以上三个结论中，如果联想到椭圆(双曲线)中的共轭直径、极点、极线，笔者借助几何画板发现了更一般的结论，因为还未找到合适的证明方法，只能先作为猜想.

猜想1已知圆锥曲线C:mx2+ny2=1(mn≠0)，直线l经过定点B(x0,y0)且与曲线C交于不同的两点M,N.E(s,t)是过点B且与直线mx0x+ny0y=1垂直的直线上的定点.设直线EM,EN分别与直线mx0x+ny0y=1交于两点P,Q，线段MN,PQ的中点分别为G,H，则直线GH必过定点.

猜想2已知抛物线C:y2=2px(p>0)，直线l经过定点B(x0,y0)且与曲线C交于不同的两点M,N.D(s,t)是过点B且与直线y0y=p(x+x0)垂直的直线上的定点.设直线EM,EN分别与直线y0y=p(x+x0)交于两点P,Q，线段MN,PQ的中点分别为G,H，则直线GH必过定点.