培养学生核心素养的数学教学

［摘  要］ 如何将培育学生的数学核心素养贯穿整个教学活动过程，是值得每个教育工作者思考与研究的问题. 文章以“异面直线”的概念教学为例，从“导引定义，培养抽象意识”“多元表征，培养想象能力”“合理分类，提升分析能力”等方面，具体谈谈如何在研究对象的获取中，发展学生的数学核心素养.

［关键词］ 概念教学；核心素养；异面直线

数学核心素养包括数学抽象、模型、逻辑推理以及用数学的眼光或思维看待与思考世界，它是一种具备数学特征，且促進个人终生发展的一种思维品质与能力［1］. 如何在数学教学中准确获取研究对象，将核心素养的培养落到实处，是笔者近些年一直在实践研究的问题.

“空间点、直线、平面之间的位置关系”这章节包括异面直线及表示、异面直线所成角等概念，涵盖空间两条直线的位置关系、平行公理4、分类、等角定理等内容，其中等角定理与平行公理4为异面直线所成角的概念的形成服务. 因此，本章节的教学重点与难点在于“异面直线”的相关概念，其中异面直线、异面直线所成角等概念是研究空间点、直线、平面之间的位置关系的关键.

本文以“异面直线”的概念教学为例，就如何引导学生从整体到局部认识空间几何的重点，逐步形成良好的空间想象力谈一些看法；并结合教学实践，在以发展学生各项数学能力为主导的方向下，精心设计教学过程，获取研究对象，培养核心素养.

导引定义，培养抽象意识

想要培养学生的抽象意识，必须要有明确的研究对象与充分的抽象过程. 若研究对象不确定，无论研究活动的设计多么丰富，都无法达到真正意义上的数学抽象. 新课标明确提出，要学生在数学抽象中明确概念的关键要素与内涵，并学会用数学语言进行表征与分类，以明确概念的内涵与外延［2］.

“告知式”的传统教学模式，使得学生无法确定研究对象，从而出现了学习障碍. 在获取研究对象的过程中发展学生的数学核心素养，是时代赋予教师的任务，尤其是数学概念、定义与法则等的抽象过程，对培养学生的抽象能力具有深远的影响.

教材在本章节对几何图形的特征进行了简明扼要的描述，明确提出几何图形的本质在于其形状与位置关系. 学生若习惯性地以传统思维去认识几何图形，则很难捕捉到其中的位置关系与主要形状. 因此，教师设计教学时，应从学生的实际认知水平出发，根据学生建构概念可能存在的困难，采取应对措施，如实物模型的使用、情境创设、实例分析等，为学生对概念的抽象与概括奠定坚实的基础.

师：位于同一平面内的两根直线，存在哪些位置关系？

生（众）：平行与相交的关系.

师：若将“同一平面”这个条件改为“空间”呢？

（学生沉默）

师：请大家拿两支笔或两根直尺，观察它们的位置关系.

生1：将两根直尺都放在桌面上，即同一平面上两根直线有平行与相交的关系；而将一根直尺放在桌面上，将另一根直尺拿起来，则与桌面上的直尺相交或平行.

师：除了这两种位置关系外，还存在其他位置关系吗？

生2：有可能既不平行也不相交.

师：哦？这是一个新发现！大家观察我们的教室，看看是否存在这种既不平行也不相交的两根直线呢？

生3：如日关灯管和墙壁与地面的交线.

师：我能理解你的意思，但是表述不够准确，应该是教室内的日光灯管所在的那根直线和前墙与地板交线所在的直线，这两者既不平行也不相交. 除了教室外，生活中还有很多这样的例子，如桥梁所在的直线与水流所在的直线、旗杆所在的直线与跑道所在的直线等.

问题：如图1所示，在长方体ABCD-ABCD中，AB所在的直线与CC所在的直线，具有怎样的位置关系？

生4：这两根直线并不在一个平面上，它们之间既不平行也不相交.

师：的确，由以上生活实例和图1，揭示了一个什么数学问题？

生5：两根直线的位置关系，存在不平行也不相交的情况.

师：非常好！这就是我们今天本节课重点研究的对象. 现在请大家思考，在空间中既不平行也不相交的两条直线是否能共面？为什么？

生6：我认为不共面，共面就涉及平行或相交的情况.

师：有道理，既然确定不共面，说明它们处于异面，我们能不能概括一下，什么叫异面直线？

生7：在空间内既不平行也不相交的两根直线，我们称它们为异面直线.

师：教材上，对异面直线的定义为“不同在任何一个平面内的两条直线”. 你们觉得哪种说法更精确一些？

生8：教材上的这种说法更突出“异面”这个特性，是从位置的关系来描述的，因此更精确一些.

设计意图：对异面直线概念的抽象过程，让学生明确研究对象，从中明确本节课的重点是对空间形式的研究. 教师先引导学生回顾直线在平面上的位置关系，再逐渐深入到直线在空间中的位置关系，并鼓励学生从生活实例出发，对生活中一些事物所在的直线位置关系进行分析与研究，直观图形的应用，吸引了学生的注意力，学生从中自主抽象出了相应概念.

从该教学过程可见，数学抽象作为一种基本的数学思想，是帮助学生获得理性思维的关键，它贯穿数学概念产生、发展与应用等过程. 教师若一味地引导学生从观察、分析、归纳、演绎、类比、推理等角度诠释数学对象，则远远达不到提升学生数学核心素养的目的. 只有从学生的认知发展区出发，引导学生对研究对象进行深入分析，才能帮助学生建构良好的抽象意识，让学生明确该观察什么，该分析、归纳与演绎什么，该如何进行类比、分析与推理，为形成良好的数学观奠定基础.

多元表征，培养想象能力

立体几何除了用文字、符号或图形语言进行表征外，还可以用模型等方式进行表征. 表征方法与学习者的观察视角、认知水平和想象力等有着直接的联系. 在教学设计时，教师应学会换位思考，尽可能站到学生的角度去分析、预设问题，通过观察视角的切换来确定问题情境，以帮助学生建构更加完整的认知体系，培养想象能力.

师：接下来，我们来探讨一下异面直线绘制与表示的方法，请大家分组合作，看哪一组的答案又快又好.

组1：如图2所示，添加一个平面来衬托.

师：这种想法不错，你们是怎么想到这个方法的？

生9：根据前面的探究活动得以启发.

组2：如图3所示，用两个平面来表达.

师：这个想法很好，是否可以考虑用三个平面来衬托呢？

生10：我认为没有这个必要，我们所研究的异面直线是两条直线的位置关系，只要能表达清楚它们不在一個平面内就可以了.

师：言之有理！通过对图2与图3的观察，发现它们的共同点就是以平面衬托的方式，凸显两条直线既不平行也不相交的关系.

设计意图：引导学生从文字、图形与模型等角度，获得“异面直线”这个研究主题，并在动手画一画中建构新知，通过此过程有效发展学生的空间想象力.

直观想象是核心素养重要组成部分之一，它主要是借助几何直观与空间想象，感知事物的空间形式、形态与变化等，从而在大脑中建构明确的认识. 异面直线是建立在空间抽象基础上，形成的一种直观模型，属于直观想象的再抽象.

本课例紧扣异面直线的多元表征方式，从画法、表达法等角度着手，鼓励学生从多方面尝试，从不同的角度观察并建构新的模型. 在教师适当的点拨与引导下，学生的直观想象能力得以有效发展，使得异面直线的表达方式烙印于学生的认知结构.

实践证明，直观想象是发现、提出、分析与解决问题的基本手段，是形成论证思路，进行推理并抽象结构的基础，也是帮助学生建立空间想象力，突破立体几何这个难题的关键. 但这种素养的形成也不是一蹴而就的，并非通过几节课就能完成，它需要学生在实践中不断地自我建构、反思，让思维呈螺旋式上升.

作为教师，应提供更多动手、动脑的机会给学生，帮助学生多角度搭建对话平台，鼓励学生在实战中，学会多视角分析与讨论问题，训练想象能力，以掌握画图的基本要领，把握各种表征方法，为建构扎实的数学思维奠定基础.

合理分类，提升分析能力

所谓的分类是指依照一定的标准，不重不漏地对研究对象按照种类、等级或性质进行归类. 于立体几何而言，分类标准主要以要素特征或关系进行，这也是充分理解数学对象的一种常规方式. 学生受认知水平的限制，对立体几何的分类意识不是很强，教师可引导学生从前后联系与数学分析等角度顺势而为，帮助学生建立良好的分类意识，为学生核心素养的形成奠定基础. 异面直线的位置关系，可通过模型的建立来理解分类对象，提升学生的数据分析能力与分类意识.

师：从以上探究过程来看，大家对异面直线已经有了一定的认识，并能通过不同的方式突出“异面”的特征. 现在我们换一个角度来思考：异面直线是不在任何一个平面内的两条直线，且没有公共点，那么在空间内，没有公共点的两条直线一定是异面的吗？

（学生陷入沉思）

为了激发学生思维，笔者引导学生进行以下实验探究：

探究活动1：将一根直尺置于桌面，另一根直尺拿在手里，变化手中直尺的位置，观察这两根直尺是否一定处于异面的状态.

探究活动2：打开数学书，将两根直尺分别放在存在一定角度的两个面内，判断它们所在的直线是否一定为异面的关系.

（学生操作、探讨、研究）

生11：从操作过程来看，存在图2、图3呈现的情况，也存在其他情况，空间没有公共点的两条直线平行或异面.

师：非常好！通过我们亲自实践、观察，从直观的角度感知几何体的空间特征，为数学猜想与思考提供了明确的线索. 从以上探究过程来看，从正反不同角度分门别类地分析与猜想问题，能对研究对象产生更加深刻的理解. 由此，大家能总结出空间两条直线存在哪些位置关系吗？

生12：存在共面与异面两种位置关系.

生13：我认为应该是相交、平行与异面三种位置关系.

师：看来大家还存在不同的意见，分类的原则是“不重不漏”，关键是抓住分类标准. 现在请大家以小组为单位，再次讨论该怎么分类.

学生通过合作学习，获得了以下结论：

数据分析主要是指应用数学方法对数据进行分析、整理与推断的过程，这种能力对数学核心素养的形成具有直接影响［3］. 空间直线位置关系，除了要弄清楚分类标准外，还要获得数据提取、收集、整理等能力，为准确推断奠定基础.

抓住这个特征，笔者在本课教学中，从画图等简单的方法出发，让学生以图2、图3呈现的要素特征作为思维的切入点，再以反面问题启发学生思维，让学生带着疑问进行活动探究，学生亲历实验操作，进一步获得从不同角度分析问题的能力.

尽管学生对分类方法产生了分歧，但这表现出了学生积极思考、勇于表达的良好品质. 教师根据学生存在的问题，给予适当的点拨，并鼓励学生以小组合作学习的模式，对问题重新进行思考，并获得了完整的结论. 在此教学过程中，学生积累了一定的探究经验，获得了合理的分类标准，充分发掘了数据的信息价值，有效地促进了数学核心素养的提升.

随着时代的发展，数据分析应用的范围越来越广泛，不论是科学、工程、技术还是生活的方方面面，都离不开数据分析的支持. 因此，教师在教学中，应科学设计相应的探究活动，让学生主动获取数据信息，自主建构依托现代社会应用数据的运行机制，形成用数学的眼光看待世界、用数学的思维思考问题的习惯.

总之，概念教学需要经历定义、表征与分类等过程，在就地取材的实物模型教学中，学生不仅能获得多元表征的能力，还能形成从不同视角用数学的眼光分析问题的习惯. 尤其在教学的前后联系与数据分析中，学生可深刻理解数学的本质，发展数学核心素养.

参考文献：

［1］  章建跃. 核心素养导向的高中数学教材变革（续5）——《普通高中教科书·数学（人教A版）》的研究与编写［J］. 中学数学教学参考，2019（31）：9-14.

［2］  核心素养研究课题组. 中国学生发展核心素养［J］. 中国教育学刊，2016（10）：1-3.

［3］  R·柯朗，H·罗宾. 什么是数学［M］.左平，张怡慈，译. 上海：复旦大学出版社，2006.

作者简介：徐婧婧（1983—），本科学历，从事高中数学教学工作.