“常微分方程”课程模块融合思政元素的划分

齐龙兴，陈宏宇

(安徽大学 数学科学学院，合肥 230601)

对于数学专业的学生来说，常微分方程是一门核心课程，其实际应用背景深刻且生动。大量微分方程来自于生产实践和科学技术，比如来自于几何和力学中的伯努利微分方程和里卡蒂微分方程、解决人口问题的马尔萨斯人口模型等。在分析实际问题和解决实际问题的现代科学技术方法中，常微分方程已成为不可缺少的强有力的工具。[1]因此，在常微分方程的课程教学中培养学生利用常微分方程的理论和方法解决实际问题的能力，具有十分重要的意义。

在传统教学过程中，常微分方程由于其课程模块的设置决定了教师授课时更多地关注于专业理论的讲授。2016 年 12 月习近平总书记在全国高校思想政治工作会议上发表重要讲话时强调要坚持把立德树人作为中心环节，把思想政治工作贯穿教育教学全过程，实现全程育人、全方位育人。[2]要想在这样一门非思政类的专业课程中更好地融入思想政治教育，常微分方程的课程模块势必要进行重新划分。

1 传统课程模块

当前，常微分方程课程一直按照传统模块进行教学，一般侧重介绍关于微分方程的一些基本概念，针对不同阶数和不同类型的方程，寻求求解方程特解和通解的方法和技巧。学生们在学习常微分方程这门课程中，普遍反映理论性较强，且大部分理论和公式都要记忆，对常微分方程如何应用并解决实际问题了解较少。[3，4]例如，面对日常生活中的一些实际问题，大部分学生不知道怎么去分析问题、建立方程模型、利用数学软件模拟及预测解的发展趋势等等。再例如，针对某一传染病的传播，如何建立微分方程组分析疾病的传播趋势及预测病人数，如何为卫生部门提供防控策略的建议等。因此，培养学生基于实际问题建立常微分方程并帮助解决实际问题的能力，是讲授常微分方程这门课中首先要关切的问题。

此外，常微分方程这门课程基本都是理论介绍，主要是告诉学生如何求出具体方程的精确解。然而，在实际问题中，有时并不需要求出精确解，或者精确解求不出来，但需要根据方程来预测解的发展趋势。这时，就需要进行一系列的数值模拟。如何利用 Matlab,Maple等数学软件对微分方程进行模拟，这也是在讲授过程中需要重视的问题。

由于常微分方程这门课的课时不足、课程内容较多等原因，课程模块的设置决定了教师在讲授过程中需要加快节奏，把方程求解过程尽可能详细地通过板书演示给学生看，把课程内容尽可能多地传授给学生。这样，授课过程中，教师对学生进行思政教育的时间就不多了。这就导致教学过程中教师很少或者几乎没有涉及到思政教育的思想。也正是因为思政元素的缺少，教学过程中不能激发课堂的丰富性。即便有部分提及思政元素的教师，也由于其在思政方面的教育是意识单独，未能与学生达成共鸣，课堂上做不到师生互动，课堂氛围仍是单调乏味。而良好的思政教育不仅可以使学生在学习专业知识，还能让学生潜移默化地愉快地接受教师传授的思政教育思想。因此，思政教育的思想急需充分融入这门课的教学中。

针对以上问题，需要对常微分方程这门课的传统模块进行改革创新。[5]在讲解常微分方程中，有必要给学生们介绍一些利用常微分方程来解决实际问题的新知识和新方法，以培养学生的会学会用的能力。最后，指导学生利用Matlab等软件进行数值模拟和检验模型的有效性等。这些在常微分方程课程的教学中都有利于培养学生解决实际问题必备的能力。

2 课程模块划分的创新

作为一门实践性很强的课程，不仅仅希望学生们能学到并掌握理论知识，并知道如何应用这些理论知识，还要在课程的教学过程中进行全方位的思想政治教育，两手都要硬。要做到这些，传统的课程模块势必要进行改革创新。因此，本研究基于此目的，将对常微分方程这门课进行一系列的模块改革创新，并提出新的成绩评定体系，为达到真正的学以致用。

为更好地适应创新型、复合型、应用型人才培养，本课程需要对模块划分进行创新，主要从方程的基础理论、求解计算、数值模拟分析和实际应用四个方面对“常微分方程”的课程模块进行重新调整，同时在每个模块中加入丰富的思政内容。

2.1 基础理论模块

基本概念是常微分方程基础知识的重要组成部分。概念如果没有掌握清楚,学生就无法掌握后面的定理和一些公式。基本概念也是发展学生思维、培养学生数学能力的基础。只有掌握正确的概念,才能对后面学习微分方程的类型有正确的判断和推理,进而才能培养学生的逻辑思维。因此，将常微分方程中所有涉及到的定义和定理都放在基础理论部分，作为本课程的第一模块。在原来传统模块的基本概念的基础上加上一阶方程、高阶方程和方程组中所有定义和定理。这样可以集中向学生展示出各类方程的性质和特点，从而也帮助学生更容易地理解和记忆。比如，在介绍一阶线性微分方程时，首先写出齐次方程，再写出非齐次方程，再写出伯努利方程。这样三个方程直观地演示给学生，让学生印象深刻。同时告诉学生，在一个微分方程里这样改动一项，就会得到不同类型的方程，就如同在生活中，一件事情会由于随意做的一个动作就有可能改变了它的发展方向。由此告诫学生做任何事都要三思而后行。再比如介绍恰当方程时，引导学生要说恰当的话、做恰当的人和恰当的事。再比如，在判断函数组和向量函数组线性相关和线性无关时要利用弗朗斯基行列式。虽然两个行列式形式不一样，但这个行列式的来源和性质都是一样的，而且判断准则也是一样的。所以，将这两个概念都放在一起介绍，不仅帮助学生记忆和理解，也节省了很多时间。

同时，在讲授这些基础理论的过程中，从微分方程的发展史和数学史开展思政教育，向学生讲授科学家们在追求真理、探求知识过程中的宝贵工匠精神。从1676 年微分方程概念的第一次提出开始，微分方程得到了飞速地发展，并且在各个领域中得到了广泛应用。在微分方程的发展过程中，一大批数学家的心血注入其中，有莱布尼茨、牛顿、柯西、欧拉、李雅普诺夫等。其中，伯努利家族更是尤为突出，一个家族3代人中产生了8位科学家。由此教育学生在学习任何知识时都不能急于求成，要有不怕困难、勇往直前的勇气与斗志。

2.2 求解计算模块

学生要正确求解微分方程，首先要会判断方程的类型。通过对第一模块中基础理论的学习，学生对所有方程都有了一个全面的认识，然后回忆这些方程的特点，进而判断出正确的类型。比如，在判断是否是恰当方程时，首先回忆出恰当方程的微分形式，然后分别计算微分形式中的两个函数的偏导数看是否相等，利用恰当方程的判别法则进行判断。方程类型判断的教学过程中可以培养学生判别的能力，同时告诉学生在实际生活中，也要利用正确的道德观、人生观和价值观判别人和事。

接下来，针对不同类型的方程分别介绍各自的求解方法。在传统模块中，各类方程的求解方法是分开介绍的。确实，有些方程的求解方法与其他方程的求解方法不同，需要单独介绍，但有些方程的求解方法或者求解思路是一样的。比如常数变易法在求解非齐次微分方程时可以利用，在非齐次微分方程组中同样可以利用，而且利用的思路是类似的。这样就可以放在一起给学生讲授，同时还可以引导学生认识方程和方程组在求解时虽然方法相同，但步骤稍有不同。

在讲授这一模块的课程内容时，学生学会常微分方程的多种求解方法是关键。但与此同时，还要对学生开展思政教育，教育学生具体方程具体分析，在求解过程时要发散思维，思考多种解决问题的办法，从而培养学生的创新能力。我们在讲课过程中就遇到不少这样的学生，课后积极讨论各种求解方法，然后请教老师指点。这是非常值得表扬的。

2.3 数值模拟分析模块

学过微分方程的同学都知道，有些方程的求解很麻烦，有些方程来源于实际问题，其实不需要知道它的精确解，只要知道变量的发展趋势。这种情况下，只需要给出一个几何图形即可解决。目前，已经有很多文献介绍过利用数学软件画出微分方程中的积分曲线。

数学软件有很多，在讲授时可以选择几个常用的。比如在Matlab中编写一个程序，就能画出方程中未知函数关于自变量的变化趋势图。写过程序的同学都知道，程序中的很多代码都是一样的，只要改变方程的表达式和参数即可。因此，将几何图形分析单独作为一个模块，将所有学过的方程都集中起来讲授。学生们带上各自的电脑或者记下笔记，只要输入一个程序，稍稍改变就可向学生们全部展示出学过的所有方程的几何图形，然后对图形进行讲解，并分析它的实际意义。这样在课堂上教师不仅教会了学生如何利用数学软件编程、画图和对图形的分析，而且学生学起来容易，动手操作也方便。教师在授课过程中，也不需要每讲到一个方程就要打开软件演示一次了。

这样一个模块的创新，不仅给学生们动手操作的机会，帮助他们更直观地认识微分方程和轨线的变化趋势，也为他们将来深造或从事其他工作时需要用到数学软件打下扎实的基础，同时也为课程的讲授节省了大量的时间。另外，在讲授过程中还可以进行思政教育。比如，一个渐近稳定的平衡点，周围的曲线不管从哪一个点出发都会跑向这个平衡点。每一条曲线都有起点和去向，但都遵循一个法则，那就是曲线上每点的切线斜率都是有规律的。如同生活中，我们做事必有起因和去处，但也都要遵循正确的做人和做事的原则，围绕一个中心，不能随意妄为，否则就会跑偏，容易迷失自我。

2.4 实际应用模块

常微分方程作为一门应用型很强的课程，在物理、化学、工程、医学、生态学、人口学，甚至社会学中都有微分方程的应用，其涉及范围实在是太广泛了。因此，将实际应用单独作为最后一个模块，从各个领域中遴选出大量经典的实际问题，以案例的形式呈现给学生。先选择一个课题，将问题数学化，提炼出各个变量和参数，然后建立微分方程模型，进而指导学生利用前面三个模块中所学的理论、求解和画图能力来解决实际问题，真正地教会学生做到学以致用。通过这样一个案例具体解决过程的教学，教会学生具体问题具体分析的能力和如何将课本知识利用到实际问题中的技术和方法。

这一模块的教学过程中，不仅训练了学生大量搜集资料和数据，还锻炼了学生独立解决实际问题的能力，在案例的选择中，不同的学生可以根据自己的兴趣爱好选择不同的案例，没有任何限制，学生在自己的兴趣下开展这种动手动脑的实践活动，将会起到事半功倍的效果，同时在不同的案例分析中，针对不同的案例涉及到的人文背景和思政元素，教师可以潜移默化地对学生进行思想政治教育。

3 新模块下的教学过程

首先，教学中不仅向学生讲授理论知识，还要传授如何建立微分方程模型解决实际问题的方法。现有的课程理论与实际脱节，教材和课堂教学模式都偏重于强调常微分方程的理论性、系统性和严谨性，往往脱离了其应用的背景和实际意义。很多学生学习积极性不高，要么对所学知识不感兴趣，要么学习目的不明确，缺乏正确的学习动机。因此，从课程模块上彻底改变传统的方式，真正将本课程建设成名副其实的“理论联系实际的课程”。

其次，在课程教学及组织实施过程中，为解决课程与教学改革中出现的问题，需要针对调整后的课程内容有相应的组织实施。在课程内容的前三个模块的教学中主要以课堂教学为主，课后讨论及练习为辅。第四个模块可以从微分方程对其他学科的应用进行科研方面的论文学习、指导和讨论，比如生态学、流行病学、社会学、人口学等交叉学科。同时，这些模块的教学需要现代信息技术与课程教学有效地结合，并配以数学软件Matlab、Maple和R绘图协助理解，使抽象概念的引入具体生动，克服学生在数学上认知与理解的困难。还可以活用学生的手机翻转课堂，建立本课程的学习群，鼓励学生积极讨论，培养学生自主学习能力。注意到，要将所学知识和方法应用到实际中去。实际问题的来源多种渠道，需要采取的解决措施可能也多种多样。对于刚刚学完常微分方程这门课的理论知识的学生们，要有效地筛选出适合他们的实际问题。学生可以利用所学的常微分方程理论和方法去解决实际问题，并通过实践操作来巩固课程中所学过的概念、求解和图形分析等知识。

最后，要注意模块创新后课程成绩评定的合理性。由于本课程的教学过程需要和实际应用案例结合，和学生的交流和互动形式比较特殊，所以教学效果的好坏无法由简单的卷面分数来体现。要强调过程考核比卷面分数的通过率更重要，加大课堂讨论、课后答疑、学生自主学习等方面的考核。而如此繁琐庞大的工作量可以借助现代信息技术来统计完成。

4 结束语

创新模块的主要特色首先是倡导问题驱动的数学教育。融思政、知识、能力、素质教育于一体，注重问题的提出及其背景，使用现代信息技术、几何直观和物理原型诠释抽象的概念；强调概念与方法的来源、不同概念间的内在联系，着重科学思维和科学方法的训练。通过微分方程的应用这一模块的教学讨论和穿插灵活多样的课程报告，培养学生学习兴趣，拓展应用视野。最后，注重科研和教学相结合。课程组学科平台厚实，科研实力雄厚，授课过程中将自己的科研成果注入到课堂教学中，着力培养学生科学素养和创新能力。同时，引进数学软件培养学生利用数学软件科学有效地学习和解决实际问题。

通过很多案例的分析和解决，学生们也认识到学好”常微分方程“对解决实际问题起着至关重要的作用。通过融入思政元素对课程模块的重新划分，培养出具备这种活学活用、能够解决实际问题能力的学生更是关键所在。因此，为培养创新型、复合型、应用型人才的需要，本课程应以立德树人为根本宗旨[6]，本着以学生能力发展为目的，采用微积分和数学建模的思想，利用代数学、几何学和物理学的理论知识，指导学生应用常微分方程的理论和方法去分析和解决各个学科中呈现出的实际问题，进而让学生掌握并灵活运用常微分方程课程中所学的基础理论知识和方法，为后续课程学习、从事数学或应用研究、教学工作以及继续深造奠定良好的基础；与此同时，这门课程的学习和在实际问题上的训练，使得学生们学会了一些数学建模的基本方法，对现代自然科学和社会科学中的一些数学问题有了初步了解，在分析和解决实际问题方面，培养了学生熟练应用常微分方程的理论和方法的能力。