立足基础，凸显思维，素养引领

［摘  要］ 高考真题对于教学与备考有导向作用，深入探究试题特点与解析方法可定位考点，把握考向，提升解题能力. 文章对2022年新高考全国Ⅱ卷进行探究简评，关注重点问题的特征与解析过程，结合实践提出几点建议.

［关键词］ 基础素养；模型思维；思想方法；备考

高考数学真题往往对一线教师的教学有导向作用，因此开展试题分析十分必要. 2022年新高考全国Ⅱ卷在基础考查与素养评价两方面做到了平衡，试题结构与题型配置合理，体现出了基础为重、素养导向的原则，下面结合考题简要分析.

数学文化相融，注重基础考查

试题注重从中华优秀传统文化中选材，让学生领略中华民族的智慧与研究成果，可有效提升学生的民族自豪感. 同时数学文化中隐含的数学知识，能够充分考查学生的基础知识与应用能力. 以第3题为例，其以中国古代建筑中的举架结构为背景，考查数列、函数、几何等知识.

例1 （2022年新高考全国Ⅱ卷第3题）图1是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举. 图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD，CC，BB，AA是举，OD，DC，CB，BA是相等的步，相邻桁的举步之比分别为=0.5，=k，=k=k. 已知k，k，k成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k=（  ）

A. 0.75B. 0.8

C. 0.85D. 0.9

解析：可设OD=DC=CB=BA=1，则CC=k，BB=k，AA=k. 因为k，k，k成公差为0.1的等差数列，则k=k-0.2，k=k-0.1. 已知直线OA的斜率为0.725，所以=0.725，即=0.725，求得k=0.9.

点评：本题以中国古代建筑为背景，引出数学模型，让学生深刻感受中华民族的智慧. 本题全面考查了等差数列、解析几何、三角函数等基础知识，可强化学生的知识应用、数学建模能力. 本题要关注直线斜率计算公式，即P（x，y），P（x，y）在直线l上且x≠x，则l的斜率k=.

現实情境引入，注重分析建模

疾病是近几年的热点和现实问题，试题注重以该类问题为背景，从生活中取材，增加学生的生活实感. 如第19题以流行病的调查为背景，考查学生的统计与概率思想，以及分析与建模能力. 问题解析强调理解通性通法，以及对本源方法的综合运用.

例2 （2022年新高考全国Ⅱ卷第19题）在某地区进行某种疾病调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下样本数据频率分布直方图：

（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间［20，70）的概率；

（3）已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间［40，50）的人口数占该地区总人口数的16%. 从该地区任选一人，若此人的年龄位于区间［40，50），求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.

解析：（1）平均年龄x=（5×0.001+15×0.002+25×0.012+35×0.017+45×0.023+55×0.020+65×0.017+75×0.006+85×0.002）×10=47.9（岁）.

（2）设A=｛一人患这种疾病的年龄位于区间［20，70）｝，所以P（A）=1-P（A）=1-（0.001+0.002+0.006+0.002）×10=1-0.11=0.89.

（3）设B=｛任选一人的年龄位于区间［40，50）｝，C=｛任选一人患这种疾病｝，则由条件概率公式可得P（CB）===0.0014375≈0.0014.

点评：本题以疾病调查为背景，考查学生对频率分布直方图的理解，用样本估计总体，对条件概率的计算，以及数据分析、数学建模等核心素养. 该类问题要求学生掌握收集、整理和分析数据的能力. 其中频率分布直方图是本题的核心，解答本题要抓住三个要点：一是直方图的各小长方形的面积和为1；二是直方图的纵轴表示“”，因此每组样本的频率为“组距×”，即每组长方形的面积；三是直方图的每组样本的频数为“频率×总体数”.

命题设计新颖，注重发散思维

试题设计具有灵活性，更具开放性，给学生留足思考空间，可有效引导学生创新思考，突出考查学生的发散思维和创新思维. 以第21题为例，题设给出了3个条件，要求学生从中选取2个作为已知条件，来证明另外一个条件成立.

例3 （2022年新高考全国Ⅱ卷第21题）已知双曲线C：-=1（a>0，b>0）的右焦点为F（2，0），渐近线方程为y= ±x.

（1）求C的方程；

（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P（x，y），Q（x，y）在C上，且x>x>0，y>0. 过P且斜率为-的直线与过Q且斜率为的直线交于点M. 从下面①②③中选取两个作为条件，证明另一个成立：①M在AB上；②PQ∥AB；③MA=MB

. （若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分）

解析：（1）C的方程为x2-=1.

（2）本题有三种选择方式，下面以其中一种选择方式进行探究——选①③推②.

由已知得直线PQ的斜率存在且不为零，直线AB的斜率存在且不为零. 若直线AB的斜率不存在，由双曲线的对称性可知点M在x轴上，即右焦点F，且点P和点Q关于x轴对称，从而有x=x，与已知不相符，所以直线AB的斜率存在且不为零.

设直线AB的斜率为k，直线AB的方程为y=k（x-2）. 条件①“M在AB上”，设M（x，y），则y=k（x-2）?ky=k2（x-2），两条渐近线的方程可合并为3x2-y2=0，与直线AB的方程联立消去y，整理得（k2-3）x2-4k2x+4k2=0.

设A（x，y）和B（x，y），线段AB的中点为N（x，y），则x==，y=k（x-2）=.

条件③“

MA

=

MB

”等价于（x-x）2+（y-y）2=（x-x）2+（y-y）2，移项并利用平方差公式整理得（x-x）［2x-（x+x）］+（y-y）［2y-（y+y）］=0，即x-x+k（y-y）=0，即x+ky=.

根据题意可知直线PM的斜率为 -，直线QM的斜率为，则y-y= -（x-x），y-y=（x-x），可得y-y=-（x+x-2x），所以直线PQ的斜率m==-，直线PM的方程为y=-（x-x）+y，即y=y+x-x，将其代入双曲线的方程3x2-y2-3=0，整理得（y+x）［2x-（y+x）］=3，解得x=·

+y+x

，同理可得x= -

+y-x

，所以x-x=

+y

，x+x-2x= --x，则m=，可推知条件PQ∥AB等价于ky=3x，即由①③可推知②.

点评：本题为圆锥曲线综合题，其特殊之处在于第（2）问让学生自由选取条件和证明结论，考查学生的发散思维. 同时三个条件作为“已知”或“结论”自由互换，充分体现了知识的联系. 本题的实质为斜率之和为定值，即k+k=-=0，探究过程中要结合曲线背景加以总结.

知识紧密融合，注重素养拔高

另外，试题加强对学科核心素养的综合考查，强调数学思想方法的渗透，考查学生的关键能力，充分发挥试题的选拔功能. 压轴题的设计综合性强，具有一定的复杂情形，对学生的能力有着较高的要求. 以第22题为例，有机结合函数、导数、数列与不等式等知识，全面考查学生的直观想象、逻辑推理等能力.

例4 （2022年新高考全国Ⅱ卷第22题）已知函数f（x）=xeax-ex.

（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；

（2）当x>0时，f（x）<-1，求a的取值范围；

（3）设n∈N*，证明：++…+>ln（n+1）.

解析：（1）f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增.

（2）设h（x）=xeax-ex+1，则h（0）=0，可知h′（x）=（1+ax）eax-ex，设g（x）=（1+ax）·eax-ex，则g′（x）=（2a+a2x）eax-ex.

若a>，则g′（0）=2a-1>0，所以存在x∈（0，+∞），使得?x∈（0，x），总有g′（x）>0，所以g（x）在（0，x）上为增函数，所以x∈（0，x）时g（x）>g（0）=0，所以h（x）在（0，x）上为增函数，所以x∈（0，x）时h（x）>h（0）=-1，与题设矛盾.

若00），可得S′（x）=-1=<0，所以S（x）在（0，+∞）上为减函数，所以S（x）0时ln（1+x）

若a≤0时，可推得axeax<0，所以h′（x）=eax-ex+axeax<0，所以h（x）在（0，+∞）上为减函数，所以h（x）

综上可知，a的取值范围为-∞

，.

（3）取a=，則?x>0，总有xe-ex+1<0成立. 令t=e，则t>1，t2=ex，x=2lnt，所以2lnt1恒成立. 所以对于任意的n∈N*，有2ln<-，整理得ln（n+1）-lnn<，所以++…+>ln2-ln1+ln3-ln2+…+ln（n+1）-lnn=ln（n+1），所以不等式成立.

点评：本题为函数与导数压轴题，难度较高，具有一定的选拔功能，注重考查学生灵活运用知识来处理复杂问题. 整个解题过程融合了构造、化归转化、分类讨论等思想方法，所以对学生的综合素养有一定的要求，要求学生能够条理分析、逻辑思考、合理想象、推理运算.

教学与备考建议

1. 巩固知识基础，注重通性通法

考题注重对“四基”的考查，其中基础知识和基本技能是考查的首位，所以教学备考中要注重基础知识的讲解，包括基本的概念、定义、公式，以及推理过程，尤其要注重对教材中的例题和习题的讲解. 引导学生分析推理，并从中提取通性通法，指导学生深刻理解知识，掌握方法. 教学中不能让学生过多追求偏、怪、难的方法技巧，而应注意总结通性通法，即常规方法，也是最直接最有效的破题方法.

2. 强调知识应用，关注数学文化

“学以致用”是教学倡导的理念，高考同样注重考查知识的应用，主要体现在两方面：一是设置情境，从中衍生问题；二是从生活生产实际中提炼问题，要求解决问题. 教学中要以“应用”为基础，让数学为生活服务. 知识的应用要注意以下两点：一是关注知识的本质属性，如饼状图、直方图本身就是用于统计与分析数据的工具；二是指导学生关注生活中的数学，特别关注数学文化，学习数学文化中的数学原理与知识.

3. 重视分析推理，发展数学思维

数学教学的重点是发展学生的数学思维，让学生独立解决问题，因此备考教学中要重视分析推理，培养学生的数学思维. 在实际教学中，教师要发挥引导作用，合理设置问题，让学生体验探究过程，引导学生严谨推理，猜想验证. 同时将数学运算与逻辑推理相结合，引导学生在运算中思考，在思考后猜想，在计算后具体验证，帮助学生养成独立思考与深入分析的习惯，形成自我的数学思维. 发展思维要注重以下两点：一是发散思维，引导学生跳出思维局限，敢于思考尝试；二是创新思维，给学生留足思考空间，大胆猜想，提出创新意见.

4. 渗透数学思想，提升学科素养

提升学生的学科素养是教学的意义所在，对于高中数学而言，要在教学中渗透思想方法，发展六大核心素养，包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析. 教学中要立足重点知识和具体问题，采用探究教学的方式，引导学生分析思考，运算推理，猜想验证. 在探究过程中渗透数学思想方法，如数形结合、分类讨论、化归转化等，引导学生在思想上深层历练，提升其数学能力和数学素养.

总之，2022年新高考全国Ⅱ卷命题设计以“基础考查，思维培养，素养提升”为理念，对师生的教学备考具有导向作用，指明了学习方向. 在备考中，要注重挖掘教材知识，总结方法思路，渗透思想方法，帮助学生养成良好的思维习惯，提升其综合能力.

作者简介：时卫忠（1969—），本科学历，中学一级教师，从事高中数学教学与研究工作，曾获苏州市优秀教育工作者、苏州市优秀班主任等荣誉.