从“题目解决”到“问题本质”的探究——对2022广东省一模导数题的背景思考

广东省东莞实验中学 (523120) 蔡瑞卿

一 原题呈现

题目已知f(x)=lnx+ax+1，f′(x)为f(x)的导函数.

(1)若对任意x>0都有f(x)≤0，求a的取值范围；

本题是2022年广东一模第21题，考察学生运用导数工具探索函数性质的能力，解题过程涉及零点存在定理，导数运算及其几何意义，运用导数研究函数的单调性等知识.设问中涉及x1，x2，a，x0四个变量，结构新颖，解题思路开放，解题过程蕴含了数形结合，分类讨论，转化与化归，函数与方程等丰富的数学思想.第(1)问常规设问答题起点较低，考查学生对基础知识，基本方法和基本技能的掌握，无论是通过分类讨论，还是分离变量法，学生基本上能够理清思路快速解决问题.第(2)问变量较多，解决问题的突破口难以寻找，思路的方向不易寻找，需要学生在把握基本思路的基础上，通过运算找到解决问题的契机,考查到学生分析问题和解决问题的能力，以及逻辑推理，数学抽象，数学运算等核心素养.

解：(1)易得a≤-1(过程略).

二 背景分析

该题第(2)问证明的结论实际是大学《数学分析》课程中的拉格朗日中值定理，该定理是高考函数与导数压轴题中的高频选题背景，在近些年全国卷中屡有出现，《普通高中数学课程标准(2017年版)》对高中数学课程的结构进行变革，也在选修课程A类“导数与微分”一章中引入拉格朗日中值定理，指导学生运用拉格朗日中值定理证明不等式，为学生将来步入大学学习高等数学打下坚实基础.这样的调整是对拉格朗日中值定理重要性的有力证明，一线教师应当能够理解运用该定理并将其作为教学教研的有力工具.

三 真题举例

近些年以拉格朗日中值定理为背景的高考题频繁出现，例如：

(1)讨论f(x)的单调性；

例2 (2017年新课标全国Ⅱ卷文)设函数f(x)=(1-x2)ex.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)当x≥0时，f(x)≤ax+1，求a的取值范围.

例3 (2016全国新课标Ⅱ卷文科21题)已知函数f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).

(1)当a=4时，求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程；

(2)若x∈(1,+∞),f(x)>0，求a的取值范围.

四 变式研发

对2022广东一模导数题的背景发掘，一方面可以开阔学生解决问题的思路，提高学生对高观点知识的兴趣，加强学生进一步学习数学的信心；另一方面借助拉格朗日中值定理，可以更方便地对题目进行变式教学，为一线教师对高考题的教学研究提供一般路径和方法.例如通过观察用拉格朗日中值定理解决16-18年全国卷导数压轴题的步骤发现，只要对解题过程中的g(x)进行不同类型的函数变换，就可以生成不同拉格朗日中值定理背景的恒成立问题，形成丰富的高观点变式训练题目.

变式1 已知函数f(x)=xlnx-a(x-1)，若x∈(1,+∞),f(x)>0，求a的取值范围.(取g(x)=xlnx，答案：a≤1)

综上可见，“把握数学本质，启发思考，改进教学”是新课标的重要理念，高观点背景的发掘和方法的探究，有助于帮助学生揭示问题的数学本质，启发学生找到解决问题的正确方向和先进方法，更加深刻地理解问题，提升学生学习数学的兴趣，具备更广阔的数学视野.为此，一线教师应当把握合适的契机，为学生探究和掌握高观点知识做好铺垫，找准初等数学与高等数学的结合点，为学生学习更丰富的数学知识搭建好的平台.同时，教师只有具备了更多高观点的数学知识，对问题的理解才能更接近本质，进而提升自身专业能力和教学水平.