“由内而外”理论下教师角色的改变——以多边形的外角和为例

林建华

(福建省长乐第二中学，福建福州，350200)

一线教学中往往存在这样的现象，教师在教学中传授不少解题技巧，而且认为自己教得越细致，学生训练得越多，越有助于形成教学成果；与此同时，学生花大量时间做大量配套训练，遇到新题型却常出现“其实知道，只是当时没想到”的卡壳情况，原因在于学生没有形成有效的决策机制，只是模式化地进行知识性的学习.从某种程度上说，这样的教学方式制约了学生数学思维的发展，也与当下的教育教学环境严重不适应.教师应该积极转变角色，不再将学生按照预设的模样去雕琢，而是要致力于营造学生成长的学习氛围，提供有营养的学习素材，帮助学生自我建设，发展数学思维、提升数学能力、培养数学核心素养.笔者以探究多边形的外角和为例，探索教师角色的转变.

1 教学理论依据

在解释“学习”的神经生理机制时，传统的白板理论认为大脑的复杂性是由外而内随着经验的增加而增加.在白板理论中，教师的角色是“木匠”.而大脑意识机制的最新研究成果提出了由内而外的理论.经验并不是大脑复杂性的主要缘由.相反地，学习是大脑通过自组装，将预先存在的神经元轨迹与外部事件相匹配而发生[1].该理论认为：“感知是一种主动行为而非被动接受，学习也不再主要依赖于经验的积累，而是大脑活动与外部世界相匹配的过程.[1]”“由内而外”的大脑意识机制与《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称2022年版标准)提出的“学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者”[2]的课程理念高度契合，教师的角色不再是“木匠”而是“园丁”.

2 教材内容解读

人教版数学教材八年级上册第十一章《三角形》先从小学生已有的认识三角形内角和为180°开始，通过平行线的性质与平角的定义推导出三角形的内角和定理，并且得出推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和.然后再由特殊推广到一般，探索并证明了多边形的内角和公式.最后在章末通过一道例题研究六边形的外角和：利用相邻内外角互补的关系推导出六边形的内角和为360°，接着提出：能否将这一结论推广至所有多边形.再给出这样的解释：从多边形的一个顶点A出发(如图1)，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发时的方向.在行程中所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°.

图1

数学大师陈省身曾指出，对于多边形不应只看内角，还应该看外角.多边形的内角和随着多边形的边数的变化而变化.而任意多边形的外角和却始终是360°，与多边形的边数无关，这才是多边形的本质属性.那么应如何处理多边形的外角和这部分教学内容呢？不少教师是安排在多边形的内角和这一课时，用几个问题快速带出结论，这样的教学处理是认为多边形的外角和为360°简单易掌握，好记好用并且相关考点的试题易得分，不必要更不值得花时间深究.其实这样的处理忽视了多边形外角和的教学价值.笔者认为教师应根据学情，专门安排一至两课时来组织多边形外角和的探索活动.

3 教学活动的实施

3.1 创设情境

【角度史话】角度概念来自美索不达米亚的巴比伦文明.众所周知，两河流域诞生了人类诸多文化遗产，角度就是其中之一.巴比伦人擅长天文学，他们制定角度的灵感，就来源于长期的天文观测.巴比伦人发现：从春分日到秋分日，太阳划过半个周形成的轨迹，恰好等于180个太阳的直径，受此启发，他们定义圆周角为360度，平角为180度.1度就是一个太阳直径形成的角的度数，角度的符号“°”，最早就是代表太阳.

设计意图：2022年版标准提出：“抽象能力包括数感、量感、符号意识.[2]”角度史话呈现出古人对角度概念的定义过程，学生可以在如何用数学的眼光观察一类事物、定义一个几何对象要完成那些事情(背景——定义——表示——分类)、如何确定分类标准[3]等方面获得营养，同时为学生研究多边形的外角和，将各个外角集中成一个整体周角以及圆出于方做了预设.

3.2 探究新知

初步感知

【问题1】在本单元我们已探究发现了三角形的外角等于不相邻的两个内角和以及多边形的内角和公式后，我们继续探索多边形的角的世界，对于多边形，还有什么元素可以研究呢？

设计意图：作为教学的组织者，教师应积极创设和谐自然的数学语言环境，搭建数学发现的研究平台，注重开放性提问方式的使用.村镇学校的学生家庭语言环境偏于简单，学生数学语言表达能力明显单薄，特别需要教师足够耐心和守候，需要教师给学生用数学语言表达数学发现的空间.笔者自起始年级就开始注重引导学生、鼓励多形式的合作交流，以激发学生回答问题的热情.因此在这个环节，学生思考的角度很多，发散性思维活跃、课堂讨论比较充分，达到了正向反馈.兹选取有代表性的学生回答如下：

学生甲：还有外角；

学生乙：可是多边形的外角没有规律，内角有大有小，外角也有大有小；

学生丙：可是多边形的内角和有规律啊，三角形的内角和为180°，四边形的内角和为360°，那可能多边形的外角和也会增加；

学生丁：我知道了，多边形的外角和为360°，比如等边三角形的内角都为60°，外角都为120°，三个外角和为360°，正方形的每个内角都为90°，四个外角和也是360°，我相信，多边形的外角和就是360°；

学生丙：丁的例子特殊；

学生丁：特殊的例子也是例子，比没有举例好.

3.3 操作发现

【问题2】那么用什么方法找反例？

学生：可以用量角器画图，再测量角度计算.

【学生操作】这里我们一起来使用几何画板测量并计算多边形的外角和.

让学生按照一定的操作流程选取边数不同的多边形，使用软件测量并计算多边形的外角和.让所有学生形成强烈的共识：多边形的外角和无论边数如何变化，外角和的大小始终不变，是定值360°.

设计意图：2022年版标准提出：“创设合理的信息化学习环境，提升学生的探究热情[2].”几何画板是高效的数学研究工具，这一信息技术工具的应用提升了课堂观测效率，让学生在更具普遍性的例子中归纳、发现多边形的外角和定理.同时，学生在观察、探究过程中形成良好的学习交流氛围，获得必要的数学体验.

3.4 严谨证明

【问题3】我们利用几何画板软件发现了多边形的外角和是360°，你还有什么想对自己说的吗？

学生表达各自观点，有学生提出我们要证明.

设计意图：学生在本节之前对角有一定的推理计算能力，本环节设计的核心依然是教师搭建课堂学生共学共研的平台，不明示、不塑造，做一位倾听者、与学生一起成长的陪伴者，让学生作为课堂教学活动的主体.在此基础上，进一步鼓励学生用数学语言描述数学发现，进行数学推理；学生在聆听同龄人的观点时，产生自己的理解，激荡出思维的火花.

笔者所任教的气质、禀赋不同的两班村镇学生以及借班上课的城区优质学校的学生在这一环节亮点频现，下文是这三个班级相当精彩的证明思路(实际课堂学生表达的内容完整度和先后顺序并不相同，他们的典型转化有借助平行线的性质和周角定义推理或利用相邻内外角互补来计算三角形的外角和，再类推到多边形的外角和，或者直接研究多边形，从构型或从代数计算切入证明多边形的外角和为360°).

如图2，利用相邻的内外角互为补角列关系式，由∠1+∠BAC=180°，∠2+∠ABC=180°，∠3+∠ACB=180°，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，得∠1+∠2+∠3=3×180°-180°=360°.

图2

或利用三角形的外角等于不相邻的两个内角列关系式，由∠1=∠ABC+∠ACB，∠2=∠BAC+∠ACB，∠3=∠BAC+∠ABC，得∠1+∠2+∠3=2×180°=360°.

如图3，过点A作AD∥BC，则∠3=∠4，∠2=∠5，所以∠1+∠2+∠3=∠1+∠4+∠5，即三角形的外角和为一个周角360°.

图3

实际上，只要通过平移将三角形分散的三个外角顶点集中，就能证明三角形的外角和为一个周角.集中的顶点位置不限，可以在三角形内(如图4)，也可以在三角形外(如图5).

图4

图5

过程和方法推广到n边形.

图6

方法一：如图，将多边形的各个外角通过平移集中到一个点周围，易得多边形的外角和为360°.

方法二：N边形的外角和=n对相邻的内外角和-n边形的内角和=n·180°-(n-2)·180°=360°.

3.5 课堂延伸：圆出于方

通过几何画板的迭代功能制作正多边形.演示边数增加下的动态变化(如图7)，中国古书《周髀算经》早已揭示圆出于方.

图7

设计意图：此素材为本节教学内容的延伸，根据学情灵活选用.借助几何画板的动态演示，让学生充分感知正多边形随着边数的增加无限趋近于圆，自然发现方与圆的联系.根据平角定义和三角形的内角和可得正多边形的一个外角大小恰为一个圆心角的度数，从而再次解释正多边形的外角和为360°.希尔伯特曾说，数学之道在于找出一个这样的特例，它包含普遍原则的全部萌芽.多边形外角和定理的特例是正多边形，正多边形与圆的关系渗透类比与极限思想，曲化直的微分内涵.

3.6 总结提升

教师问：回顾整节课，你的收获是什么？

设计意图：最后回顾反思环节往往也是学生沉淀升华的重要环节，学生在课堂上充分参与，精神愉悦.通过回顾环节用自己的语言组织表达自己的所思所想，强化教学内容的核心落点.在课后，有学生围着笔者要继续操作使用几何画板软件进行观察、验证，有学生则继续讨论相关证法.

4 结 语

纵观整个探究多边形外角和的教学实施过程，笔者借鉴“由内而外”的大脑意识机制的理论，并没有把教学环节的重心放在教授知识上，而是以组织者、引导者、合作者的身份力求为学生营造有助于激发学生思维活跃度、参与度的课堂氛围，让他们做课堂活动的主人，观察、思考、表达，使他们内在的思维活动与教学内容互相匹配，在交流互动中实现教学目标.当下，在实际教学中，教师或多或少存在教学焦虑，习惯于将眼光聚焦在解题技巧、解题策略上，忽视学生内生性数学学科素养的挖掘、培养.如何在教学效率、效果、效益三方面追求优化与平衡，我们还是应该积极转变教学观念，将教师的角色从塑造者转变为合作者，让更多的学生产生良好的心流体验，激发潜能.