一道2022年高考题的推广

李院德

(安徽省教育科学研究院)

笔者受2022年全国新高考Ⅰ卷第12题的启发,证明了连续周期函数的导函数也是周期函数,探究了其原函数也是周期函数的一个充要条件.本文通过几个例子对这两个定理进行进一步说明,并在此基础上给出了几点启示.

1 问题的提出

在本题中,函数g(x)为函数f(x)的导函数,通过推理我们不难发现函数g(x)和f(x)均为周期函数,并且周期相同.众所周知,函数f(x)＝cosx与其原函数F(x)＝∫cosxdx＝sinx＋c均是周期为2π的函数,那么一个函数与其原函数周期的这种关系是否具有一般性呢?

2 连续函数与其导函数、原函数周期性之间的关系探究

2.1 周期函数的定义

设f(x)是定义在数集M上的函数,如果存在非零常数T具有性质:f(x＋T)＝f(x),则称f(x)是数集M上的周期函数,常数T称为f(x)的一个周期.如果在所有正周期中有一个最小的,则称它是函数f(x)的最小正周期.

注 由周期函数的定义不难发现:

1)周期函数的定义域不必是一个连续区间,如f(x)＝1(x∈Z)是一个最小正周期为1的函数,它的定义域是整数集.

2)周期函数的周期T可以是负值,且周期函数未必有最小正周期,如常数函数是以任何非零实数为周

2.2 连续函数与其导函数的关系

定理1 已知f(x)是定义在数集M上的周期为T的函数,且处处可导,导函数为f′(x),则f′(x)也是周期为T的函数.

证明 由于函数f(x)是定义在数集M上的周期为T的函数,则有f(x＋T)＝f(x),又f(x)处处可导,则有

故导函数f′(x)也是周期为T的函数.

2.3 连续函数与其原函数的关系

对于一个定义在某区间的已知函数f(x),如果存在可导函数F(x),使得在该区间内的任一点都存在F′(x)＝f(x),则在该区间内就称函数F(x)为函数f(x)的一个原函数.

由定理1,若一个可导函数为周期函数,则其导函数也必然是周期函数.然而,连续周期函数的原函数却未必是周期函数,如函数f(x)＝cosx＋1(x∈R),其原函数为F(x)＝sinx＋x＋c就不是周期函数,其图像如图1所示.

图1

现在我们来探究使得连续周期函数的原函数是周期函数的条件.

定理2 已知函数f(x)是定义在数集M上的周期为T的函数,且处处连续,则其原函数F(x)也是周期为T的函数的充要条件是存在一个点x0∈M使得F(x0＋T)＝F(x0).

证明 必要性显然成立,现证明充分性.

由于F(x)是函数f(x)的原函数,则对任意x∈M有

因此F(x＋T)＝F(x),所以原函数F(x)是周期为T的函数.

注 定理1揭示了可导的周期函数其导函数也一定是周期函数,而定理2本质上是给出了定理1的逆定理也成立的一个充要条件.

3 原题回顾

定理2的优势在于可操作性强,便于运用,学生只需要根据导函数的周期性,结合两个点的函数值相等便能够判断其原函数也是周期函数.下面运用定理解决2022年全国新高考Ⅰ卷选择题第12题.

综上,选BC.

根据题目条件能推导出g(x)是周期为2的函数,运用定理2可以快速证明f(x)也是周期为2的函数,在此基础上容易判断出本题各选项的正误.

推论 已知函数f(x)是定义在数集M上的周期为T的函数,且处处连续,若原函数F(x)存在一条对称轴,则F(x)也是周期为T的函数.

4 几个例子

定理1和定理2分别证明了连续周期函数的导函数与其原函数的周期性之间的关系.下面将通过几个例子对这两个定理做进一步说明.

例1 已知函数f(x)＝|x－2k|,x∈[2k－1,2k＋1),试判断其导函数的周期性.

根据周期函数的定义,函数f(x)是周期为2的函数,函数f(x)的图像如图2所示.

虽然函数f(x)是连续的,但在整数点上其导数都不存在.对任意的x∈R,x∉Z,有

图3

显然函数f(x)在整数点上不连续,因此在整数点上函数的导数都不存在.对于任意点x∈R,x∉Z,有f′(x)＝1,易得f′(x)是周期为1的函数.

例1中函数f(x)为连续函数,且几乎处处可导(除整数点上导数不存在以外),该函数的导函数仍然为周期函数.而对于例2,函数f(x)在整数点上不连续,其他点处均连续且可导,其导函数也为周期函数.因此,由例1和例2不难发现,存在一些点不可导甚至不连续的函数,但其导函数仍然保持了周期性.因此定理1中的条件并不是必要条件,可以进行弱化.

例3 已知函数f(x)＝cosx的定义域为R,试判断其原函数是否为周期函数.

图4

5 启示

5.1 数学教学要注重概念教学,突出数学本质

5.2 数学教学要关注过程性和综合性,提高学生发现问题、解决问题的能力

在知识的交会点设计试题是高考命题的一个立足点.本题的另一个特色是原函数f(x)与它的导函数g(x)互相联系,又结合了函数的相关性质,特别是周期性与对称性,综合程度非常高.如此巧妙的综合立意新颖,需要学生具备更高的问题解决能力,所以我们在教学中要适当关注问题与知识的综合性,引导学生进行一些较为深入的探究.这样我们的课堂才显得有深度、有内涵,引人入胜.尤其是在高中数学教学的后期,学生已经具备了相关知识和能力,如果再一味刷题、机械重复,势必会扼杀学生发现新问题、探索新思路的创新思维和能力.本题为高中一线教学特别是后期的复习课堂设计提供了很好的素材,也为探究课堂提质增效的具体实施起到了很好的引领作用.因此,教师在教学中要注重知识之间的内在联系和发生发展过程,帮助学生构建知识网络,要重视学生探究能力的提升,引导学生从特殊到一般发现和提出问题,发展思维水平,培养创新意识和创新能力,培养学生综合运用数学知识灵活解决问题的能力.

5.3 数学教学要关注差异性和层次性,促进不同数学水平的学生都能有所发展

2022年高考全国卷对周期函数进行了重点考查,几套试卷中的相关题目都有一定的难度.周期函数是高中数学学习的重要内容之一,在高中数学课程的学习中,学生学习了周期函数的概念,并重点学习了三角函数这一特殊周期函数的图像和性质.教材通过从特殊到一般的编排形式帮助学生进一步加深了对周期函数及其性质的理解.通过学习,学生能够正确理解三角函数的图像、性质及其之间的联系与区别.在一元函数的导数及其应用的学习中,学生又学习了正弦函数与余弦函数的导函数,进一步加深了对正弦函数、余弦函数之间关系的理解.在高中选修课程中,«普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)»又将微积分的基础知识作为高中数学A 类课程和B类课程的重点内容,通过学习选修课程,学生能理解微分和积分之间的关系.这些内容的学习,为学生理解周期函数与其导函数及其原函数的关系提供了可能.对于这道题目,大部分学生利用高中数学知识通过数学推理发现两函数的关系,进而解决问题,还有些学生利用特殊法代入数值进行计算,进而选择出正确答案.因此,这道高考题很好地为不同程度的学生提供了不同解决问题的途径,真正体现了高中数学课理念:实现每个学生都能获得良好的数学教育、不同的学生在数学上得到不同的发展.

因此,教师在教学中要落实课程标准的理念和要求,注重将因材施教和面向全体相结合,根据学情、校情的实际开好必修、选择性必修和选修课程,努力让不同的学生都能得到发展.同时,教师应重视自身专业的学习,站在更高的高度理解数学知识,深入浅出地开展课堂教学,注重循循善诱,促进教学相长,不断提升课堂教学的效果,真正使得学生的核心素养得到提升和发展.