凸显直观感知,渗透类比思想——“立体几何章节起始课”教学设计

喻瑞明

(江西省南昌市第一中学)

《普通高中数学课程标准(2017 年版2020 年修订)》指出:“立体几何研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系.本章节的学习,可以帮助学生以长方体为载体,认识和理解空间点、直线、平面的位置关系;用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定,并对某些结论进行论证;了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法,运用直观感知、操作确认、推理认证、度量计算等认识和探索空间图形的性质,建立空间观念.”

1 内容与内容解析

1.1 内容

本节课选自《普通高中课程标准数学教科书·必修第二册》(北师大版)(以下简称“教材”)第六章“立体几何初步”第一节,本节课是章节起始课,主要内容有两个方面:理解构成空间几何体的基本元素,会用图形、符号表示平面;借助长方体直观感知点、线、面的位置关系.

1.2 内容解析

学生在初中平面几何中,学习了平面图形的形状、大小、位置关系、计算问题及应用;在“立体几何初步”中学习了立体图形的形状、大小、位置关系、计算问题及应用.

“基本立体图形”是教材立体几何部分的起始课程,它在土木建筑、机械设计、航海测绘等实际问题中都有广泛的应用.教材从对空间几何体的整体观察入手,研究组成空间几何体的点、线、面.这种安排降低了初中立体几何的门槛,强调几何直观,淡化几何论证,可以激发学生学习立体几何知识的兴趣.

2 目标与目标解析

目标:(1)了解本章研究对象、主要学习内容和学习方法;

(2)理解空间中平面的含义,学会用图形、符号表示平面;

(3)理解构成空间几何体的基本元素,了解点、线、面的位置关系.

目标解析:(1)能由实物抽象出几何模型,再发现构成几何体的基本元素及位置关系,领会观察几何体的一般方法,培养学生的直观想象素养;

(2)从平面图形的研究到立体图形的类比研究,培养学生的逻辑推理素养;

(3)学生会用图形、符号表示平面,表示点、线、面的位置关系,培养学生的数学抽象素养.

3 教学问题诊断

学生在初中阶段学习了平面几何,知道平面几何主要研究平面图形的形状、大小、画法、位置关系、度量计算及应用等,经历了学习平面几何过程中的直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算.

学生在掌握图形与几何的基础知识、基本技能的同时,其空间观念得到了一定的发展,在借助图形思考问题的过程中,初步建立了几何直观.因为初中几何课程主要以平面图形为研究对象,所以在高中几何课程中,首先需要建立基本立体图形的概念,认识点、线、面的位置关系,发展空间观念,再选择适当的工具和方法对空间图形性质与关系展开研究.

基于以上分析,笔者将课堂教学重点设置为理解空间中平面的含义,借助模型了解构成空间几何体的基本元素,线与面、面与面的位置关系,渗透类比学习方法,领会观察空间几何体的一般方法.

4 教学过程设计

环节1:创设情境,引入新课

活动1:如图1所示,摆动三根塑料棒,能否使它们两两之间互相垂直?

图1

活动2:如图2所示,六根长度相同的小铁棒,最多能摆出多少个三角形?

图2

在平面内不能解决上述活动中的问题,但是我们生活在三维空间中,可以在空间中思考解决问题,引出课题.

【设计意图】通过动手操作,学生感受到在平面内解决许多问题是有局限的,但是在三维空间中,可以解决许多问题,借此激发学生学习立体几何知识的兴趣.

环节2:类比平面,领悟方法

问题1:在初中平面几何中,我们主要学习了哪些内容?

引导学生归纳平面几何学习内容:平面图形的形状与大小、平面图形的画法、平面图形的位置关系、平面图形的计算问题与应用、介绍立体几何主要学习内容及学习方法.

【设计意图】让学生明确本章研究的对象,明确学习目标,通过比较让学生领会今后学习立体几何过程中,要重视与平面几何类比,借鉴平面几何的学习方法:直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算.

环节3:借助实物,初步感知

(1)展示几何体模型.

(2)展示图片,如图3所示.

图3

问题2:在图3中,你们能发现哪些几何体?

【设计意图】通过生活中的几何体,经历由实物到模型、由模型到几何体的过程,提升直观想象、数学抽象素养.

环节4:数学抽象,形成概念

案例1:如图4所示,从实物抽象出长方体,探究构成空间图形的基本元素.

图4

案例2:如图5所示,从实物抽象出圆锥,探究构成空间图形的基本元素.

图5

结论:构成空间几何体的基本元素有点、线、面.

【设计意图】让学生感知、了解,进而概括出构成空间几何体的基本元素;经历从观察实物到抽象出几何体再到观察抽象出的模型,发现构成几何体基本元素的过程,提升直观想象素养;感悟观察几何体的基本方法:由整体到局部,先看围成几何体的面,再看面的交线、线的交点,为后面进一步探究线与面的位置关系进行铺垫.

环节5:类比直线,建构平面

问题3:如何理解三维空间中的平面?

归纳:类比由线段到直线,平面是从生活中的面抽象出来的,平面是可以无限伸展的.

问题4:在立体几何作图中,我们如何表示平面?

引导学生观察长方体画法,发现可以用平行四边形表示平面.

【设计意图】类比平面几何中的直线与线段,引导学生理解三维空间中的平面.类比平面几何作图中直线的画法,启发学生理解:立体几何作图中可以用平行四边形表示平面.

练习:

1.如图6 所示,长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别是4,3,5,则平面ABCD的面积比平面BB1C1C的面积小,这种说法正确吗?

图6

2.一个平面将空间分成几部分? 两个平面呢?

引导学生思考理解平面是可以无限伸展的,一个平面将空间分成两部分,两个平面要根据模型恰当摆放,渗透分类与整合思想.

【设计意图】强调平面是可以无限伸展的,渗透分类与整合思想,提升空间想象能力.

环节6:借助模型,探究关系

探究:借助长方体模型,如图6所示,引导学生思考线与面的位置关系、面与面的位置关系.

在学生探究的过程中,教师限定对平面ABCD进行探究.

抽象概括:如图7和图8所示.

图7

图8

【设计意图】了解长方体中线与面、面与面的位置关系,了解线与面、面与面的位置关系的图形表示;领会观察几何体的一般步骤:先整体再局部,最后观察各元素的位置关系;渗透分类与整合思想,提升直观想象素养;增强合作学习意识.通过比较,让学生领会今后学习立体几何过程中,要重视与平面几何类比,借鉴平面几何的学习方法:直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算.

环节7:探究活动,加强理解

问题5:如图9 所示,观察下面几何体对应的模型,说出同组两个几何体的共同点、不同点.

图9

学生活动:小组合作观察对应模型,发现两个几何体的异同点,做好记录.

小组间分别说出几何体的异同点,感悟观察几何体的基本方法步骤.

【设计意图】加强对构成空间几何体的基本元素点、线、面的理解,巩固空间中线与面、面与面的位置关系,让学生经历观察、发现、表达的过程,提升直观想象素养,提升合作学习意识,为后面观察棱柱、棱锥、棱台等基本几何体进行铺垫.

环节8:课堂小结,反思提升

结合板书带领学生回顾知识:1)了解了本章研究对象、学习目标、方法;2)了解了构成空间几何体的基本元素有点、线、面;3)了解了空间中的平面,并会用图形、符号表示平面;4)了解了长方体中线与面、面与面的位置关系.

问题6:如何观察一个几何体?

【设计意图】对本节课所学知识进行简单回顾,帮助学生形成良好的学习习惯;通过设问巩固观察空间几何体的一般方法.

5 教学反思

5.1 明确研究对象

高中立体几何课程的研究对象可以分为两类:一类是基本立体图形,包括柱、锥、台、球以及组合体,它们是“有界图形”;另一类是点、线、面,它们是最基本的空间图形,直线、平面都具有无限延展性.

5.2 关注结构特征

认识一类立体图形的结构特征就是抽象出这类图形的组成元素及其形状和位置关系,并用正确的数学语言予以表达.通过丰富的几何图形模型,帮助学生进行多角度观察,在充分观察、直观感知的基础上进行本质特征的抽象,得出基本图形的结构特征.

5.3 抓住整体学习

作为一个立体几何的起始课,不能忽视课本中序言的内容.课堂教学重视对立体几何的研究对象、学习目标、学习方法等进行介绍,体现以学生为学习主体,重视对学生自主学习能力的培养.

5.4 渗透数学思想

引导学生完成知识学习目标、素养学习目标的同时,也需要重视学法指导,本节课还特别重视了两个学习方法的指导:与平面几何类比、观察空间几何体的一般方法和步骤.在教学中凸显几何直观,培养学生的空间观念,注重渗透类比的数学思想,发展学生的数学核心素养.

(完)